Covarianza de Lorentz

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La covarianza de Lorentz es una propiedad de los sistemas de ecuaciones matemáticas que describen leyes físicas para conservar su forma cuando se aplican transformaciones de Lorentz [1] . Más precisamente, cualquier ley física debe estar representada por un sistema de ecuaciones relativistamente invariante, es decir invariante bajo el grupo de Lorentz no homogéneo ortocrónico completo . [2] Se acepta generalmente que todas las leyes físicas deben tener esta propiedad, y no se han encontrado desviaciones experimentales de ella. Sin embargo, algunas teorías[ aclarar ] hasta ahora no ha sido posible construir de tal manera que la covarianza de Lorentz se cumpla .

Terminología

Covarianza de Lorentz de las leyes físicas

La covarianza de Lorentz de las leyes físicas es una concreción del principio de relatividad (es decir, el requisito postulado de que los resultados de los experimentos físicos y la escritura de ecuaciones sean independientes de la elección de un marco de referencia específico ). Históricamente, este concepto se convirtió en el principal cuando el principio de relatividad se incluyó en el alcance del principio de relatividad (previamente formulado utilizando no la transformación de Lorentz, sino la transformación de Galileo ) de la electrodinámica de Maxwell, incluso entonces Lorentz-covariante y no tenía posibilidades visibles de reelaboración de la covarianza con respecto a las transformaciones de Galileo, lo que condujo a la difusión del requisito de la covarianza de Lorentz y en la mecánica y, como resultado, a un cambio en este último.

Es conveniente considerar las transformaciones de Lorentz como rotaciones y transformaciones especiales en el espacio de cuatro dimensiones y utilizar el análisis vectorial y tensorial para describirlas. Debido a esto, el registro de sistemas de ecuaciones matemáticas que describen las leyes de la naturaleza en forma de vector y tensor le permite determinar inmediatamente su covarianza de Lorentz sin realizar la transformación de Lorentz. [3]

Cantidades invariantes de Lorentz

La invariancia de Lorentz es la propiedad de alguna cantidad que se conserva bajo las transformaciones de Lorentz (por lo general, se refiere a una cantidad escalar , pero también hay una aplicación de este término a 4 vectores o tensores, lo que significa no su representación específica, sino "objetos geométricos en sí mismos" ).

Según la teoría de la representación del grupo de Lorentz, las cantidades covariantes de Lorentz, además de los escalares, se construyen a partir de 4 vectores , espinores y sus productos tensoriales (campos tensoriales).

"Covarianza" vs "invarianza"

Recientemente, ha habido un desplazamiento del término covarianza de Lorentz por el término invariancia de Lorentz , que se aplica cada vez más por igual tanto a las leyes (ecuaciones) como a las cantidades. . Es difícil decir si esto ya es la norma de la lengua, o es más bien una especie de libertad de uso. Sin embargo, en la literatura antigua[ ¿Qué? ] hubo una tendencia a distinguir estrictamente entre estos términos: el primero ( covarianza ) se utilizó en relación con ecuaciones y cantidades multicomponente (representaciones de tensores, incluidos los vectores, y los tensores mismos, ya que el límite terminológico entre el tensor y el conjunto de sus componentes a menudo no se dibujaron), lo que implica un cambio constante en los componentes de todas las cantidades incluidas en las igualdades o simplemente un cambio en los componentes de diferentes tensores (vectores) coordinados entre sí; la segunda ( invariancia ) se aplicó, como más específica, a los escalares (también a las expresiones escalares), implicando una simple inmutabilidad de la magnitud.

Ejemplos

Escalares

Un sinónimo de las palabras cantidad invariante de Lorentz en el formalismo de espacio-tiempo de 4 dimensiones es el término escalar , que, para especificar completamente el contexto previsto, a veces se denomina escalar invariante de Lorentz .

La velocidad de la luz en el vacío.

Intervalo :

\Delta s^{2}=\eta _{{ab}}x^{a}x^{b}=c^{2}\Delta t^{2}-\Delta x^{2}-\Delta y^{2}-\Delta z^{2}\

Tiempo propio :

con movimiento uniforme:

\Delta \tau ={\sqrt {{\frac {\Delta s^{2}}{c^{2}}}}},\,\Delta s^{2}>0

en general:

\Delta \tau =\int d\tau ={\frac 1c}\int {\sqrt {(ds)^{2}}}=\int {\sqrt {1-{\frac {v^{2}} {c^{2}}}}}dt,\ \

donde es el valor de la velocidad tridimensional, y se entiende que en todas partes

v

{\ estilo de visualización (ds) ^ {2}> 0, v <c}

Acción para una partícula puntual masiva sin estructura de masa m :

