Valor aleatorio

Una variable aleatoria es una variable cuyos valores representan los resultados numéricos de algún fenómeno o experimento aleatorio. En otras palabras, es una expresión numérica del resultado de un evento aleatorio. La variable aleatoria es uno de los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad . [1] Es costumbre usar la letra griega "xi" para denotar una variable aleatoria en matemáticas . Si definimos una variable aleatoria de manera más estricta, entonces es una función cuyos valores expresan numéricamente los resultados de un experimento aleatorio. Uno de los requisitos para esta función será su mensurabilidad , que sirve para filtrar aquellos casos donde los valores de esta función $\xi$ ${\ estilo de visualización y = \ xi (\ omega)}$ $y$ $\omega$ ${\ estilo de visualización \ xi (\ omega)}$ infinitamente sensible al más mínimo cambio en el resultado de un experimento aleatorio. En muchos casos prácticos, se puede considerar una variable aleatoria como una función arbitraria de [ 2] . $\Omega$ $\matemáticas {R}$

Como función, una variable aleatoria no es la probabilidad de que ocurra el evento , sino que devuelve una expresión numérica del resultado . Las características importantes de las variables aleatorias son la expectativa matemática y la varianza [3] . ${\ estilo de visualización \ xi (\ omega)}$ $\omega$ $\omega$

Un ejemplo de objetos que requieren el uso de variables aleatorias para representar su estado son los objetos microscópicos descritos por la mecánica cuántica . Las variables aleatorias describen los eventos de transmisión de rasgos hereditarios de los organismos progenitores a sus descendientes (ver las leyes de Mendel ). Los eventos aleatorios incluyen la descomposición radiactiva de los núcleos atómicos. [una]

Hay una serie de problemas de análisis matemático y teoría de números , para los cuales es recomendable considerar las funciones involucradas en sus formulaciones como variables aleatorias definidas sobre espacios de probabilidad adecuados [4] .

Historia

El papel de una variable aleatoria, como uno de los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad, fue claramente reconocido por primera vez por P. L. Chebyshev , quien justificó el punto de vista actualmente generalmente aceptado sobre este concepto (1867) [5] . La comprensión de una variable aleatoria como un caso especial del concepto general de función llegó mucho más tarde, en el primer tercio del siglo XX. Por primera vez, A. N. Kolmogorov (1933) [6] desarrolló una representación formal completa de los fundamentos de la teoría de la probabilidad basada en la teoría de la medida , después de lo cual quedó claro que una variable aleatoria es una función medible definida en un espacio de probabilidad . En la literatura educativa, este punto de vista fue llevado a cabo por primera vez de manera consistente por W. Feller (ver el prefacio a [7] , donde la presentación se basa en el concepto del espacio de eventos elementales y se enfatiza que solo en este caso la representación de una variable aleatoria se vuelve significativa).

Definición

La definición matemática formal es la siguiente: sea un espacio de probabilidad , entonces una variable aleatoria es una función medible con respecto a y el álgebra σ de Borel en . El comportamiento probabilístico de una variable aleatoria separada (independiente de otras) está completamente descrito por su distribución . $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $\xi \colon \Omega \to \mathbb {R}$ ${\ matemáticas {F}}$ $\matemáticas {R}$

Una variable aleatoria se puede definir de otra forma equivalente [8] . Una función se llama variable aleatoria si para cualquier número real y el conjunto de eventos , tal que , pertenece a . $\xi \colon \Omega \to \mathbb {R}$ $a$ $b$ $\omega$ $\xi (\omega)\in (a,b)$ ${\ matemáticas {F}}$

Métodos de búsqueda

Puede establecer una variable aleatoria, describiendo todas sus propiedades probabilísticas como una variable aleatoria separada, utilizando la función de distribución , la densidad de probabilidad y la función característica , determinando las probabilidades de sus posibles valores. La función de distribución es igual a la probabilidad de que el valor de una variable aleatoria sea menor que un número real . De esta definición se deduce que la probabilidad de que el valor de una variable aleatoria caiga en el intervalo [a, b) es igual a . La ventaja de usar la función de distribución es que con su ayuda es posible lograr una descripción matemática uniforme de variables aleatorias discretas, continuas y discretas continuas. Sin embargo, existen diferentes variables aleatorias que tienen las mismas funciones de distribución. Por ejemplo, si una variable aleatoria toma los valores +1 y −1 con la misma probabilidad 1/2, entonces las variables aleatorias y están descritas por la misma función de distribución F(x). $F(x)$ $X$ $F(b)-F(a)$ $\xi$ $\xi$ ${\ estilo de visualización \ xi ^ {3}}$

