G₂

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G 2 en matemáticas  es el nombre de tres grupos de Lie simples (complejos, reales compactos y reales divididos), el álgebra de Lie asociada a ellos , así como varios grupos algebraicos . Son los más pequeños de los cinco excepcionales grupos de Lie simple , de rango 2 y dimensión 14, con fieles representaciones lineales no triviales de dimensión finita . En total , G 2 tiene dos representaciones fundamentales de dimensiones 7 y 14, la primera de las cuales corresponde a una raíz corta del sistema de raíces G 2 .

La forma compacta G 2 es el grupo de automorfismos del álgebra de octonion (octava) , o un subgrupo de SO(7) que deja un espinor fijo de 8 dimensiones (en su representación de espinor) en su lugar.

Implementaciones

Hay 3 álgebras de Lie reales simples asociadas con un sistema raíz dado :

• El álgebra de Lie puramente real que subyace al álgebra de Lie compleja G 2 tiene 28 dimensiones y está simplemente conectado. La conjugación compleja es su automorfismo externo. El subgrupo compacto máximo del grupo asociado con esta álgebra es la forma compacta de G 2 .
• El álgebra de Lie en forma compacta tiene dimensión 14. El grupo de Lie asociado no tiene automorfismos externos , ni centro , y es simplemente conexo y compacto.
• El álgebra de Lie en su forma no compacta (separada) contiene 14 dimensiones. El grupo de Lie simple asociado tiene un grupo fundamental de orden 2, y su grupo de automorfismo exterior es un grupo trivial. Su subgrupo compacto máximo es SU(2)×SU(2)/(−1×−1). Para este grupo, existe un grupo de cobertura universal doble no algebraico (simplemente conexo).

Propiedades algebraicas

Esquema de Dynkin

Sistema raíz G 2

A pesar de que los vectores raíz se pueden colocar en un espacio bidimensional, su expresión en tres coordenadas, cuya suma es cero, parece más simétrica:

(1,−1,0), (−1,1,0) (1,0,−1), (−1,0,1), (0,1,−1), (0,−1,1), (2,−1,−1), (−2,1,1), (1,−2,1), (−1,2,−1), (1,1,−2), (−1,−1,2),

y vectores raíz positivos simples

(0,1,−1), (1,−2,1).

Grupo Weyl / Coxeter

Para el álgebra G 2 , este es el grupo diédrico D 12 de orden 12.

Matriz de Cartan

Holonomía especial

G 2 es uno de esos grupos especiales que pueden ser los grupos de holonomía de la métrica de Riemann . Las variedades con holonomía G 2 se denominan variedades G 2 .

Enlaces

• John Baez , The Octonions , Sección 4.1: G2 , Bull. amer Matemáticas. soc. 39 (2002), 145-205 . Versión HTML en línea .

Grupos de mentiras simples excepcionales
G₂ F₄ E₆ E₇ E₈

teoría de grupos
Conceptos básicos	Subgrupo subgrupo normal Grupo de factores Trabajar directo semidirecto libre
Propiedades algebraicas	grupo conmutativo grupo cíclico grupo ordenado Transformar grupo Grupo solucionable Lema de Schreier teorema de lagrange teoremas de Sylow Clasificación de grupos finitos simples
grupos finitos	Grupo cíclico finito C n Grupo simétrico S n Grupo diedro D n Grupo alternado A n Grupo Cuádruple Klein grupos de Mathieu M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Grupos Conway Co 1 Co2_ _ Co3 _ grupos janko J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Grupos de pescadores F22 _ F 23 F24 _ Monstruo (M)
Grupos topológicos	grupos de mentiras Grupo ortogonal O(n) Grupo ortogonal especial SO(n) Grupo unitario U(n) Grupo unitario especial SU(n) Grupo simpléctico Sp(n) Simple excepcional grupo lorentz grupo de poincaré
Algoritmos en grupos	Schreier - Los Sims Todd - Coxeter Transformada de Fourier