S=mc^{2}\Delta \tau =mc\int {\sqrt {(ds)^{2}}}=mc^{2}\int {\sqrt {1-{\frac {v^{2 }}{c^{2}}}}}}dt

Masa invariante m :

m^{2}c^{2}=\eta _{{ab}}p^{a}p^{b}={\frac {E^{2}}{c^{2}}}-p_ {x}^{2}-p_{y}^{2}-p_{z}^{2}

Invariantes electromagnéticos (de la teoría de Maxwell ):

F_{{ab}}F^{{ab}}=\ 2\izquierda(B^{2}-{\frac {E^{2}}{c^{2}}}\derecha)

G_{cd}F^{cd}={\frac {1}{2}}\epsilon_{abcd}F^{ab}F^{cd}=-{\frac {4}{c} }\left({\vec {B}}\cdot {\vec {E}}\right)

Operador de onda (operador de d'Alembert):

\Box =\eta ^{{\mu \nu }}\parcial _ {\mu }\parcial _ {\nu }={\frac {1}{c^{2))}{\frac {\parcial ^ {2}}{\parcial t^{2}}}-{\frac {\parcial ^{2}}{\parcial x^{2}}}-{\frac {\parcial ^{2}}{\ parcial y^{2))}-{\frac {\parcial ^{2)){\parcial z^{2))}

(para una elección dada de la firma de la métrica de Minkowski η , la forma reducida del operador coincide con la definición tradicional del operador de d’Alembert hasta firmar).

4-vectores

x^{a}=[ct,x,y,z]\

\parcial _ {a}=\left[{\frac {1}{c}}{\frac {\parcial {\parcial t)),{\frac {\parcial }{\parcial x)),{\ frac {\parcial }{\parcial y)),{\frac {\parcial }{\parcial z))\right]

U^{a}={\frac {dx^{a}}{cd\tau}}={\frac {1}{c{\sqrt {1-v^{2}/c^{2 }}}}}\izquierda[c,v_{x},v_{y},v_{z}\derecha],

dónde

v_{x}={\frac {dx}{dt)),v_{y}={\frac {dy}{dt)),v_{z}={\frac {dz}{dt)),v= {\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2))}

p^{a}=m_{0}U^{a}=\izquierda[{\frac {E}{c}},p_{x},p_{y},p_{z}\derecha]

j^{a}=[c\rho ,j_{x},j_{y},j_{z}]\

Tensores

\delta _{b}^{a}={\begin{casos}1&{\mbox{si}}a=b,\\0&{\mbox{si}}a\neq b.\end{casos}}

\eta _{{ab}}=\eta ^{{ab}}={\begin{casos}1&{\mbox{if }}a=b=0,\\-1&{\mbox{if }}a =b=1,2,3,\\0&{\mbox{si }}a\neq b.\end{casos}}

\epsilon _{abcd}=-\epsilon ^{abcd}={\begin{cases}+1&{\mbox{if }}\{abcd\}{\mbox{ permutación par }}\{0123\ },\\-1&{\mbox{if }}\{abcd\}{\mbox{ permutación impar }}\{0123\},\\0&{\mbox{en todos los demás casos.}}\end{cases }}

F_{{ab))={\begin{bmatriz}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\- E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatriz}}

G_{{cd))={\frac {1}{2}}\epsilon_{{abcd}}F^{{ab}}={\begin{bmatriz}0&B_{x}&B_{y}&B_{z }\\-B_{x}&0&-E_{z}/c&E_{y}/c\\-B_{y}&E_{z}/c&0&-E_{x}/c\\-B_{z}&- E_{y}/c&E_{x}/c&0\end{bmatriz}}

Véase también

simetría en física
transformación	Invariancia correspondiente	La ley de conservación correspondiente
↕ Hora de emisión	Uniformidad de tiempo	…energía
⊠ C , P , CP y T - simetrías	Isotropía del tiempo	... paridad
↔ Espacio de difusión	Homogeneidad del espacio	…impulso
↺ Rotación del espacio	Isotropía del espacio	… impulso
⇆ Grupo Lorentz (impulsos)	Relatividad Covarianza de Lorentz	…movimientos del centro de masa
~ Transformación de calibre	Invariancia de calibre	... cobrar

Notas

↑ Einstein A. Sobre el problema de la relatividad // Albert Einstein Sobr. científico tr. en 4 volúmenes - M. Nauka, 1965. - v. 1, p. treinta
↑ Lomsadze Yu. M. Introducción teórica de grupo a la física de partículas elementales. - M., Escuela Superior , 1962. - c. 114
↑ Pauli, 1983 , pág. 42.

Literatura

Pauli W. Teoría de la Relatividad. - M. : Nauka, 1983. - 336 p.