Otra forma de especificar una variable aleatoria es la transformación funcional de una variable aleatoria . Si es una función de Borel , entonces también es una variable aleatoria. Por ejemplo, si es una variable aleatoria normal estándar , entonces la variable aleatoria tiene una distribución de chi-cuadrado con un grado de libertad. Muchas distribuciones, incluida la distribución de Fisher y la distribución de Student, son distribuciones de transformaciones funcionales de variables aleatorias normales. $\xi$ $f(x)$ ${\ estilo de visualización \ eta = f (\ xi)}$ $\xi$ ${\ estilo de visualización \ chi ^ {2} = \ xi ^ {2}}$

Si una variable aleatoria es discreta, se determina una descripción matemática completa e inequívoca de su distribución indicando la función de probabilidad de todos los valores posibles de esta variable aleatoria. Como ejemplo, considere las leyes de distribución binomial y de Poisson. $p_{k}=P(\xi =x_{k}),\;k\in \mathbb {N}$

La ley de distribución binomial describe variables aleatorias cuyos valores determinan el número de "éxitos" y "fracasos" cuando el experimento se repite varias veces. En cada experimento, el "éxito" puede ocurrir con una probabilidad de , "fracaso" - con una probabilidad de . La ley de distribución en este caso está determinada por la fórmula de Bernoulli : $norte$ $pags$ $q=1-p$

P_{k,n}=C_{n}^{k}\cdot p^{k}\cdot q^{nk}

Si el producto permanece constante a medida que se acerca al infinito , entonces la ley de distribución binomial converge a la ley de Poisson , que se describe mediante la siguiente fórmula: $norte$ $notario público$ $\lambda>0$

p(k)\equiv \mathbb {P} (Y=k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,e^{-\lambda }

dónde

el símbolo " " significa factorial , $!$
$e=2.7182818284\ldots$ es la base del logaritmo natural .

Características numéricas de las variables aleatorias

La expectativa matemática o valor promedio de una variable aleatoria en un espacio lineal normado X en el espacio de eventos elementales se llama integral ${\ estilo de visualización \ xi = \ xi (\ omega)}$ $(\Omega,{\mathfrak {A}),\mathbb {P})$

\mahop {\mathbb {E} } \xi =\int \limits _{\Omega }\xi (\omega )\,\mathbb {P} (d\omega )=\int \limits _{\ Omega }x\mathbb {P_{\xi }} (d\omega )

(asumiendo que la función es integrable). ${\ estilo de visualización \ xi = \ xi (\ omega)}$

La varianza de una variable aleatoria es una cantidad igual a: $\xi$

\operatorname {D} \xi =\mathop {\mathbb {E} } (\xi -\mathop {\mathbb {E} } \xi )^{2}=\mathop {\mathbb {E} } \xi ^{2}-(\mathop {\mathbb {E} } \xi )^{2}~.

En estadística , la varianza a menudo se denota por o . Valor igual a ${\ estilo de visualización \ sigma _ {\ xi} ^ {2}}$ $\sigma^{2}$ $\sigma$

{\ estilo de visualización \ sigma = {\ sqrt {\ nombre del operador {D} \ xi}}}

llamado desviación estándar, desviación estándar o dispersión estándar.

La covarianza de las variables aleatorias es la siguiente variable: $\xi$ $\eta$

\mathrm {cov} (\xi,\eta)

\operatorname {E} (\xi -\operatorname {E} {\xi })({\eta }-\operatorname {E} {\eta })

(se supone que las expectativas matemáticas están definidas).

Si = 0, entonces las variables aleatorias y se denominan no correlacionadas . Las variables aleatorias independientes siempre no están correlacionadas, pero lo contrario no es cierto [9] . $\mathrm {cov} (\xi,\eta)$ $\xi$ $\eta$

Funciones de variables aleatorias

Si es una función de Borel y es una variable aleatoria, entonces su transformación funcional también es una variable aleatoria. Por ejemplo, si es una variable aleatoria normal estándar , la variable aleatoria tiene una distribución chi-cuadrado con un grado de libertad. Muchas distribuciones, incluidas la distribución de Fisher y la distribución de Student , son distribuciones de transformaciones funcionales de variables aleatorias normales. $f(x)$ $\xi$ ${\ estilo de visualización \ eta = f (\ xi)}$ $\xi$ ${\ estilo de visualización \ chi ^ {2} = \ xi ^ {2}}$

Si y con distribución conjunta , y es alguna función de Borel, entonces para [ 10] : $\xi$ $\eta$ ${\ Displaystyle F_ {\ xi \ eta} (x, y)}$ ${\ estilo de visualización \ phi = \ phi (x, y)}$ ${\ estilo de visualización \ zeta = \ phi (\ xi, \ eta)}$

F_{\zeta }(z)=\int \limits _{\{x,y:\phi (x,y)\leqslant z\}}\,dF_{\xi \eta }(x,y )~.

