Grupo espinor

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 9 de marzo de 2019; la verificación requiere 1 edición .

Un grupo espinor es un subconjunto de elementos del álgebra de Clifford ( con producto escalar ) que consta de elementos de la forma , donde son vectores unitarios . La operación en el grupo espinor es la multiplicación en el álgebra de Clifford. $V$ ${\displaystyle q_{1}\cdot q_{2}\cdots q_{2n))$ ${\ Displaystyle q_ {i} \ en V}$

El grupo espinor sobre el espacio euclidiano generalmente se denota por . Hay una sucesión exacta corta $\mathbb{R} ^{n}$ $\operatorname {Girar} (n)$

1\to \mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)\to 1

Así, el grupo espinor es una cubierta de dos hojas del grupo ortogonal especial . Un homomorfismo se puede construir de la siguiente manera: cada vector unitario q se puede asociar con una reflexión con respecto a un hiperplano perpendicular a q . Así, un elemento del grupo espinor se puede asociar con la composición de reflexiones ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {SO} (n)}$ $\operatorname {Girar} (n)\a \operatorname {SO} (n)$ ${\ Displaystyle R_ {q}}$ ${\displaystyle q_{1}\cdot q_{2}\cdots q_{2n))$

R_{q_{1},}\circ \cdots \circ R_{q_{2n))

que pertenece al grupo . Las representaciones proyectivas del grupo cubierto están en correspondencia uno a uno con las representaciones de su cubierta . ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {SO} (n)}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {SO} (n)}$ $\operatorname {Girar} (n)$

Estructura de los primeros grupos espinores

{\displaystyle \operatorname {Girar} (1)\simeq \operatorname {O} (1)\simeq \mathbb {Z} _{2}\simeq \mathbb {S} ^{0))

{\displaystyle \operatorname {Girar} (2)\simeq \operatorname {U} (1)\simeq \mathbb {S} ^{1))

{\displaystyle \operatorname {Girar} (3)\simeq \operatorname {Sp} (1)\simeq \operatorname {SU} (2)\simeq \mathbb {S} ^{3))

{\displaystyle \operatorname {Girar} (4)\simeq \operatorname {Sp} (1){\times }\operatorname {Sp} (1)\simeq \operatorname {SU} (2){\times }\operatorname { SU} (2)\simeq \mathbb {S} ^{3}{\times}\mathbb {S} ^{3))

\operatorname {Girar} (5)\simeq \operatorname {Sp} (2)

\operatorname {Girar} (6)\simeq \operatorname {SU} (4)