Simbolismo de Herman - Mogen

Los símbolos de Hermann-Mogen se utilizan para representar la simetría de grupos de puntos (junto con los símbolos de Schoenflies ), grupos de planos y grupos de espacios. Fueron propuestos por el cristalógrafo alemán Carl Hermann en 1928 y modificados por el mineralogista francés Charles Victor Mauguin en 1931. También llamados símbolos internacionales, ya que se han utilizado en las Tablas Internacionales de Cristalografía [1] desde su primera edición en 1935. Antes de esto, para designar grupos de puntos y espacios, por regla general, se usaban símbolos de Schoenflies .

Contenidos

Notación para grupos de puntos cristalográficos

El símbolo de Herman-Mogen denota elementos de simetría simétricamente no equivalentes. Los ejes de rotación de simetría se indican con números arábigos: 1, 2, 3, 4 y 6. Los ejes de inversión se indican con números arábigos con un guión en la parte superior: 1 , 3 , 4 y 6 . En este caso, el eje 2 , que es simplemente un plano de simetría, se denota con el símbolo m (inglés mirror - espejo). La dirección del plano es la dirección perpendicular a él (es decir, el 2 eje ). Los ejes de espejo no se utilizan en símbolos internacionales.

La orientación del elemento relativa a los ejes de coordenadas viene dada por la posición del elemento en el símbolo del grupo. Si la dirección del eje de simetría es perpendicular a la dirección del plano, entonces se escriben en la misma posición que una fracción. Si el eje de inversión tiene mayor valor de simetría (capacidad de reproducción) que el eje de rotación coincidente con él, entonces se indica en el símbolo (es decir, se escribe no , pero 6 ; si hay un centro de inversión en el grupo, no 3, pero 3 ). $\color {Negro}{\tfrac {3}{m}}$

La categoría más baja son los grupos de puntos, en los que el orden máximo de cualquier eje (rotación o rotación impropia) es igual a dos. Incluye los grupos 1, 1 , 2, m, , 222, mm2 y . Si hay tres posiciones en el símbolo de grupo, entonces $\color {Negro}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Negro}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$

en la 1ra posición - dirección a lo largo del eje X

en la 2ª posición - dirección a lo largo del eje Y

en la 3ra posición - dirección a lo largo del eje Z

En una configuración personalizada, el grupo mm2 se puede escribir como m2m o como 2 mm. De manera similar, los grupos 2, m y se pueden escribir con más detalle, indicando a lo largo de qué eje de coordenadas va la dirección del eje y / o plano de segundo orden. Por ejemplo, 11m, 1m1 o m11. Esta característica del simbolismo se utiliza para describir sin ambigüedades grupos espaciales con una elección diferente de sistema de coordenadas, ya que los símbolos de los grupos espaciales se derivan de los símbolos de sus grupos de puntos correspondientes. $\color {Negro}{\tfrac {2}{m}}$

Categoría media : grupos de puntos en los que hay un eje de orden por encima de dos (eje de orden más alto). Aquí cabe señalar que la cristalografía utiliza un sistema de coordenadas cristalográficas asociado con la simetría del cristal. En este sistema, los ejes seleccionan direcciones especiales en el cristal (las direcciones a lo largo de las cuales van los ejes de simetría o traslación). Por lo tanto, en presencia de un eje de tercer o sexto orden, el ángulo entre las direcciones X e Y es de 120° y no de 90° como en el sistema de coordenadas cartesiano habitual .

en la primera posición: la dirección del eje principal, es decir, el eje Z

en la 2 posicion - la direccion lateral. Es decir, la dirección a lo largo del eje X y el eje Y equivalente

en la 3ra posición - una dirección diagonal entre direcciones laterales simétricamente equivalentes

Esta categoría incluye los grupos 3, 4, 6, 3 , 4 , 6 , 32, 422, 622, 3m, 4mm, 6mm, 3 , 4 2m, 6 m2 , , y . $\color {Negro}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Negro}{\tfrac {4}{m}}$ $\color {Negro}{\tfrac {6}{m}}$ $\color {Negro}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Negro}{\tfrac {6}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$

