F₄ (matemáticas)

En matemáticas , F 4 es el nombre de uno de los cinco grupos de Lie simples especiales (compactos o complejos) , así como su álgebra de Lie . F 4 tiene rango 4 y dimensión 52. El grupo F 4 es simplemente conexo, y su grupo de automorfismo externo es trivial. La representación lineal exacta más simple del grupo F 4 , así como su álgebra de Lie, es de 26 dimensiones e irreducible. ${\mathfrak{f}}_{4}$

La forma real compacta del grupo (complejo) F 4 es el grupo de isometría de la variedad riemanniana de 16 dimensiones conocida como " plano proyectivo octonion ", OP 2 . Esto se puede demostrar utilizando una técnica general utilizando la construcción conocida como el cuadrado mágico , desarrollada por G. Freudenthal y J. Tits .

Hay 3 grupos de Lie reales con álgebra : compacto, dividido y tercero. ${\mathfrak{f}}_{4}$

El álgebra de Lie F 4 se puede obtener sumando al álgebra de Lie 16 de 36 dimensiones generadores que se transforman en espinores , de forma similar a como se hace en la construcción de E 8 . ${\mathfrak {entonces}}(9)$

Álgebra

Vectores raíz F 4

{\ estilo de visualización (\ pm 1, \ pm 1,0,0)}

{\ estilo de visualización (\ pm 1.0, \ pm 1.0)}

{\ estilo de visualización (\ pm 1,0,0, \ pm 1)}

{\ estilo de visualización (0, \ pm 1, \ pm 1,0)}

{\ estilo de visualización (0, \ pm 1,0, \ pm 1)}

{\ estilo de visualización (0,0, \ pm 1, \ pm 1)}

{\ estilo de visualización (\ pm 1,0,0,0)}

{\ estilo de visualización (0, \ pm 1,0,0)}

{\ estilo de visualización (0,0, \ pm 1,0)}

{\ estilo de visualización (0,0,0, \ pm 1)}

\left(\pm {\frac {1}{2)),\pm {\frac {1}{2)),\pm {\frac {1}{2)),\pm {\frac {1}{2}}\derecho)

y vectores raíz positivos simples

{\ estilo de visualización (0,1, -1,0)}

{\ estilo de visualización (0,0,1, -1)}

{\ estilo de visualización (0,0,0,1)}

\left({\frac {1}{2)),-{\frac {1}{2)),-{\frac {1}{2)),-{\frac {1}{2 }}\Correcto)

Grupo Weyl / Coxeter

Para este grupo, este es el grupo de simetría del hiperoctaedro .

Matriz de Cartan

{\begin{pmatrix}2&-1&0&0\\-1&2&-2&0\\0&-1&2&-1\\0&0&-1&2\end{pmatrix}}

Celosía de simetría F 4

Una red cúbica centrada en el cuerpo de 4 dimensiones tiene F 4 como grupo de simetría puntual. Esta unión de dos retículas hipercúbicas, cuyas puntas se encuentran en los centros de los hipercubos de la otra, forma un anillo llamado anillo de cuaterniones de Hurwitz . Los 24 cuaterniones de Hurwitz con norma 1 forman un hiperoctaedro .

Fuentes

John Baez , The Octonions , Sección 4.2: F 4 , Bull. amer Matemáticas. soc. 39 (2002), 145-205 . Versión HTML on-line (ing.) (Fecha de acceso: 26 de diciembre de 2009)

Grupos de mentiras simples excepcionales
G₂ F₄ E₆ E₇ E₈

teoría de grupos
Conceptos básicos	Subgrupo subgrupo normal Grupo de factores Trabajar directo semidirecto libre
Propiedades algebraicas	grupo conmutativo grupo cíclico grupo ordenado Transformar grupo Grupo solucionable Lema de Schreier teorema de lagrange teoremas de Sylow Clasificación de grupos finitos simples
grupos finitos	Grupo cíclico finito C n Grupo simétrico S n Grupo diedro D n Grupo alternado A n Grupo Cuádruple Klein grupos de Mathieu M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Grupos Conway Co 1 Co2_ _ Co3 _ grupos janko J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Grupos de pescadores F22 _ F 23 F24 _ Monstruo (M)
Grupos topológicos	grupos de mentiras Grupo ortogonal O(n) Grupo ortogonal especial SO(n) Grupo unitario U(n) Grupo unitario especial SU(n) Grupo simpléctico Sp(n) Simple excepcional grupo lorentz grupo de poincaré
Algoritmos en grupos	Schreier - Los Sims Todd - Coxeter Transformada de Fourier