Si , y son independientes, entonces . Aplicando el teorema de Fubini obtenemos: ${\ estilo de visualización \ phi (x, y) = x + y}$ $\xi$ $\eta$ $F_{\xi \eta }(x,y)=F_{\xi }(y)F_{\eta }(y)$

F_{\zeta }(z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\,F_{\eta }(zx)dF_{\xi }(x)

y de manera similar:

F_{\zeta }(z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\,F_{\xi }(zy)dF_{\eta }(y)~.

Si y funciones de distribución, entonces la función $F$ $GRAMO$

H(z)=\int \limits_{-\infty}^{\infty}\,F(zx)dG(x)

se llama convolución y y denotan . La función característica de la suma de variables aleatorias independientes y es la transformada de Fourier de la convolución de las funciones de distribución y es igual al producto de las funciones características y : $F$ $GRAMO$ ${\ estilo de visualización F*G}$
${\ estilo de visualización \ zeta = \ xi + \ eta}$ $\xi$ $\eta$ ${\ estilo de visualización F*G}$ $F$ $GRAMO$ $\xi$ $\eta$

{\ estilo de visualización \ phi _ {\ zeta} (u) = \ phi _ {\ xi} (u) \ phi _ {\ eta} (u) ~.}

Ejemplos

Variable aleatoria discreta

Ejemplos de una variable aleatoria discreta son las lecturas del velocímetro o las mediciones de temperatura en momentos específicos [11] .

Lanzamiento de moneda

Todos los resultados posibles de un lanzamiento de moneda pueden describirse mediante el espacio de eventos elementales cara, cruz o brevemente . Sea la variable aleatoria igual al pago como resultado de lanzar una moneda. Sea el pago de 10 rublos cada vez que la moneda salga cara, y −33 rublos si sale cruz. Matemáticamente, esta función de pago se puede representar de la siguiente manera: $\Omega =\{$ $\}$ ${\displaystyle \{op,pe\))$ $\xi$

\xi (\omega )={\begin{cases}10,&{\text{if }}\omega ={\text{op)),\\[6pt]-33,&{\text{ si }}\omega ={\text{pe}}.\end{casos}}

Si la moneda es perfecta, la probabilidad de ganar tendrá la siguiente forma: $\xi$

P(\xi =y)={\begin{casos}{\tfrac {1}{2)),&{\text{if }}y=10,\\[6pt]{\tfrac {1 {2}},&{\text{si}}y=-33,\end{casos}}

donde es la probabilidad de ganar rublos en un lanzamiento de moneda.

{\ estilo de visualización P (\ xi = y)}

y

Lanzar dados

También se puede usar una variable aleatoria para describir el proceso de lanzar dados, así como para calcular la probabilidad de un resultado particular de tales lanzamientos. Uno de los ejemplos clásicos de este experimento utiliza dos dados y , cada uno de los cuales puede tomar valores del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6} (el número de puntos en los lados de los dados). El número total de puntos caídos en los dados será el valor de nuestra variable aleatoria , que viene dada por la función: $n_{1}$ $n_{2}$ $\xi$

{\ estilo de visualización \xi ((n_{1},n_{2}))=n_{1}+n_{2))

y (si los dados son perfectos) la función de probabilidad para está dada por: $\xi$

P(S)={\frac {\min(S-1,13-S)}{36)),{\text{ para }}S\in \{2,3,4,5,6 ,7,8,9,10,11,12\}

, donde es la suma de puntos en los dados lanzados.

S

Una baraja de cartas

Deje que el experimentador saque al azar una de las cartas de la baraja de cartas . Entonces representará una de las cartas extraídas; aquí no hay un número, sino un mapa: un objeto físico, cuyo nombre se indica con el símbolo . Entonces la función , tomando como argumento el “nombre” del objeto, devolverá el número con el que asociaremos más el mapa . Deje que el experimentador saque el rey de tréboles en nuestro caso, es decir , después de sustituir este resultado en la función , ya obtendremos un número, por ejemplo, 13. Este número no es la probabilidad de sacar el rey de la baraja o cualquier otra tarjeta. Este número es el resultado del traslado de un objeto del mundo físico a un objeto del mundo matemático, pues con el número 13 ya es posible realizar operaciones matemáticas , mientras que estas operaciones no se podrían realizar con el objeto. $\omega$ $\omega$ $\omega$ ${\ estilo de visualización \ xi (\ omega)}$ $\omega$ ${\ estilo de visualización \ omega = K_ {\ traje de club}}$ ${\ estilo de visualización \ xi (K_ {\ traje de club})}$ ${\ Displaystyle K_ {\ traje de club}}$