Como el eje 3 y el plano perpendicular a él equivalen al eje 6 , entonces = 6 y m2 = 6 m2, pero se recomienda utilizar la notación con el eje invertido 6 , ya que su simetría es mayor que la del 3 eje Los grupos 4 2m y 6 m2 se pueden escribir como 4 m2 y 6 2m. Arriba estaban las designaciones adoptadas en la literatura en idioma ruso. La secuencia de símbolos 2 y m en estos grupos se vuelve importante cuando se describen grupos espaciales derivados de ellos, ya que el elemento en la segunda posición está dirigido a lo largo del eje de la celda de Bravais, y el elemento en la tercera posición está dirigido a lo largo de la diagonal de la cara. Por ejemplo, los símbolos P 4 2m y P 4 m2 representan dos grupos espaciales diferentes. El grupo 32 también se puede escribir con mayor detalle como 321 o 312 para diferentes orientaciones del eje 2. Asimismo, diferentes orientaciones dan como resultado dos grupos espaciales diferentes P321 y P312. Lo mismo se aplica a los grupos 3m (entradas alternativas 3m1 y 31m) y 3 (entradas alternativas 3 1 y 3 1 ). $\color {Negro}{\tfrac {3}{m}}$ $\color {Negro}{\tfrac {3}{m}}$ $\color {Negro}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Negro}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Negro}{\tfrac {2}{m}}$

La categoría más alta son los grupos de puntos en los que hay varios ejes de orden superior.

en la primera posición - direcciones equivalentes X, Y, Z

en 2ª posición - siempre presente allí cuatro ejes 3 o 3

en la 3ra posición - la dirección diagonal entre los ejes de coordenadas

Esta categoría incluye cinco grupos - 23, 432, 3 , 4 3m y 3 $\color {Negro}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Negro}{\tfrac {4}{m}}$ $\color {Negro}{\tfrac {2}{m}}$

Los símbolos internacionales generalmente se simplifican reemplazándolos con m si el eje n es generado por otros elementos de simetría indicados en el símbolo. No puede eliminar solo la designación del eje principal en la categoría intermedia. Por ejemplo, escriben como mmm, como mm y 3 como m 3 m. $\color {Negro}{\tfrac {n}{m}}$ $\color {Negro}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Negro}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Negro}{\tfrac {4}{m}}$ $\color {Negro}{\tfrac {4}{m}}$ $\color {Negro}{\tfrac {2}{m}}$

Notación de grupos de puntos

Los grupos con un eje de orden superior se escriben según los mismos principios que los grupos cristalográficos de categoría media. Se pueden enumerar en la siguiente tabla.

Schoenflies	símbolo de SM	3	cuatro	5	6	7	ocho	9	diez	once	12	13	catorce	...	$\infty$
$C_{{n}}$	$norte$	3	cuatro	5	6	7	ocho	9	diez	once	12	13	catorce	...	$\infty$
$C_{nv}$	$norte$ metro	3m		5m		7m		9m		11m		13m			$\infty$ metro
$C_{nv}$	$norte$ milímetro		4 mm		6 mm		8 mm		10 mm		12 mm		14 mm		$\infty$ metro
$S_{2n}$	$\granero}$	3		5		7		9		once		13			$\tfrac{\infty}{m}$
$S_{n}$			cuatro				ocho				12
$C_{\tfrac{n}{2}h}$					6				diez				catorce
$C_{nh}$	${\tfrac{n}{m))$		$\tfrac{4}{m}$		$\tfrac{6}{m}$		$\tfrac{8}{m}$		$\tfrac{10}{m}$		$\tfrac{12}{m}$		$\tfrac{14}{m}$
$D_{n}$	$norte$ 2	3 2		5 2		7 2		9 2		11 2		13 2			$\infty$ 2
$D_{n}$	$norte$ 22		4 22		6 22		8 22		10 22		12 22		14 22		$\infty$ 2
$D_ {nd}$	$\bar{n}\tfrac{2}{m}$	3 $\tfrac{2}{m}$		5 $\tfrac{2}{m}$		7 $\tfrac{2}{m}$		9 $\tfrac{2}{m}$		once $\tfrac{2}{m}$		13 $\tfrac{2}{m}$			$\tfrac{\infty}{m}m$
$D_{\tfrac{n}{2}d}$	$\bar{n}2m=$ $=\bar{n}m2$		42m _				8 2m				12 2m
$D_{\tfrac{n}{2}h}$	$\bar{n}2m=$ $=\bar{n}m2$				6 m2				10m2 _				14 m2
$D_{nh}$	$\tfrac{n}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}$		$\tfrac{4}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}$		$\tfrac{6}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}$		$\tfrac{8}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}$		$\tfrac{10}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}$		$\tfrac{12}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}$		$\tfrac{14}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}$

