Proyección (geometría)

Proyección ( lat.  projectio  - "lanzado hacia adelante") es:

1. la imagen de una figura tridimensional en el llamado plano de imagen (proyección) de una manera que es una idealización geométrica de los mecanismos ópticos de visión , fotografía , cámara oscura . El término proyección en este contexto también significa el método de construcción de dicha imagen y las técnicas en las que se basa este método. Ampliamente utilizado en ingeniería gráfica , arquitectura , pintura y cartografía . El estudio de los métodos para construir proyecciones como disciplina de la ingeniería se ocupa de la geometría descriptiva ;
2. una generalización de proyección en su primer sentido (más precisamente, una generalización de su variedad - proyección paralela ) para mostrar puntos, figuras, vectores de espacio de cualquier dimensión en su subespacio de cualquier dimensión: por ejemplo, además de la proyección de puntos del espacio tridimensional sobre un plano, puede haber una proyección de puntos del espacio tridimensional sobre una línea recta, puntos de un plano sobre una línea, puntos de un espacio de 7 dimensiones sobre su subespacio de 4 dimensiones, etc. , así como la proyección de un vector sobre cualquier subespacio del espacio original, especialmente sobre una recta o sobre la dirección de un vector (la definición del producto escalar en euclidiano está asociada a este último espacio ). La proyección en este sentido encuentra una amplia aplicación en relación con los vectores (tanto en un contexto elemental como en uno abstracto), cuando se utilizan coordenadas cartesianas , etc.

Definición general

Un mapeo de un espacio en sí mismo se llama proyección si este mapeo es idempotente , es decir, su composición consigo mismo es igual o para todos .

Proyección desde un espacio tridimensional sobre un plano

El método de proyección para representar objetos se basa en su representación visual. Si conecta todos los puntos del objeto con líneas rectas (rayos de proyección) con un punto constante O (centro de proyección), en el que se supone el ojo del observador , entonces en la intersección de estos rayos con cualquier plano, una proyección de todos los puntos del objeto se obtiene. Así, obtenemos una imagen en perspectiva de un objeto sobre un plano, o una proyección central .

Si el centro de proyección está infinitamente distante del plano del cuadro, entonces se habla de una proyección paralela ; además, si los rayos de proyección caen perpendiculares al plano, entonces sobre la proyección ortogonal , y si oblicuamente, sobre la oblicua .

Si el plano de proyección no es paralelo a ninguno de los planos de coordenadas del  sistema rectangular , se trata de una proyección axonométrica .

• Para cualquiera de estas proyecciones, un segmento de línea pasa a un segmento de línea (y en el caso degenerado , cuando el segmento se encuentra en el rayo de proyección, a un punto); una línea recta puede convertirse en una línea recta o en un rayo. Esta propiedad simplifica enormemente la aplicación de la proyección con fines visuales, especialmente en el dibujo técnico , cuando el objeto contiene muchos elementos rectilíneos: basta con proyectar los extremos de los segmentos y conectarlos en el dibujo con líneas rectas.
• La elipse o círculo se convierte en elipse (en el caso degenerado, en segmento o círculo).

Proyección desde un espacio arbitrario sobre su subespacio

La proyección en este sentido (mencionada en la introducción en el párrafo 2) se usa ampliamente en álgebra lineal (para más detalles, consulte: Proyección (álgebra lineal) ), pero en la práctica, no solo en contextos bastante abstractos, sino también cuando se trabaja con vectores. de cualquier naturaleza, dimensiones y grados de abstracción, e incluso en geometría elemental, y también -muy ampliamente- cuando se utilizan coordenadas rectilíneas (como rectangulares o afines ).

Por separado, debemos mencionar la proyección de un punto sobre una recta y la proyección de un vector sobre una recta (sobre una dirección).

Proyección ortogonal sobre la recta y sobre la dirección

La proyección más utilizada es la ortogonal.

