Teoría de la homología

La teoría de la homología ( otro griego ὁμός "igual, idéntico; común; mutuo" y λόγος "doctrina, ciencia ") es una rama de las matemáticas que estudia la construcción de unas invariantes topológicas llamadas grupos de homología y grupos de cohomología . Las teorías de homología también se denominan construcciones concretas de grupos de homología.

En el caso más simple, un espacio topológico está asociado con una secuencia de grupos de homología abelianos enumerados por números naturales . Son invariantes de homotopía y, a diferencia de los grupos de homotopía , son más fáciles de calcular y más claros geométricamente, pero para espacios simplemente conectados contienen la misma cantidad de información [1] . $X$ $H_{k}(X)$ $k$

Sin embargo, la definición de homología es menos explícita y utiliza alguna maquinaria técnica [2] y, por lo tanto, existen varias teorías diferentes de homología, ambas definidas solo para espacios topológicos "buenos" o que requieren una estructura adicional , y más complejas, diseñadas para trabajar con ejemplos patológicos. Sin embargo, con la excepción de tales casos patológicos, suelen coincidir: para los espacios celulares, esto lo aseguran los axiomas de Steenrod-Eilenberg .

Otras nociones comunes de la teoría de la homología son la homología con coeficientes en un grupo abeliano , la homología relativa de un par de espacios y la cohomología , cuyas definiciones son en cierto sentido duales a las de homología. A menudo se consideran las cohomologías debido a la presencia de la multiplicación en ellas , lo que las convierte en un álgebra graduada . $H_{k}(X,A)$ $A$ $H_{k}(X,Y)$ $X\supset Y$ ${\ estilo de visualización H ^ {k} (X)}$ $H^{k}(X)\otimes H^{l}(X)\to H^{k+l}(X)$

Las cohomologías también se denominan invariantes asociadas con otros objetos matemáticos: grupos , álgebras de Lie , haces . Los une una similitud formal —por ejemplo, la presencia en su definición del concepto de homología de una cadena compleja— y, en algunos casos, la presencia de construcciones que asocian tales objetos a espacios topológicos con homologías adecuadas.

Definición general

Recuérdese que el -ésimo grupo de homotopía de un espacio es el conjunto de aplicaciones desde la esfera -dimensional hasta , considerada hasta una deformación continua . Para determinar la homología, las asignaciones de esferas se reemplazan por -ciclos, que se representan intuitivamente como películas orientadas cerradas (es decir, sin límites) de dimensión interior , pero se formalizan de manera diferente en diferentes definiciones. La condición de deformabilidad continua se reemplaza por la condición de que la diferencia de ciclos (su unión, en la que el segundo se toma con la orientación opuesta) sea una frontera de ciclo orientada de dimensión uno más. $k$ ${\ estilo de visualización \ pi _ {k} (X)}$ $X$ $k$ $X$ $H_{k}(X)$ $k$ $k$ $X$

En notación estándar, el grupo -ciclo es (del alemán Zyklus - "ciclo"), el grupo -límite es (del inglés límite - "borde"), y la frase "las homologías son ciclos hasta los límites" se escribe como $k$ ${\ estilo de visualización Z_ {k} (X)}$ $k$ $B_{k}(X)$

H_{k}(X)=Z_{k}(X)/B_{k}(X)

Para formalizar esta idea, es necesario definir estrictamente los ciclos y sus límites, lo que genera algunas dificultades para los ciclos de dimensión [1] . La solución es definir un concepto intermedio de un grupo de cadena que consiste en combinaciones lineales formales de mapeos en algunos elementos estándar según la construcción elegida. Un límite de elemento estándar se define como una combinación lineal de elementos estándar de dimensión uno menos con orientaciones adecuadas, lo que induce un mapeo de borde . Luego , los ciclos se definen como cadenas con un límite cero (para que la igualdad del límite a cero tenga sentido, es necesario tomar no solo combinaciones positivas, sino también lineales de elementos estándar, y especificar el mapa de límites con un letrero). Por lo tanto, los ciclos son el núcleo y los bordes son la imagen de la visualización del borde: $k>2$ $k$ $C_{k}(X)$ $X$ ${\ estilo de visualización \ parcial _ {k}: C_ {k} (X) \ a C_ {k-1} (X)}$ $k$ $k$

Z_{k}(X)=Ker(\parcial_{k}:C_{k}(X)\to C_{k-1}(X)),~~~~B_{k}(X )=Im(\parcial _{k+1}:C_{k+1}(X)\a C_{k}(X))

La condición de que todos los límites sean ciclos toma la forma de la condición de cadena compleja : , y la homología de un espacio topológico es la homología de este complejo. ${\ estilo de visualización \ parcial _ {k + 1} \ circ \ parcial _ {k} = 0}$

La elección de los elementos estándar y la visualización de los bordes difiere según la teoría. En la teoría de la homología singular , tales elementos son simples , y el mapa de límites asocia un simplex con una suma alterna de sus caras. En la teoría de la homología simplicial , definida para complejos simpliciales , también son simples, pero no todos, pero incluidos en la partición simplicial elegida. En la teoría de la homología celular , definida para el complejo celular , estas son hiperesferas de un esqueleto adecuado, y el mapeo de límites es más complicado.

