Categoría simple

Una categoría simplicial (también categoría simplex , categoría ordinal ) [1] es una categoría de ordinales finitos no vacíos cuyos morfismos son funciones monótonas . Desempeña un papel importante en la topología algebraica [2] y es la base para construcciones tales como el objeto simplicial y el conjunto simplicial .

Una categoría simplicial (a veces se usa la notación [3] ) se construye a partir de objetos de la forma , donde es un número natural , y morfismos tales que se sigue de . En otras palabras, los objetos de la categoría simplicial son los números ordinales finitos , y los morfismos son funciones no estrictamente monótonas entre ellos. El ordinal es el objeto inicial de la categoría, y es el terminal . $\Delta$ $\mathbf {Orden}$ ${\ estilo de visualización [n] = \ {0,1, \ puntos, n \))$ $norte$ ${\ estilo de visualización f: [n] \ a [n']}$ $i\leqslant j$ ${\ Displaystyle f (i) \ leqslant f (j)}$ $[0]$ ${\ estilo de visualización [1]}$

Propiedades

Cualquier morfismo de una categoría simplicial puede ser generado por una composición de morfismos [4] ( ): $0\leqslant i\leqslant n$

\delta _{i}^{n}:[n-1]\a [n]

\sigma _{i}^{n}:[n+1]\a [n]

definido de la siguiente manera:

\delta _{i}^{n}(j)={\begin{casos}j,&j<i\\j+1,&j\geqslant i\end{casos}}

(mapeo inyectivo creciente , "fugas" ),

i

\sigma _{i}^{n}(j)={\begin{casos}j,&j\leqslant i\\j-1,&j>i\end{casos}}

(un mapeo sobreyectivo no decreciente que toma un valor dos veces).

i

Además, para todos hay una representación única: $f\in \mathrm {Hom}_{\Delta}([m],[n])$

f=\delta_{i_{s}}^{n}\delta_{i_{s-1}}^{n-1}\puntos \delta_{i_{1}}^{n- s+1}\sigma_{j_{t}}^{mt}\puntos \sigma_{j_{2}}^{m-2}\sigma_{j_{1}}^{m-1}

donde , , . $0\leqslant i_{1}<\dots <i_{s}\leqslant n$ $0\leqslant j_{t}<\dots <j_{1}<m$ $n=m-t+s$

Estos morfismos satisfacen las siguientes relaciones:

\delta _{j}^{n+1}\delta _{i}^{n}=\delta _{i}^{n+1}\delta _{j-1}^{n}

, si ,

yo<j

\sigma_{j}^{n}\sigma_{i}^{n+1}=\sigma_{i}^{n}\sigma_{j+1}^{i+1}

, si ,

i\leqslant j

\sigma_{j}^{n-1}\delta_{i}^{n}={\begin{casos}\delta_{i}^{n-1}\sigma_{j- 1}^{n-2},&i<j\\{\mathsf {Id}}_{[n-1]},&i=j\,\vee \,i=j+1\\\delta _{ i-1}^{n-1}\sigma _{j}^{n-2},&i>j+1\end{casos}}

Estas relaciones determinan únicamente los morfismos y . $\delta$ $\sigma$

Definiciones relacionadas

La suma ordinal es un bifuntor definido en números ordinales como suma ordinaria: $+:\Delta \times \Delta \to \Delta$

{\ estilo de visualización [n]+[n']=[n+n']}

y para morfismos y según el siguiente esquema: ${\ estilo de visualización f: [n] \ a [n']}$ ${\ estilo de visualización g: [m] \ a [m']}$

(f+g)(i)={\begin{casos}f(i),&0\leqslant i\leqslant n-1\\n'+g(in),&n\leqslant i\leqslant n+ m -1\end{casos}}

Una categoría simplicial con suma ordinal forma una categoría estrictamente monoide .

Las aplicaciones también utilizan una categoría simplicial aumentada , una categoría simplicial complementada con un ordinal : . A veces, una categoría simplicial aumentada se denomina categoría simplicial algebraica , en cuyo caso se denomina categoría topológica . ${\ estilo de visualización \ Delta _ {+))$ $[-1]=\varnada$ $\Delta _{+}=\Delta \cup [-1]$ $\Delta$

Notas

↑ A veces , un objeto simplicial de la categoría de categorías pequeñas se llama categoría simplicial . Además, a veces las categorías simplemente enriquecidas se denominan de la misma manera : categorías enriquecidas sobre la categoría de conjuntos simpliciales . Si existe un término “categoría simplical” para en el contexto de tales construcciones , se intenta evitar el uso de términos alternativos o solo una designación. $\Delta$
↑ McLane, 2004 , pág. 204.
↑ ¿ Con qué frecuencia también se denota la categoría de todos los conjuntos ordenados linealmente en los que la categoría simplicial es una subcategoría completa? $\mathbf {Orden}$
↑ Objeto simplicial - Artículo de la Enciclopedia de las Matemáticas . S. N. Malygin, M. M. Postnikov

Literatura

McLane S. Capítulo 7. Monoides // Categorías para el matemático en activo / Per. De inglés. edición V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 188-221. — 352 págs. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Gabriel P., Tsisman M. Categorías de fracciones y teoría de la homotopía = Cálculo de fracciones y teoría de la homotopía / Traducido del inglés por M. M. Postnikova . - M .: Mir , 1971. - S. 69-72. — 296 págs.