De los grupos finales no cristalográficos, solo quedan dos grupos que contienen varios ejes de orden superior. Este es el grupo de simetría del icosaedro y su subgrupo es el grupo de simetría axial del icosaedro (una combinación de seis ejes de quinto orden, diez ejes de tercer orden y 15 ejes de segundo orden). Dado que el simbolismo de Hermann-Moguin originalmente estaba destinado solo a los grupos cristalográficos, los símbolos de estos grupos son bastante arbitrarios y se construyen como los símbolos de los grupos cristalográficos de la categoría más alta. Además, para estos grupos no existe una configuración estándar del sistema de coordenadas (y el carácter internacional depende de ello). A continuación hay varias opciones de personajes.

[2] 3 5 (abreviado m 3 5 ) y 235. $\color {Negro}{\tfrac {2}{m}}$

[3] [4] 5 (abreviado m 5 ) y 25 - por analogía con los símbolos 3 (abreviado m 3 ) y 23. $\color {Negro}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Negro}{\tfrac {2}{m}}$

[5] m 5 m y 532 - por analogía con los símbolos m 3 m y 432.

[6] 5 3 (abreviado 5 3 m) y 532 - por analogía con los símbolos 3 y 432. $\color {Negro}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Negro}{\tfrac {4}{m}}$ $\color {Negro}{\tfrac {2}{m}}$

[7] 5 3m y 53.

En la práctica, por regla general, los símbolos de Schoenflies I h e I se utilizan para designar estos grupos .

Cinco grupos de la tabla c se denominan grupos límite [8] o grupos de Curie . Estos incluyen dos grupos más que no se presentan en la tabla. Este es el grupo de todas las rotaciones posibles alrededor de todos los ejes que pasan por el punto , el grupo de rotaciones, así como el grupo que describe la simetría de la pelota, la simetría máxima posible del punto en el espacio tridimensional; todos los grupos de puntos son subgrupos del grupo . Nuevamente, al igual que con los grupos de simetría del icosaedro, existen varias notaciones para estos grupos ( y , y ). En matemáticas y física teórica, generalmente se denotan como SO (3) y O (3) ( grupo ortogonal especial en el espacio tridimensional y grupo ortogonal en el espacio tridimensional). $n=\infty$ $\infty \infty$ $\color{Negro}\tfrac{\infty}{m}\infty$ $\color{Negro}\tfrac{\infty}{m}\infty$ $2\infty$ $m\bar{\infty}$ $\infty \infty$ $\infty \infty m$

Notación de grupo espacial

El símbolo de Hermann-Mogen para el grupo espacial se construye de acuerdo con los mismos principios que el símbolo del grupo de puntos cristalográficos, además se agrega el tipo de centrado de la celda al comienzo del símbolo. Son posibles los siguientes tipos de centrado

P - primitivo
I - centrado en el cuerpo (nodo adicional en el centro de la celda).
F - centrado en la cara (nodos adicionales en los centros de todas las caras).
C, A o B: centrado en la base (un nodo adicional en el centro de la cara C, A o B). Las celdas A y B también se denominan centradas en los lados.
R - doblemente centrado en el cuerpo (dos nodos adicionales en la diagonal grande de la celda).

Los planos de simetría se indican de la misma forma que en los grupos de puntos, con el símbolo m . Los planos de reflexión de deslizamiento se designan según la dirección de deslizamiento con respecto a los ejes de la celda de cristal. Si se produce deslizamiento a lo largo de uno de los ejes, entonces el plano se indica con la letra latina correspondiente a , b o c . En este caso, la cantidad de deslizamiento es siempre igual a la mitad de la traducción. Si el deslizamiento se dirige a lo largo de la diagonal de una cara o la diagonal espacial de una celda, entonces el plano se denota con la letra n en el caso de un deslizamiento igual a la mitad de la diagonal, o d en el caso de un deslizamiento igual a un cuarto de la diagonal (esto solo es posible si la diagonal está centrada). Los planos n y d también se denominan planos de cuña. Los planos d a veces se denominan planos de diamante porque están presentes en la estructura del diamante (diamante inglés - diamante).

