Mecánica cuántica supersimétrica

En física teórica , la mecánica cuántica supersimétrica es un campo de estudio donde los conceptos matemáticos del campo de la física de alta energía se aplican al campo de la mecánica cuántica . La supersimetría, entendida como la transformación de operadores bosónicos a fermiónicos y viceversa, combina transformaciones continuas (bosónicas) y discretas (fermiónicas). En la teoría moderna, los bosones están asociados con los portadores de interacción y los fermiones con la materia, pero la supersimetría pudo combinar estos dos conceptos. La supersimetría también resultó ser útil para tratar las divergencias en la teoría cuántica de campos, lo que generó interés en esta teoría [1] .

Introducción

Es matemáticamente difícil probar las consecuencias de la supersimetría , y también es difícil desarrollar una teoría que pueda demostrar la ruptura de la simetría, es decir, la ausencia de compañeros observables de partículas de igual masa. Para avanzar en estos problemas, los físicos desarrollaron la mecánica cuántica supersimétrica , es decir, la teoría de aplicar el superálgebra supersimétrica a la mecánica cuántica en oposición a la teoría cuántica de campos . Se espera que el estudio de las implicaciones de la supersimetría en este escenario simple conduzca a nuevos conocimientos; cabe destacar que los avances que acompañan han llevado a la creación de nuevas líneas de investigación en la propia mecánica cuántica.

Por ejemplo, a los estudiantes se les suele enseñar a "resolver" el átomo de hidrógeno como un proceso laborioso que comienza incorporando el potencial de Coulomb en la ecuación de Schrödinger . Después de una cantidad considerable de trabajo utilizando muchas ecuaciones diferenciales, las relaciones de recurrencia de los polinomios de Laguerre se obtienen mediante análisis . El resultado final es el espectro : los estados de energía del átomo de hidrógeno (indicados por los números cuánticos n y l ). Con las ideas extraídas de la supersimetría, el resultado final se puede obtener a un costo mucho menor, de la misma manera que con el método del operador para resolver el oscilador armónico . [2] Se puede usar un enfoque supersimétrico similar para encontrar con mayor precisión el espectro del hidrógeno usando las ecuaciones de Dirac. [3] Irónicamente, este enfoque es similar a la forma en que Erwin Schrödinger utilizó por primera vez el átomo de hidrógeno . [4] [5] Por supuesto, no llamó a su solución supersimétrica ya que la propia teoría de la supersimetría apareció treinta años después.

La solución supersimétrica del átomo de hidrógeno es solo un ejemplo de una clase muy general de soluciones: los potenciales de forma invariante . potenciales invariantes de forma . Esta categoría incluye la mayoría de los potenciales que se enseñan en los cursos de introducción a la mecánica cuántica.

La mecánica cuántica supersimétrica implica pares de hamiltonianos entre los que existen relaciones matemáticas específicas. Se llaman hamiltonianos asociados . socios hamiltonianos . Entonces, los potenciales correspondientes en los hamiltonianos se denominan potenciales asociados . socios potenciales ). El teorema principal muestra que para todos los estados propios de un hamiltoniano, su socio hamiltoniano tiene estados propios correspondientes con la misma energía (con la posible excepción de los estados propios de energía cero . Este hecho puede usarse para derivar muchas propiedades del espectro de estados propios. Esto es análogo a la descripción original de supersimetría, que se refiere a bosones y fermiones. Podemos imaginar un "Hamiltoniano bosónico", cuyos estados son diferentes bosones de nuestra teoría. El compañero supersimétrico de este Hamiltoniano será "Fermión", y sus estados propios describirán fermiones. Cada bosón corresponde a un compañero fermiónico de igual energía, pero, en un mundo relativista, la energía y la masa son intercambiables, por lo que podemos decir simplemente que las partículas del compañero tienen masas iguales.

El concepto de supersimetría proporciona extensiones útiles a la aproximación WKB , en forma de una versión modificada de la condición de cuantificación de Bohr-Sommerfeld. Además, la supersimetría se aplica en mecánica estadística no cuántica utilizando la ecuación de Fokker-Planck . Este ejemplo muestra que incluso si la idea original en física de partículas conduce a un callejón sin salida, su exploración en otras áreas ha ampliado nuestra comprensión.

