Lema de Heine-Borel

El lema de Heine-Borel [1] (y también el lema de Borel-Lebesgue [2] o lema de cobertura finita ) es el siguiente hecho, que juega un papel fundamental en el análisis :

De cualquier sistema infinito de intervalos que cubra un segmento de la recta real, se puede elegir un subsistema finito que también cubra este segmento.

La generalización de esta proposición al caso multidimensional también se denomina lema de Heine-Borel (o lema de Borel-Lebesgue) [3] .

Redacción

Para formular el lema de Heine-Borel en el caso general, introducimos la noción de cubierta [3] . Establecer sistema

{\mathfrak {S}}=\lbrace S_{{\alpha }}\rbrace

donde el índice recorre algún conjunto se denomina cobertura del conjunto si $\alfa$ ${\mathfrak {A}}$ $X$

X\subconjunto \bigcup _{{\alpha \in {\mathfrak {A}}}}S_{{\alpha }}

Si alguna parte de la cubierta , digamos , donde es un subconjunto de , forma una cubierta del conjunto , entonces se llama una subcubierta de la cubierta del conjunto . ${\mathfrak {S}}$ ${\mathfrak {S}}'=\lbrace S_{{\alpha }}\mid \alpha \in {\mathfrak {A'}}\rbrace$ ${\mathfrak {A'}}$ ${\mathfrak {A}}$ $X$ ${\mathfrak {S))'$ ${\mathfrak {S}}$ $X$

Formulemos ahora el lema de Heine-Borel en forma general.

Sea un conjunto cerrado acotado en el espacio . Entonces, de cualquier sistema de conjuntos abiertos que cubre el conjunto , se puede destacar un subsistema finito que también cubre el conjunto . $X$ $\mathbb{R}^n$ $X$ $X$

Brevemente, dicen esto: cada cubierta abierta de un conjunto acotado cerrado en el espacio contiene una subcubierta finita. $\mathbb{R}^n$ Una cubierta se llama abierta si consta de conjuntos abiertos.

También hay una proposición inversa: para que cualquier cubierta abierta de un conjunto contenga una subcubierta finita, es necesario que el conjunto sea cerrado y acotado. $X\subconjunto {\mathbb {R}}^{n}$ $X$ Sin embargo, el lema de Heine-Borel es solo un enunciado directo, es decir, condiciones suficientes para la existencia de una subcubierta finita.

Prueba

La demostración del lema de Heine-Borel se puede realizar de diferentes formas. A continuación se muestran los contornos de dos pruebas.

Primera prueba

Esta demostración se realiza por el método de Bolzano (bisección) y se basa en el lema de segmentos anidados de Cauchy-Cantor . En muchos sentidos, es similar a la demostración del lema del punto límite de Bolzano-Weierstrass .

Sea el segmento cubierto por un sistema infinito de intervalos. Suponga que ningún número finito de intervalos cubre un segmento dado. Divide el segmento por la mitad en dos segmentos iguales: y . Al menos uno de ellos no puede ser cubierto por un subsistema finito de intervalos de . Lo denotamos y repetimos el procedimiento para dividirlo por la mitad. $[a,b]$ $\Sigma$ $\Sigma$ $[a,b]$ $\left[a,{\frac {a+b}{2}}\right]$ $\left[{\frac {a+b}{2}},b\right]$ $\Sigma$ $[a_{1},b_{1}]$

Si continuamos dividiendo los segmentos por la mitad en cada paso, obtenemos una secuencia de segmentos anidados que tienden a cero en longitud, de modo que cada segmento de esta secuencia no puede cubrirse con un número finito de intervalos desde . Pero si es un punto en el que los segmentos se contraen, entonces, dado que se encuentra en el segmento , debe estar incluido en algún intervalo del sistema . Entonces todos los segmentos de la secuencia , a partir de algún número, estarán cubiertos por el intervalo , lo que contradice la elección misma de estos segmentos. La contradicción resultante prueba la validez del lema de Heine-Borel. $\Sigma$ $\xi$ $\xi$ $[a,b]$ $\sigma$ $\Sigma$ $[a_{k},b_{k}]$ $\sigma$

Esta demostración, con obvias modificaciones, se realiza también para un espacio de dimensión arbitraria. Esta prueba se puede encontrar en [3] y en [2] (en el último libro inmediatamente para el caso de un espacio métrico arbitrario ). $\mathbb{R}^n$

Segunda prueba

Otra demostración del lema de Heine-Borel se debe a Lebesgue [2] . No utiliza el lema de los segmentos anidados , sino que se basa en la propiedad de la completitud del conjunto de números reales en la forma del principio de la existencia del mínimo supremo .