Nikolai Vasil'evich Belov también sugirió introducir la notación r para planos con deslizamiento a lo largo de la diagonal del espacio en una celda romboédrica. Sin embargo, los planos r siempre coinciden con los planos especulares ordinarios y el término no se ha popularizado. Hay planos en cinco grupos espaciales donde el deslizamiento ocurre tanto a lo largo de un eje como a lo largo del segundo eje de la celda (es decir, el plano es a y b o a y c o b y c ). Esto se debe al centrado de la cara paralela al plano de deslizamiento. En 1992, se introdujo el símbolo e para estos aviones . [9]

Número de grupo	39	41	64	67	68
viejo simbolo	Abm2	aba2	cma	cmma	cca
Nuevo símbolo	Aem2	Aea2	cme	cmme	cc

Los ejes giratorios ordinarios de orden n se indican de la misma manera que en los grupos de puntos, con el número arábigo n . Los ejes de tornillo están indicados por el número del eje giratorio correspondiente con un índice que caracteriza la cantidad de transferencia a lo largo del eje durante la rotación simultánea. Posibles ejes helicoidales en el caso 3D: 2 1 (rotación 180° y desplazamiento 1/2 traslación), 3 1 (rotación 120° y desplazamiento 1/3 traslación), 3 2 (rotación 120° y desplazamiento 2/3 traslación), 4 1 (girar 90° y cambiar 1/4 de traslación), 4 2 (rotar 90° y cambiar 1/2 de traslación), 4 3 (rotar 90° y cambiar 3/4 de traslación), 6 1 , 6 2 , 6 3 , 6 4 , 6 5 (girar 60° y desplazar 1/6, 2/6, 3/6, 4/6 y 5/6 de traslación, respectivamente). Los ejes 3 2 , 4 3 , 6 4 y 6 5 son enantiomórficos a los ejes 3 1 , 4 1 , 6 2 y 6 1 , respectivamente. Es debido a estos ejes que hay 11 pares enantiomórficos de grupos espaciales: en cada par, un grupo es una imagen especular del otro.

P4 1	P4 1 22	P4 1 2 1 2	P3 1	P3 1 12	P3 1 21	P6 1	P6 2	P6 1 22	P6 2 22	P4 1 32
P4 3	P4 3 22	P4 3 2 1 2	P3 2	P3 2 12	P3 2 21	P6 5	P64 _	P6 5 22	P6 4 22	P4 3 32

Configuración del grupo espacial y selección de la celda Bravais

El símbolo de Herman-Mogen depende de la configuración del grupo espacial, es decir, de cómo se dirigen los elementos de simetría (ejes, planos, traslaciones) en relación con el sistema de coordenadas elegido. Esto es especialmente importante en el caso de grupos espaciales, cuando el sistema de coordenadas, es decir, la elección de la celda de Bravais, afecta la designación del plano de reflexión oblicua ( a, b, c, n, d ) y el tipo de celda. centrado. En grupos en los que una dirección difiere de las otras dos (por ejemplo, grupos de puntos 3, 4, 6, mm2, 3m 4mm, 6mm, 32, 422, 622 y grupos espaciales derivados de ellos), se elige esta dirección especial para el Eje Z (el vector c de la celda de Bravais). Una excepción importante son los grupos de singonía monoclínicos (grupos de puntos 2, m, 2/m y grupos espaciales derivados de ellos), en los que esta dirección particular se elige como el eje Y (vector b de la celda de Bravais). La razón de esto es puramente histórica y proviene de la mineralogía. Como escribe Belov , “un cristalógrafo clásico y, sobre todo, un mineralogista, sabe bien que la elongación de un cristal, con la que él, sin dudarlo, asocia el eje vertical Z , en la mayoría de los casos no coincide con la dirección especial de un monoclínico. cristal, al que el morfólogo proporciona el segundo eje Y. ” [10] Por lo tanto, los caracteres internacionales ampliados para estos grupos serían los siguientes.