Variable aleatoria absolutamente continua

Otra clase de variables aleatorias son aquellas para las que existe una función no negativa que satisface la igualdad para cualquier . Las variables aleatorias que satisfacen esta propiedad se denominan absolutamente continuas y la función se denomina densidad de distribución de probabilidad. $p(x)$ $X$ $P(\omega \mid \xi (\omega )\leq x)=\textstyle \int \limits _{-\infty }^{x}\displaystyle p(z)dz$ $p(x)$

El número de posibles valores de una variable aleatoria absolutamente continua es infinito. Un ejemplo de variable aleatoria absolutamente continua: medir la velocidad de movimiento de cualquier tipo de transporte o la temperatura durante un intervalo de tiempo específico. [once]

Crecimiento de un transeúnte

Supongamos que en uno de los experimentos es necesario seleccionar aleatoriamente una persona (denotemos como ) del grupo de sujetos, luego dejemos que la variable aleatoria exprese el crecimiento de la persona que hemos elegido. En este caso, desde un punto de vista matemático, una variable aleatoria se interpreta como una función que transforma cada sujeto en un número: su crecimiento . Para calcular la probabilidad de que la altura de una persona se encuentre entre 180 cm y 190 cm, o la probabilidad de que su altura supere los 150 cm, es necesario conocer la distribución de probabilidad , que junto con y permite calcular las probabilidades de ciertos resultados de experimentos aleatorios. $\omega$ $\xi$ $\xi$ ${\ estilo de visualización y = \ xi (\ omega)}$ $\omega$ $y$ $\xi$ $\xi$

Las generalizaciones más simples

Una variable aleatoria, por lo general, puede tomar valores en cualquier espacio medible. Entonces, a menudo se le llama vector aleatorio o elemento aleatorio. Por ejemplo,

Una función medible se denomina vector aleatorio -dimensional (con respecto al álgebra de Borel ). $\xi \colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ $norte$ $\sigma$ $\mathbb{R} ^{n}$
Una función medible se denomina vector aleatorio complejo -dimensional (también con respecto a la Borel -álgebra correspondiente ). $\xi \colon \Omega \to \mathbb {C} ^{n}$ $norte$ $\sigma$
Una función medible que asigna un espacio de probabilidad al espacio de subconjuntos de algún conjunto (finito) se denomina conjunto aleatorio (finito).

Véase también

Notas

↑ 1 2 Prokhorov Yu. V. Variable aleatoria // Enciclopedia matemática / Ed. Vinogradova I. M. - M .: Enciclopedia soviética, 1985.-V.5.- Págs. 9.- 623 págs.
↑ Chernova, 2007 , pág. 49-50.
↑ Variable aleatoria : artículo de la Gran Enciclopedia Soviética .
↑ Katz M., Independencia estadística en teoría de probabilidad, análisis y teoría de números, trad. de Inglés, M., 1963.
↑ Chebyshev P. L., Sobre valores medios, en el libro: Completo. Sobr. Soch., v. 2, M.-L., 1947
↑ Kolmogorov A. N., Conceptos básicos de la teoría de la probabilidad, 2.ª ed., M., 1974
↑ V. Feller, Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones, trad. del inglés, 2ª ed., volumen 1, M., 1967
↑ Chernova N. I. Capítulo 6. Variables aleatorias y sus distribuciones § 1. Variables aleatorias // Teoría de la probabilidad . - Tutorial. - Novosibirsk: Universidad Estatal de Novosibirsk. un-t, 2007. - 160 p.
↑ Joseph P. Romano, Andrew F. Siegel. Contraejemplos en Probabilidad y Estadística. - Belmont, California: Wadsworth, Inc., 1986. - 326 p. — ISBN 0534055680 .
↑ Shiryaev AN Probabilidad. — M:. : La ciencia. cap. edición Phys.-Math. lit., 1989. - 640 p. — ISBN 5-02-013995-6 .
↑ Portal educativo 1 2 TSU . edu.tltsu.ru . Fecha de acceso: 26 de junio de 2020. (indefinido)

Literatura

Gnedenko B. V. Curso de teoría de la probabilidad. - 8ª edición. agregar. y correcto. - M. : Editorial URSS, 2005. - 448 p. — ISBN 5-354-01091-8 .
Diccionario Enciclopédico Matemático / Cap. edición Prokhorov Yu.V .. - 2ª ed. - M. : "Enciclopedia soviética", 1998. - 847 p.
Tikhonov V.I., Kharisov V.N. Análisis estadístico y síntesis de dispositivos y sistemas de ingeniería de radio. — Libro de texto para universidades. - M. : Radio y comunicación, 1991. - 608 p. — ISBN 5-256-00789-0 .
Teoría de la probabilidad de Chernova N.I. - Tutorial. - Novosibirsk: Universidad Estatal de Novosibirsk. un-t, 2007. - 160 p.

Enlaces

Variables aleatorias multivariadas