Deje que el sistema de intervalos cubra el segmento . Denote por el conjunto de todos los puntos para los cuales el segmento puede ser cubierto por un número finito de intervalos desde . Está claro que si cualquier segmento de la forma (donde x - sup M) puede ser cubierto por un número finito de intervalos desde , entonces lo mismo es cierto para el segmento : para esto, tomamos un intervalo que cubre el punto y lo sumamos a la cobertura finita de algún segmento , donde , obtenemos una cobertura finita del segmento . Además, el subsistema finito de intervalos resultante cubre no solo el segmento , sino también algún segmento de la forma , donde . $\Sigma$ $[a,b]$ $METRO$ $x\en[a,b]$ $[hacha]$ $\Sigma$ $[a,x'],\;x'<x$ $\Sigma$ $[hacha]$ $\sigma \en \Sigma$ $X$ $[hacha']$ $x'<x,x'\in\sigma$ $[hacha]$ $[hacha]$ $[hacha'']$ $x''>x$

De la primera se sigue que la cota superior mínima del conjunto pertenece al conjunto . De la segunda, que debe ser igual a . Así, , es decir, el segmento puede ser cubierto por un número finito de intervalos desde . $METRO$ $METRO$ $b$ $b\en M$ $[a,b]$ $\Sigma$

Aplicación en análisis

Junto con el lema del intervalo anidado de Cauchy-Cantor y el lema del punto límite de Bolzano-Weierstrass , el lema de cobertura finita de Heine-Borel es uno de los enunciados fundamentales del análisis. Se puede utilizar para demostrar una serie de resultados importantes.

El lema de Heine-Borel se puede aplicar con éxito en los casos en que es necesario extender alguna propiedad local a todo el conjunto. Ilustremos lo dicho sobre el ejemplo de la demostración del teorema de la continuidad uniforme .

La continuidad de la función en el intervalo significa que para cualquier punto del intervalo y arbitrariamente existe una vecindad del punto en la que dos valores cualesquiera de la función difieren en no más de : $F$ ${\ estilo de visualización (a, b)}$ $X$ ${\ estilo de visualización (a, b)}$ $\varepsilon > 0$ $U_{{\delta}}(x)$ $X$ $\varepsilon$

x',x''\in U_{{\delta }}(x)\Rightarrow |f(x')-f(x'')|\leqslant \varepsilon

Fijamos y para cada punto del segmento elegimos la vecindad indicada (cada una tendrá la suya ). El sistema de intervalos resultante forma una cubierta abierta del segmento, de la cual, según el lema de Heine-Borel, elegimos una subcubierta finita . Es fácil ver que es posible elegir de modo que cada segmento de longitud esté completamente contenido en uno de los intervalos de cobertura . De ello se deduce que si difieren en no más de , entonces están contenidos en el mismo intervalo de cobertura, lo que significa que los valores de la función en estos puntos difieren en no más de . $\varepsilon > 0$ $X$ $[a,b]$ $U_{{\delta}}(x)$ $X$ $\delta=\delta(x)$ $\Sigma$ $\delta>0$ $\delta$ $\Sigma$ $x',x''$ $\delta$ $\varepsilon$

Así, para arbitrariamente tomado se encuentra , tal que $\varepsilon > 0$ $\delta>0$

x',x''\in [a,b]\quad |x'-x''|\leqslant \delta \Rightarrow |f(x')-f(x'')|\leqslant \varepsilon

Esto significa que la función es uniformemente continua en el segmento . $F$ $[a,b]$

Generalizaciones

El lema de Heine-Borel se generaliza a un espacio métrico arbitrario de la siguiente manera:

Para que cualquier cubierta abierta de un espacio métrico contenga una subcubierta finita, es necesario y suficiente que el espacio sea completo y completamente acotado . ${\ matemáticas {M}}$ ${\ matemáticas {M}}$

Como en el caso del espacio , sólo la segunda parte de esta proposición, sobre la suficiencia de las condiciones para la existencia de una subcubierta finita, se denomina lema de Heine-Borel. $\mathbb{R}^n$