Número de grupo	3	cuatro	5	6	7	ocho	9	diez	once	12	13	catorce	quince
Símbolo	P2	P2 1	C2	Pm	ordenador personal	cm	CC	P2/m2	P2 1 /m	C2/m2	P2/c	P2 1 /c	C2/c
Símbolo expandido	P121	P12 1 1	C121	P1m1	P1c1	C1m1	C1c1	P1 1 $\color {Negro}{\tfrac {2}{m}}$	P1 1 $\color{Negro}\tfrac{2_{1}}{m}$	C1 1 $\color {Negro}{\tfrac {2}{m}}$	P1 1 $\color{Negro}\tfrac{2}{c}$	P1 1 $\color{Negro}\tfrac{2_{1}}{c}$	C1 1 $\color{Negro}\tfrac{2}{c}$

En la configuración estándar, el plano de deslizamiento en el sistema monoclínico no puede ser b , ya que la dirección de deslizamiento no puede ser perpendicular al plano mismo. Además, el centrado de la celda no puede ser B, ya que en este caso se podría ir a una celda primitiva de la mitad del volumen y la misma simetría.

Véase también

Notas

↑ (Tablas internacionales) Página de inicio . Consultado el 20 de noviembre de 2011. Archivado desde el original el 28 de noviembre de 2011. (indefinido)
↑ Biblioteca en línea de Wiley: IUCR ITL Acceso denegado (enlace no disponible) . Consultado el 20 de noviembre de 2011. Archivado desde el original el 4 de julio de 2013. (indefinido)
↑ PM Zorkiy. Simetría de moléculas y estructuras cristalinas, Universidad Estatal de Moscú, 1986, página 42.
↑ Familias de grupos de puntos . Consultado el 20 de noviembre de 2011. Archivado desde el original el 15 de abril de 2012. (indefinido)
↑ B. K. Weinstein, V. M. Fridkin, V. L. Indenbom. Cristalografía moderna. Volumen 1. M.: Nauka, 1979, p.97.
↑ Grupos de puntos en tres dimensiones
↑ AV Shubnikov. Simetría y antisimetría de figuras finitas, Editorial de la Academia de Ciencias de la URSS, 1951
↑ Limitar grupos de puntos . Consultado el 21 de noviembre de 2011. Archivado desde el original el 23 de febrero de 2008. (indefinido)
↑ PM de Wolff, Y. Billiet, J. D. H. Donnay, W. Fischer, R. B. Galiulin, A. M. Glazer, Th. Hahn, M. Senechal, D. P. Shoemaker, H. Wondratschek, A. J. C. Wilson y S. C. Abrahams, 1992, Acta Cryst., A48, 727-732.
↑ N. V. Belov, G. P. Litvinskaya, Sobre la instalación de cristales de sistemas inferiores. — En el libro: Problemas de Cristalología. M.: Editorial de la Universidad Estatal de Moscú, 1976. p. 13-14

Literatura

Grupos de puntos

P. M. Zorkiy. Simetría de moléculas y estructuras cristalinas. M.: Editorial de la Universidad Estatal de Moscú, 1986 (disponible en línea http://www.chem.msu.su/rus/teaching/zorkii2/welcome.html )
Yu. K. Egorov-Tismenko, G. P. Litvinskaya. Teoría de la simetría de los cristales. Moscú: Editorial GEOS, 2000 (disponible en línea http://geo.web.ru/db/msg.html?mid=1163834 )
Yu. K. Egorov-Tismenko, G. P. Litvinskaya, Yu. G. Zagalskaya. Cristalografía. M.: Editorial de la Universidad Estatal de Moscú, 1992
Yu. G. Zagalskaya, G. P. Litvinskaya. Cristalografía geométrica. M.: Editorial de la Universidad Estatal de Moscú, 1973

Grupos espaciales

Yu. K. Egorov-Tismenko, G. P. Litvinskaya. Teoría de la simetría de los cristales. Moscú: Editorial GEOS, 2000 (disponible en línea http://geo.web.ru/db/msg.html?mid=1163834 )
Yu. G. Zagalskaya, G. P. Litvinskaya. Microcristalografía geométrica. M.: Editorial de la Universidad Estatal de Moscú, 1976
N. V. Belov. Un método genial para derivar grupos de simetría espacial. Actas del Instituto de Cristalografía de la Academia de Ciencias de la URSS. 1951. Nº 6. S. 25-62.
N. V. Belov. Ensayos sobre cristalografía estructural y grupos de simetría de Fedorov. M.: Ciencia. 1986.