Teorías homológicas

Homología simplicial : la homología se define para espacios muy simples ( complejos simpliciales ).

Se definen de manera bastante simple, pero la prueba de su invariancia y funcionalidad es bastante difícil.

La homología singular es otra teoría de homología propuesta por Lefschetz . Su definición requiere trabajar con espacios de dimensión infinita, pero la invariancia y la funcionalidad se vuelven obvias de inmediato.

Cech homology es la teoría de la homología más adaptada para trabajar con espacios patológicos.

Homología con coeficientes en grupos arbitrarios

Uno puede definir homologías permitiendo que los coeficientes de simples en cadenas sean elementos de cualquier grupo abeliano . Es decir, en lugar de grupos , considere grupos . $GRAMO$ $C_{k}(X)$ $C_{k}(X)\otimes G$

Se denotan grupos de homología (simplicial, singular, etc.) de espacios con coeficientes en el grupo Por lo general, se usa el grupo de números reales , números racionales o el grupo cíclico de residuos módulo , y generalmente se toma , un primo número, entonces es un campo . $X$ $GRAMO$ $H_{k}(X;G).$ $\matemáticas {R}$ $\matemáticas {Q}$ $metro$ $\mathbb {Z} _{m}$ $m=pag$ $\mathbb {Z} _{p}$

Otra descripción. Aplicar al complejo ${\ estilo de visualización C_ {*} (X)}$

\ldots {\xleftarrow {}}C_{n-1}(X){\xleftarrow {}}C_{n}(X){\xleftarrow {}}C_{n+1}(X){\ xleftarrow {}}\ldots

functor , obtenemos un complejo $\cdot \otimes G$

\ldots {\xleftarrow {}}C_{n-1}(X)\otimes G{\xleftarrow {}}C_{n}(X)\otimes G{\xleftarrow {}}C_{n+1 }(X)\oveces G{\xleftarrow {}}\ldots

cuya homología es la homología con coeficientes en . $GRAMO$

Cohomología

Además de las cadenas, puede introducir el concepto de cochains: mapeos de un espacio vectorial de cadenas en un grupo . Es decir, el espacio de cochains . $GRAMO$ $C^{k}(X)=\nombre del operador {Hom} (C_{k}(X),G)$

El operador de límite está determinado por la fórmula: (donde ). Para tal operador de frontera, también tenemos $\delta^{k}:C^{k}\a C^{k+1}$ $(\delta^{k}x)(c)=x(d_{k+1}c)$ $x\en C^{k},\;c\en C_{k+1}$

\delta^{k+1}\delta^{k}=0

, a saber

(\delta ^{k+1}\delta ^{k}(x))(c)=\delta ^{k}x(d_{k+2}c)=x(d_{k+1}d_{ k+2}c)=x(0)=0

Por lo tanto, de manera similar a lo dicho anteriormente, se pueden introducir los conceptos de cociclos , cofronteras y cohomología . ${\displaystyle Z^{k}(X,G)=\operatorname {Ker} \delta ^{k))$ $B^{k}(X,G)=\nombre del operador {Im} \delta ^{k-1}$ $H^{k}(X,G)=Z^{k}(X,G)/B^{k}(X,G)$

El concepto de cohomología es dual al concepto de homología.

Si es un anillo , entonces en el grupo de cohomología se define una multiplicación natural (el producto o -producto de Kolmogorov-Alexander), que convierte a este grupo en un anillo graduado , llamado anillo de cohomología . $GRAMO$ $H^{*}(X,G)$ $\taza$

En el caso de que sea una variedad diferenciable , el anillo de cohomología se puede calcular usando formas diferenciales en (ver el teorema de De Rham ). $X$ $H^{*}(X,\mathbb{R} )$ $X$

El concepto de cohomología fue introducido por Alexander y Kolmogorov .