Ejemplo: oscilador armónico

La ecuación de Schrödinger para un oscilador armónico toma la forma

H^{HO}\psi _{n}(x)={\bigg (}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{ dx^{2))}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}{\bigg )}\psi _{n}(x)=E_{n}^{ HO}\psi _{n}(x),

donde está el nivel th con energía . Queremos encontrar una expresión para en función de . Definamos los operadores ${\ estilo de visualización \ psi _ {n} (x)}$ $norte$ ${\ estilo de visualización H^{HO}}$ $E_{n}^{HO}$ $E_{n}^{HO}$ $norte$

A={\frac {\hbar }{\sqrt {2m}}}{\frac {d}{dx}}+W(x)

A^{\daga}=-{\frac {\hbar }{\sqrt {2m))}{\frac {d}{dx}}+W(x),

donde , que debemos elegir nosotros mismos, se llama superpotencial . Definamos los hamiltonianos-compañeros y cómo $ancho(x)$ ${\ estilo de visualización H^{HO}}$ ${\ estilo de visualización H ^ {(1)}}$ ${\ estilo de visualización H ^ {(2)}}$

H^{(1)}=A^{\daga }A={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2 ))}-{\frac {\hbar }{\sqrt {2m))}W^{\prime }(x)+W^{2}(x)

H^{(2)}=AA^{\daga }={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2} ))+{\frac {\hbar }{\sqrt {2m))}W^{\prime }(x)+W^{2}(x).

El estado fundamental con energía cero satisfará la ecuación ${\ estilo de visualización \ psi _ {0} ^ {(1)} (x)}$ ${\ estilo de visualización H ^ {(1)}}$

H^{(1)}\psi _{0}^{(1)}(x)=A^{\daga}A\psi _{0}^{(1)}(x)=A ^{\daga }{\bigg (}{\frac {\hbar }{\sqrt {2m))}{\frac {d}{dx))+W(x){\bigg )}\psi _{0 }^{(1)}(x)=0.

Suponiendo que conocemos el estado fundamental del oscilador armónico, encontramos como ${\ estilo de visualización \ psi _ {0} (x)}$ $ancho(x)$

W(x)={\frac {-\hbar }{\sqrt {2m))}{\bigg (}{\frac {\psi _{0}^{\prime }(x)}{\ psi _{0}(x)}}{\bigg)}=x{\sqrt {m\omega ^{2}/2}}

Entonces encontramos que

H^{(1)}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac { m\omega ^{2}}{2}}x^{2}-{\frac {\hbar \omega }{2}}

H^{(2)}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac { m\omega ^{2}}{2}}x^{2}+{\frac {\hbar \omega }{2}}.

Ahora podemos ver que

H^{(1)}=H^{(2)}-\hbar \omega =H^{HO}-{\frac {\hbar \omega}{2)).

Este es un caso especial de invariancia de forma, que se analiza a continuación. Aceptando el teorema principal sin prueba, es obvio que el espectro comienza con Spectra y aumenta en pasos y tendrá los mismos intervalos iguales, pero se desplazará por y , respectivamente. De ello se deduce que el espectro toma la forma familiar . ${\ estilo de visualización H ^ {(1)}}$ ${\ estilo de visualización E_ {0} = 0}$ ${\ estilo de visualización \ hbar \ omega.}$ ${\ estilo de visualización H ^ {(2)}}$ ${\ estilo de visualización H^{HO}}$ $\hbar \omega$ $\hbar \omega/2$ ${\ estilo de visualización H^{HO}}$ $E_{n}^{HO}=\hbar \omega (n+1/2)$

Superálgebra de la mecánica cuántica supersimétrica

En mecánica cuántica ordinaria, aprendemos que el álgebra de operadores está determinada por las relaciones de conmutación entre estos operadores. Por ejemplo, los operadores canónicos de posición y momento tienen un conmutador . (Aquí, usamos " unidades naturales ", donde la constante de Planck se establece en 1.) Un caso más complejo es el álgebra de operadores de momento angular ; estas cantidades están estrechamente relacionadas con la simetría rotacional en el espacio tridimensional. Generalizando este concepto, definimos un anticonmutador que define la relación de operadores, igual que un conmutador regular, pero con el signo opuesto: ${\ estilo de visualización [x, p] = i}$

{\ estilo de visualización \ {A, B \} = AB + BA.}

Si los operadores están conectados por anticonmutadores y conmutadores, decimos que son parte de una superálgebra de Lie . Digamos que tenemos un sistema cuántico descrito por un hamiltoniano y un conjunto de operadores . Llamaremos a este sistema supersimétrico si las siguientes relaciones de anticonmutación son válidas para todos : ${\ matemáticas {H}}$ $norte$ $Q_{yo}$ $i,j=1,\ldots,N$