El término proyección en este sentido se utiliza tanto en relación con la propia operación de proyección como en relación con su resultado (durante la operación de proyección sobre una línea, las imágenes de un punto, vector, conjunto de puntos se denominan proyección de un punto , vector, conjunto de puntos sobre esta recta).

Una descripción elemental de la proyección ortogonal de un punto sobre una línea se reduce al hecho de que se debe bajar una perpendicular del punto a la línea, y su intersección con la línea dará la imagen del punto (la proyección del punto en esta línea). Esta definición funciona tanto en el plano como en el espacio tridimensional y en el espacio de cualquier dimensión.

Una definición elemental de la proyección de un vector sobre una línea se da más fácilmente representando el vector como un segmento dirigido. Entonces, su principio y su final pueden proyectarse sobre una línea recta, y un segmento dirigido desde la proyección del principio hasta la proyección del final del vector original dará su proyección sobre la línea recta.

Se suele llamar a la proyección de un vector sobre una determinada dirección un número que coincide en valor absoluto con la longitud de la proyección de dicho vector sobre la recta que define dicha dirección; el signo del número se elige de modo que se considere positivo cuando la dirección de esta proyección coincide con la dirección dada, y negativo cuando la dirección es opuesta.

• La última definición es muy fácil de reemplazar con una equivalente usando el producto escalar : si la dirección está dada por un vector unitario e , entonces la proyección de cualquier vector a en esta dirección es igual al producto escalar a•e .
• Lo mismo se puede reescribir , donde  es la longitud del vector ,  es el ángulo entre el vector y la dirección a la que se busca la proyección.

Proyección no ortogonal a la línea y dirección

La proyección no ortogonal se usa con menos frecuencia, e incluso cuando se usa, especialmente en contextos elementales, el término no siempre se usa.

La forma más sencilla de especificar una proyección no ortogonal sobre una recta es especificando esta propia recta y un plano (en el caso bidimensional, otra recta en lugar de un plano; en el caso de un espacio n -dimensional, un hiperplano de dimensión ( n -1)) que intersecta la línea. La proyección de un punto se define como la intersección del plano (hiperplano) que lo contiene y paralelo al plano que define la proyección.

En el caso de que el plano (hiperplano) que define la proyección sea ortogonal a la línea, obtenemos una proyección ortogonal (esta puede ser su definición alternativa). Por lo tanto, para una proyección no ortogonal propiamente dicha, se debe exigir que esta ortogonalidad esté ausente.

Para una proyección no ortogonal de un vector sobre una recta y sobre una dirección, las definiciones se obtienen a partir de la definición dada de la proyección de un punto, de la misma forma que se describió en el apartado de proyección ortogonal.

• Es cierto que hay que tener en cuenta que, por defecto, la proyección de un vector sobre una línea recta o sobre una dirección todavía se entiende como una proyección ortogonal.

No obstante, el concepto de proyección no ortogonal puede ser útil (al menos si no teme la confusión terminológica) para introducir coordenadas oblicuas y trabajar con ellas (a través de ellas, en principio, el concepto de coordenadas puntuales y coordenadas vectoriales en este caso se puede definir muy fácilmente).

Proyección de un punto sobre un conjunto

La proyección de un punto v sobre un conjunto convexo X es un punto del conjunto X tal que [1]

Véase también

• Proyector (matemáticas)

Notas

1. ↑ Bazaraa, Sherali, Shetty, 2006 , fórmula 8.72, p. 435.

Literatura

• Mokhtar S. Bazaraa, Hanif D. Sherali, C. V. Shetty. programación no lineal. - Wiley-Interscience, 2006. - ISBN 0-471-48600-0 .
• Proyección // Pequeño diccionario enciclopédico de Brockhaus y Efron  : en 4 volúmenes - San Petersburgo. , 1907-1909.
• Proyección - artículo de la Gran Enciclopedia Soviética . 
• Aparatos de proyección, Ampliación de fotos, Impresión de proyección, Aparatos de proyección de películas // Técnica de fotocine: Enciclopedia / Cap. edición E. A. Iofis . - M .: Enciclopedia soviética , 1981. - 447 p.