Secuencia de homología relativa y homología exacta

Tomemos el caso de dos espacios topológicos . Un grupo de cadenas (las cadenas pueden ser con coeficientes enteros o con coeficientes en cualquier grupo ). Las cadenas relativas se llamarán elementos del grupo factorial . Dado que el operador de límite en el grupo de homología del subespacio se traduce , es posible definir el operador de límite en el grupo de cociente (lo denotaremos de la misma manera) . $Y\subconjunto X$ $C_{k}(Y)\subconjunto C_{k}(X)$ $GRAMO$ $C_{k}(X,Y)=C_{k}(X)/C_{k}(Y)$ $d$ $Y$ $d_{k}\dos puntos C_{k}(Y)\to C_{k-1}(Y)$ $C_{k}(X,Y)$ $d_{k}\dos puntos C_{k}(X,Y)\to C_{k-1}(X,Y)$

Esas cadenas relativas en las que se traduce el operador de límite se llamarán bucles relativos , y las cadenas que son sus valores son límites relativos . Ya que en las cadenas absolutas, lo mismo ocurrirá con las relativas, a partir de aquí . El grupo de factores se denomina grupo de homología relativa . ${\ estilo de visualización 0}$ $Z_{k}(X,Y)$ $B_{k}(X,Y)$ $dd=0$ $B_{k}(X,Y)\subconjunto Z_{k}(X,Y)$ $H_{k}(X,Y)=Z_{k}(X,Y)/B_{k}(X,Y)$

Como todo ciclo absoluto en es también relativo, tenemos un homomorfismo Por la propiedad funcional, la incrustación conduce a un homomorfismo . $H_{k}(X)$ $j_{k}:H_{k}(X)\a H_{k}(X,Y)$ $i_{k}:Y\a X$ $i_{*}:H_{k}(Y)\a H_{k}(X)$

A su vez, podemos construir un homomorfismo , que definimos de la siguiente manera. Sea una cadena relativa que define un ciclo desde . Considéralo como una cadena absoluta en (hasta elementos ). Dado que este es un ciclo relativo, será igual a cero hasta alguna cadena . Igualamos a la clase de homología de la cadena . $d_{*k}:H_{k}(X,Y)\a H_{k-1}(Y)$ $c_{k}\en C_{k}(X,Y)$ $H_{k}(X,Y)$ $C_{k}(X)$ $C_{k}(Y)$ $d_{k}c$ $c_{k-1}\en C_{k-1}(Y)$ $d_ {* k}$ $c_{k-1}=d_{k}c\en Z_{k-1}(Y)$

Si tomamos otra cadena absoluta que define el mismo ciclo relativo, entonces tendremos , donde . Tenemos , pero ya que es el límite en eso y define el mismo elemento en el grupo de homología . Si tomamos otro ciclo relativo , que da el mismo elemento en el grupo de homología relativa , donde es el límite relativo, entonces debido al hecho de que el límite para las homologías relativas es, donde , por lo tanto , pero , y es el límite en . $c'_{k}\en C_{k}(X)$ $c=c'+u$ $u\en C_{k}(Y)$ $d_{k}c=d_{k}c'+d_{k}u$ $d_{k}u$ $Z_{k-1}(Y)$ $d_{k}c$ $d_{k}c'$ $H_{k-1}(Y)$ $C''$ $c=c''+b$ $b$ $b$ $b=d_{k+1}x+v$ $v\en C_{k}(Y)$ $d_{k}c=d_{k}c''+d_{k}d_{k+1}x+d_{k}v$ $dd=0$ $d_{k}v$ $Z_{k-1}(Y)$

Por lo tanto, la clase de homología se define de forma única. Está claro por la linealidad del operador que es un homomorfismo. Entonces tenemos homomorfismos: $d_{*k}c_{k}$ $d_ {* k}$

i_{*k}\dos puntos H_{k}(Y)\a H_{k}(X)

;

j_{*k}\dos puntos H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)

d_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)

;

...\a H_{k}(Y)\a H_{k}(X)\a H_{k}(X,Y)\a H_{k-1}(Y)\a...

Se puede probar que esta sucesión es exacta , es decir, la imagen de cualquier homomorfismo es igual al núcleo del siguiente homomorfismo.

Axiomas de Steenrod-Eilenberg

Además de la homología simplicial y singular que ya conocemos, existen otras teorías de homología y cohomología, por ejemplo, la homología celular , la cohomología de Alexandrov-Cech , la cohomología de Rham , etc. Steenrod y Eilenberg definieron un sistema de axiomas para la teoría de (co)homología. En primer lugar, definen los llamados. una clase admisible de pares de espacios topológicos que satisface las siguientes propiedades: $D$