Resulta que un espacio métrico tiene la propiedad de Heine-Borel si y solo si es un espacio compacto , es decir, todo subconjunto infinito del mismo tiene un punto límite perteneciente a . Así, un espacio métrico compacto podría definirse como un espacio cuya cubierta abierta contiene una subcubierta finita. ${\ matemáticas {M}}$ ${\ matemáticas {M}}$

Al pasar de los espacios métricos a un concepto más general de espacios topológicos , resultó que estas dos condiciones no son equivalentes: si un espacio topológico tiene la propiedad de Heine-Borel, entonces todo subconjunto infinito del mismo tiene un punto límite, pero a la inversa no siempre es cierto. La propiedad más fuerte de Heine-Borel se ha tomado como la definición de un espacio topológico compacto . Además, la antigua condición de compacidad, es decir, la existencia de un punto límite para cualquier subconjunto infinito, resultó ser equivalente a la siguiente condición: toda cubierta abierta numerable contiene una subcubierta finita. Tales espacios llegaron a ser llamados numerablemente compactos .

Antecedentes históricos

La historia de la proposición matemática, conocida hoy como el lema de Heine-Borel, comenzó en la segunda mitad del siglo XIX, cuando los matemáticos estaban ocupados buscando fundamentos confiables para una construcción rigurosa del cálculo . Entre otros, uno de los resultados fundamentales del análisis que requería una demostración rigurosa era el teorema de que toda función continua en un segmento es uniformemente continua en él. Dirichlet fue el primero en demostrar este teorema en sus conferencias de 1862, que se publicaron recién en 1904. Al mismo tiempo, implícitamente usó el hecho de que si un segmento está cubierto por un número infinito de intervalos, entonces uno puede elegir entre ellos un número finito que también cubra el segmento dado. Posteriormente, E. Heine , K. Weierstrass , S. Pinkerle utilizaron un razonamiento similar . El primero en formular y probar el lema de Heine-Borel en una forma cercana a la moderna fue E. Borel en 1895. Sin embargo, su formulación se limitó a revestimientos que constaban de un número contable de intervalos. Fue generalizado a revestimientos infinitos arbitrarios por el alumno de E. Borel, A. Lebesgue , en 1898.

En la literatura matemática, esta proposición se puede encontrar bajo varios nombres. El nombre más común es el lema de Heine-Borel [1] [3] [4] , que se colocó en el título de este artículo. Sin embargo, a menudo se utilizan los siguientes: Lema de Borel-Lebesgue [5] , Lema de Borel [6] . En algunos libros, esta proposición no se llama lema, sino teorema: el teorema de Heine-Borel [7] , el teorema de Borel-Lebesgue [2] . También aparece el nombre del lema de cobertura finito [5] .

Véase también

Notas

↑ 1 2 Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional. - art. 107.
↑ 1 2 3 4 Aleksandrov PS Introducción a la teoría de conjuntos y topología general. — S. 183-184, 193-195.
↑ 1 2 3 4 Kudryavtsev L. D. Curso de análisis matemático. - T. 2. - S. 195-196.
↑ Ilyin V. A., Poznyak E. G. Fundamentos del análisis matemático: En 2 horas, Parte I.
↑ 1 2 Zorich V. A. Análisis matemático. Parte I
↑ Fikhtengolts G. M. Curso de cálculo diferencial e integral en 3 volúmenes. - T. 1.
↑ Rudin U. Fundamentos del análisis matemático.

Literatura

Aleksandrov PS Introducción a la teoría de conjuntos y topología general. - M. : "Nauka", 1977. - 368 p.

Zorich V. A. Análisis matemático. Parte I. - 4ª ed., Rev. - M. : MTSNMO, 2002. - XVI + 664 p. — ISBN 5-94057-056-9 .

Ilyin V. A., Poznak E. G. Fundamentos del análisis matemático: en 2 horas Parte I. - 7ª ed. - M. : FIZMATLIT, 2005. - 648 p. - ISBN 5-9221-0536-1 .

Kolmogorov AN, Fomin SV Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional. - 7ª ed. - M. : "Fizmatlit", 2004. - 572 p. — ISBN 5-9221-0266-4 .

Kudryavtsev L. D. Curso de Análisis Matemático. - 5ª ed. - M. : "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1 .

Rudin U. Fundamentos del análisis matemático = Principios del análisis matemático / per. De inglés. teniendo - 2ª ed., estereotipada. - M. : "Mir", 1976.

Fikhtengol'ts G.M. Curso de cálculo diferencial e integral en 3 volúmenes. - T. 1.