Si es así, llamamos al sistema sobrealimentaciones. $Q_{yo}$

Ejemplo

Considere un ejemplo de una partícula unidimensional no relativista con 2 ( es decir, dos estados) grados de libertad internos y llámelos "giro" (esto no es exactamente giro, porque el giro real es una propiedad de una partícula 3D). Deje que el operador que convierte el "giro hacia arriba" de la partícula en "giro hacia abajo". Su operador adjunto transforma la partícula de giro hacia abajo en un estado de giro hacia arriba. Los operadores se normalizan de tal forma que el anticonmutador . Y por supuesto, . Sea el momento de la partícula y su coordenada con . Sea (superpotencial) una función analítica compleja arbitraria que define operadores supersimétricos $b$ $b^{\daga}$ $\{b,b^{\daga}\}=1$ ${\ estilo de visualización b ^ {2} = 0}$ $pags$ $X$ ${\ estilo de visualización [x, p] = i}$ $W$ $X$

Q_{1}={\frac {1}{2}}\left[(p-iW)b+(p+iW^{\daga})b^{\daga}\right]

Q_{2}={\frac {i}{2}}\left[(p-iW)b-(p+iW^{\dagger })b^{\dagger }\right]

Tenga en cuenta que y son autoadjuntos. Deja que el hamiltoniano $Q_1$ $Q_{2}$

H=\{Q_{1},Q_{1}\}=\{Q_{2},Q_{2}\}={\frac {(p+\Im \{W\})^{2 }}{2}}+{\frac {{\Re \{W\}}^{2}}{2}}+{\frac {\Re \{W\}'}{2}}(bb^ {\daga}-b^{\daga}b)

donde W' es la derivada de W . También tenga en cuenta que { Q 1 ,Q 2 }=0. Esto no es más que supersimetría N = 2 . Nótese que actúa como un potencial vector electromagnético . ${\displaystyle\Im\{W\}}$

Llamemos también al estado de giro hacia abajo "bosónico" y al estado de giro hacia arriba "fermiónico". Esta es solo una analogía con la teoría cuántica de campos y no debe tomarse literalmente. Luego, Q 1 y Q 2 asignan estados "bosónicos" a estados "fermiónicos" y viceversa.

Reformulemos un poco:

definir

Q=(p-iW)b

y por supuesto,

Q^{\daga}=(p+iW^{\daga})b^{\daga}

\{Q,Q\}=\{Q^{\daga},Q^{\daga}\}=0

\{Q^{\daga},Q\}=2H

Un operador es "bosónico" si lleva estados "bosónicos" a estados "bosónicos" y estados "fermiónicos" a estados "fermiónicos". El operador es "fermiónico" si traduce estados "bosónicos" a estados "fermiónicos" y viceversa. Cualquier operador puede expresarse únicamente como la suma de los operadores bosónico y fermiónico. Definimos un superconmutador [,} de la siguiente manera: entre dos operadores bosónicos o un operador bosónico y uno fermiónico, no es más que un conmutador , pero entre dos operadores fermiónicos, es un anticonmutador .

Entonces, x y p son operadores bosónicos y b , , Q son operadores fermiónicos. $b^{\daga}$ ${\ Displaystyle Q ^ {\ daga}}$

En la notación de Heisenberg, x , b y son funciones del tiempo $b^{\daga}$

[Q,x\}=-ib

{\ estilo de visualización [Q, b \} = 0}

[Q,b^{\daga }\}={\frac {dx}{dt}}-i\Re \{W\}

[Q^{\daga},x\}=ib^{\daga}

[Q^{\daga},b\}={\frac {dx}{dt}}+i\Re \{W\}

[Q^{\daga},b^{\daga}\}=0

Estas expresiones son en general no lineales: es decir, x (t), b (t) y no forman una representación supersimétrica lineal porque no son necesariamente lineales en x . Para evitar este problema, definimos un operador autoadjunto . Después, $b^{\daga}(t)$ ${\ estilo de visualización \ Re \ {W \}}$ $F=\Re\{W\}$

[Q,x\}=-ib

{\ estilo de visualización [Q, b \} = 0}

[Q,b^{\daga }\}={\frac {dx}{dt}}-iF

{\ estilo de visualización [Q, F \} = - {\ frac {db} {dt}}}

[Q^{\daga},x\}=ib^{\daga}

[Q^{\daga},b\}={\frac {dx}{dt}}+iF

[Q^{\daga},b^{\daga}\}=0

[Q^{\daga},F\}={\frac {db^{\daga}}{dt}}

tenemos una representación lineal de la supersimetría.

