Continuidad uniforme

La continuidad uniforme es la propiedad de una función de ser igualmente continua en todos los puntos del dominio de definición. En análisis matemático este concepto se introduce para funciones numéricas , en análisis funcional se generaliza a espacios métricos arbitrarios .

El concepto de continuidad claramente significa que pequeños cambios en el argumento conducen a pequeños cambios en el valor de la función. La propiedad de continuidad uniforme impone una condición adicional: el valor que limita la desviación del valor del argumento debe depender únicamente del valor de la desviación de la función, pero no del valor del argumento, es decir, debe ser adecuado para todo el dominio de la función.

Continuidad uniforme de funciones numéricas

Definición

Una función numérica de una variable real es uniformemente continua si [1] : $f\colon M\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

\forall \varepsilon >0\colon ~\exists \delta =\delta (\varepsilon )>0\colon ~\forall x_{1},x_{2}\in M\colon ~{\bigl (} |x_{1}-x_{2}|<\delta {\bigr)}\Rightarrow {\bigl (}|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon {\bigr) },

donde son los cuantificadores de universalidad y existencia , respectivamente, y es la implicación . ${\ estilo de visualización \ para todos, \ existe}$ $\Flecha correcta$

Notas

Es importante que la elección dependa solo de la magnitud y sea adecuada para cualquiera ; esto distingue la continuidad uniforme de la continuidad ordinaria. $\delta$ $\varepsilon$ $x_{1},x_{2}$

La definición anterior es fácilmente generalizable al caso de funciones de varias variables [2] .

Ejemplos

Función

f(x)={\frac{1}{x)),\;x\in (0,1)

es continua en todo el dominio de definición, pero no es uniformemente continua, ya que para cualquier (arbitrariamente pequeño) uno puede especificar un segmento de los valores del argumento tal que en sus extremos los valores de la función diferirán más que por Esto se debe al hecho de que la pendiente de la gráfica de la función en torno a cero crece indefinidamente. $\varepsilon >0$ $X$ $\varepsilon.$

Otro ejemplo: función

f(x)=x^{2},\;x\in (-\infty,+\infty)

es continua a lo largo de toda la recta numérica, pero no es uniformemente continua, ya que

\lim _{x\to \infty }{\Big (}f{\big (}x+{\frac {a}{x}}{\big )}-f(x){\Big )} =\lim _{x\to \infty}(x^{2}+2a+a^{2}x^{-2}-x^{2})=2a.

Siempre es posible elegir un valor para cualquier segmento de longitud arbitrariamente pequeña , de modo que la diferencia en los valores de la función en los extremos del segmento sea mayor En particular, en el segmento, la diferencia en los valores de la función tiende a $\varepsilon >0$ $\varepsilon /x$ $f(x)=x^{2}$ $\varepsilon.$ $\left[x,x+{\frac {\varepsilon}{x}}\right]$ $2\varepsilon.$

Propiedades

Tres propiedades se siguen inmediatamente de la definición:

Una función uniformemente continua en un conjunto es continua en él. $METRO$
- Lo contrario es cierto si es
compacto . $METRO$

Una función uniformemente continua en un conjunto será uniformemente continua en cualquier subconjunto del mismo.

Una función que es uniformemente continua en un intervalo acotado siempre está acotada en este intervalo [3] . En un intervalo infinito, una función uniformemente continua puede no estar acotada (por ejemplo, en un intervalo ).

\ln x

x\in (1;+\infty)

Algunos criterios para la continuidad uniforme de una función

Teorema de la continuidad uniforme ( Cantor - Heine ): una función que es continua en un intervalo finito cerrado (o en cualquier conjunto compacto) es uniformemente continua en él. Además, si el intervalo finito cerrado se reemplaza por uno abierto , la función puede no ser uniformemente continua.
La suma, la diferencia y la composición de funciones uniformemente continuas son uniformemente continuas [4] . Sin embargo, el producto de funciones uniformemente continuas puede no ser uniformemente continuo. Por ejemplo [5] , sean Ambas funciones uniformemente continuas en , pero su producto no es uniformemente continuo en . Para un intervalo acotado, el producto de funciones uniformemente continuas siempre es uniformemente continuo [3] . ${\ estilo de visualización f (x) = x; \ g (x) = \ ln (x).}$ ${\ estilo de visualización x \ geqslant 1}$ ${\ estilo de visualización [1, + \ infinito)}$
Si una función es definida y continua en y existe un límite finito , entonces la función es uniformemente continua en . En otras palabras, una función definida en un semiintervalo infinito puede no ser uniformemente continua solo si su límite en el infinito no existe o es infinito [6] . $f(x)$ $[a,+\infty)$ $\lim _{x\to +\infty}f(x)$ $[a,+\infty)$
Una función monótona acotada , continua en el intervalo (o en toda la línea real), es uniformemente continua en este intervalo [7] .
Una función que es continua en la recta numérica entera y periódica es uniformemente continua en la recta numérica entera [8] .
Una función que tiene una derivada acotada en un intervalo es uniformemente continua en este intervalo [9] .