Número primo regular
La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 26 de junio de 2016; la verificación requiere 1 edición .En teoría de números, un primo regular es cualquier primo p para el cual el número de clases ideales de un campo circular no es divisible por p . Todos los demás números primos impares se llaman irregulares.
Los primeros números primos regulares [1] :
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, …Propiedades
Los números regulares son exactamente los números primos de Kummer, pero esto es bastante difícil de demostrar. Para verificar si un número es Kummer, se puede usar el llamado criterio de Kummer: p es Kummer si y solo si los numeradores de todos los números de Bernoulli no son divisibles por p .
Se supone que hay infinitos números primos regulares, pero esta afirmación no ha sido probada.
Los números regulares fueron introducidos por Kummer [2] mientras intentaba probar el teorema de Fermat . Uno de los teoremas obtenidos, teniendo en cuenta la coincidencia de la regularidad y la propiedad de Kummer, establece lo siguiente:
Si un primo p es regular, entonces su ecuación no tiene soluciones en números naturales .
Primos irregulares
Un número primo que no es regular se llama primo irregular . Unos primeros primos irregulares [3] :
37 , 59, 67, 101 , 103 , 131 , 149 , 157, 233, 257 , 263, 271, 283 , 293, …Jensen demostró que existen infinitos números primos irregulares.
Pares irregulares
Si p es un número primo irregular, entonces p divide sin resto el numerador del número de Bernoulli B 2 k para algún índice par 2 k en el intervalo 0 < 2k < p −1 . En este caso, el par de números (p, 2k) se llama par irregular . Los primeros pares irregulares [4] :
(691, 12), (3617, 16), (43867, 18), (283, 20), (617, 20), (131, 22), (593, 22), (103, 24), …Para un primo p dado , el número de esos pares se denomina índice de irregularidad de p . Así, un número primo es regular si y sólo si el índice de irregularidad es cero. De manera similar, un número primo es irregular si y solo si su índice de irregularidad es positivo.
Se encuentra que para p < 30000 el par (p, p−3) es irregular solo para el número primo de Wolstenholm p = 16843 .
Notas
Literatura
- Postnikov M. M. Introducción a la teoría de los números algebraicos. — M .: Nauka, 1982.
- Borevich Z.I., Shafarevich IR Teoría de números. — M .: Nauka, 1985.
- Ernest Kummer. Allgemeiner Beweis des Fermat'schen Satzes, dass die Gleichung x λ + y λ = z λ durch ganze Zahlen unlösbar ist, für alle diejenigen Potenz-Exponenten λ, welche ungerade Primzahlen sind und in den Zählern der ersten (λ-3)/2 Bernoulli'schen Zahlen als Factoren nicht vorkommen // J. Reine Angew. Matemáticas. - 1850. - Emisión. 40 . - S. 131-138 .