Si entonces y . $(X,Y)\en D,$ $(X,X)\en D,$ $(X,\varnada)\en D,$ $(Y,Y)\en D$ ${\ estilo de visualización (Y, \ varnada) \ en D}$
Si , entonces y , donde es el intervalo cerrado [0,1]. ${\ estilo de visualización (X, Y) \ en D}$ $(X\times I,Y\times I)\in D$ $yo$
${\ estilo de visualización (*, \ varnada) \ en D}$ , donde es un espacio de un punto. $*$

En la teoría de la homología de Steenrod-Eilenberg, cada par admisible y cualquier entero k corresponde a un grupo abeliano , y un mapeo continuo de pares corresponde a un homomorfismo (El espacio se identifica con el par ) , y con ) , y se cumplen los siguientes axiomas : $H_{k}(X,Y)$ $f\dos puntos (X,Y)\a (X',Y')$ $f_{*k}\dos puntos H_{k}(X,Y)\to H_{k}(X',Y')$ $X$ $(X,\varnada)$ $H_{k}(X)$ $H_{k}(X,\varnada)$

El mapeo de identidad de un par corresponde al homomorfismo de identidad . $identificación$ ${\displaystyle id_{*k))$
$(gf)_{*k}=g_{*k}f_{*k}$ ( funcional )
Se define un homomorfismo de frontera , y si , entonces para el homomorfismo correspondiente es cierto para cualquier dimensión . $d_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)$ $f\dos puntos (X,Y)\a (X',Y')$ $f_{*k}\dos puntos H_{k}(X,Y)\to H_{k}(X',Y')$ $d_{*k}f_{*k}=f_{*k-1}d_{*k}$ $k$
Sean y sean incrustaciones, y sean los correspondientes homomorfismos, sean un homomorfismo de frontera. Entonces la secuencia que definen es exacta ( axioma de exactitud ). $i\colon Y\a X$ $j\dos puntos X\to (X,Y)$ $i_{*k}\dos puntos H_{k}(Y)\a H_{k}(X)$ $j_{*k}\dos puntos H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)$ $d_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)$
$\ldots \a H_{k}(Y)\a H_{k}(X)\a H_{k}(X,Y)\a H_{k-1}(Y)\a \ldots$
Si las asignaciones son homotópicas , entonces los homomorfismos correspondientes son iguales para cualquier dimensión ( axioma de invariancia homotópica ). $f,g\dos puntos (X,Y)\a (X',Y')$ $f_{*k}=g_{*k}$ $k$
Sea un subconjunto abierto de , y su clausura está contenida en el interior del conjunto , entonces si los pares y pertenecen a una clase admisible, entonces para cualquier dimensión la incrustación corresponde a un isomorfismo ( axioma de corte ). $U\subconjunto X$ $X$ $Y$ $(X\conjunto menos U,Y\conjunto menos U)$ $(X, Y)$ $k$ $(X\setminus U,Y\setminus U)\hookrightarrow (X,Y)$ $H_{k}(X\conjunto menos U,Y\conjunto menos U)\simeq H_{k}(X,Y)$
Para un espacio de un punto para todas las dimensiones . Un grupo abeliano se denomina grupo de coeficientes ( axioma de dimensión ). $H_{k}(*)=0$ $k>0$ $G=H_{0}(*)$

Por homología singular, la clase admisible de pares consta de todos los pares de espacios topológicos. Los grupos de homología singular previamente definidos con coeficientes en su grupo de mapeo y el homomorfismo de frontera satisfacen todos estos axiomas. Si tomamos como clase admisible la clase de los poliedros, entonces podemos probar que las homologías definidas mediante este sistema de axiomas coinciden con las simpliciales. $GRAMO$ $d_{*}$

De manera similar, podemos introducir un sistema de axiomas para la cohomología, que es completamente análogo.

Solo es necesario tener en cuenta que el mapeo corresponde ( contravarianza ) y que el homomorfismo de cofrontera aumenta la dimensión. $f\dos puntos (X,Y)\a (X',Y')$ $f^{*k}\dos puntos H^{k}(X',Y')\a H^{k}(X,Y)$ $\delta ^{*k}\colon H^{k-1}(Y)\to H^{k}(X,Y)$

Homologación extraordinaria

En el sistema de axiomas de Steenrod-Eilenberg, el axioma de la dimensión no es tan importante como los demás.

Las teorías de (co) homología que pueden tener grupos de (co) homología distintos de cero de un espacio de un punto para dimensiones se denominan extraordinarias o generalizadas. Las teorías extraordinarias más importantes son la teoría K de Atiyah (cabe señalar la importante contribución a esta teoría de Hirzebruch , Bott y Adams ) y la teoría del bordismo de R. Thoma . $k>0$

Véase también

Notas

↑ 1 2 Fomenko, Fuchs, 1989 , p. 95.
↑ Hatcher, 2002 , pág. 97.

Literatura

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