Ahora introduzcamos dos cantidades "formales": y , donde la última es el conjugado de la primera tal que $\ theta$ ${\bar {\theta))$

\{\theta ,\theta \}=\({\bar {\theta )),{\bar {\theta ))\}=\({\bar {\theta )),\theta \} =0

y ambos conmutan con operadores bosónicos, pero anticonmutan con fermiónicos.

A continuación, definimos la noción de supercampo:

f(t,{\bar {\theta )),\theta )=x(t)-i\theta b(t)-i{\bar {\theta }}b^{\dagger }(t )+{\bar {\theta}}\theta F(t)

f es un operador autoadjunto. Después,

[Q,f\}={\frac {\parcial }{\parcial \theta }}fi{\bar {\theta }}{\frac {\parcial }{\parcial t}}f,

[Q^{\dagger },f\}={\frac {\parcial }{\parcial {\bar {\theta )))fi\theta {\frac {\parcial }{\parcial t} } F.

Por cierto, también hay una simetría U(1) R , donde p , x , W tienen carga R cero, mientras que la carga R es 1 y la carga R de b es −1. $b^{\daga}$

Forma invariable

Asumir real para todo real . Entonces podemos simplificar la expresión del hamiltoniano a $W$ $X$

H={\frac {(p)^{2}}{2}}+{\frac {{W}^{2}}{2}}+{\frac {W'}{2}} (bb^{\daga}-b^{\daga}b)

Hay ciertas clases de superpotenciales tales que los hamiltonianos bosónicos y fermiónicos tienen formas similares. Específicamente

V_{+}(x,a_{1})=V_{-}(x,a_{2})+R(a_{1})

donde estan los parametros Por ejemplo, el potencial de un átomo de hidrógeno, con momento angular , se puede escribir $a$ $yo$

{\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}+{\frac {h^{2}l(l+ 1 )}{2m}}{\frac{1}{r^{2}}}-E_{0}

Esto corresponde al superpotencial $V_{-}$

W={\frac {\sqrt {2m}}{h}}{\frac {e^{2}}{24\pi \epsilon _{0}(l+1)))-{\frac {h(l+1)}{r{\sqrt {2m}}}}

V_{+}={\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}+{\frac {h^{2 }(l+1)(l+2)}{2m}}{\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {e^{4}m}{32\pi ^{2} h^{2}\epsilon _{0}^{2}(l+1)^{2}}}

Este es el potencial para el momento angular desplazado por una constante. Después de resolver el estado fundamental, se pueden usar operadores supersimétricos para construir el resto de los estados acoplados del espectro. $l+1$ $l=0$

En general, dado que y son socios potenciales, tienen el mismo espectro de energía excepto por una energía del estado fundamental. Podemos continuar este proceso de búsqueda de potenciales compañeros con la condición de invariancia de forma, mediante la siguiente fórmula para los niveles de energía en función de los parámetros del potencial $V_{-}$ ${\ Displaystyle V_ {+}}$

E_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}R(a_{i})

donde están los parámetros para varios socios potenciales. $ai}$

Notas

↑ L. E. Gendenshtein , I. V. Krive. Supersimetría en mecánica cuántica // UFN. - 1985. - T. 146 . - S. 553-590 .
↑ Valance, A.; Morgan, TJ & Bergeron, H. (1990), Eigensolution of the Coulomb Hamiltonian via supersymmetry , American Journal of Physics (AAPT). — V. 58(5): 487–491, doi : 10.1119/1.16452 , < http://link.aip.org/link/?AJP/58/487/1 > Archivado desde el original el 24 de febrero de 2013.
↑ Taller, B. (1992). Ecuaciones de Dirac. Textos y monografías sobre física. Saltador.
↑ Schrödinger, Erwin (1940), Un método para determinar los valores propios y las funciones propias de la mecánica cuántica, Actas de la Real Academia Irlandesa (Royal Irish Academy). — T. 46: 9–16
↑ Schrödinger, Erwin (1941), Estudios adicionales sobre la resolución de problemas de valores propios mediante factorización, Actas de la Real Academia Irlandesa (Royal Irish Academy) . - T. 46: 183-206