Funciones esféricas

Las funciones esféricas son la parte angular de la familia de soluciones ortogonales de la ecuación de Laplace , escrita en coordenadas esféricas . Se utilizan ampliamente para estudiar fenómenos físicos en regiones espaciales delimitadas por superficies esféricas y para resolver problemas físicos con simetría esférica. Las funciones esféricas son de gran importancia en la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales y la física teórica , en particular en los problemas de cálculo de orbitales electrónicos en un átomo, el campo gravitacional del geoide , el campo magnético de los planetas y la intensidad de las microondas cósmicas. radiación _

Definición

Las funciones esféricas son funciones propias del operador de Laplace en un sistema de coordenadas esféricas (notación ). Forman un sistema ortonormal en el espacio de funciones sobre una esfera en el espacio tridimensional: $Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {S} ^ {2}}$

\langle Y_{l}^{m};Y_{l}^{m}\rangle =\iint |Y_{l}^{m}|^{2}\sin {\theta }\,d \theta\,d\varphi =1

\langle Y_{l}^{m};Y_{l'}^{m'}\rangle =\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^ {\pi }Y_{l'}^{m'*}Y_{l}^{m}\sin {\theta }\,d\theta \,d\varphi =\delta _{ll'}\delta _ {mm'}

donde * denota conjugación compleja , es el símbolo de Kronecker . $\delta _{{ll'}}$

Las funciones esféricas tienen la forma

Y_{l}^{m}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{im\varphi }\Theta _{lm}(\theta )

donde las funciones son soluciones de la ecuación $\Theta _{{lm}}(\theta )$

{\frac {1}{\sin {\theta ))}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin {\theta }{\frac {d\Theta _{lm} {d\theta }}\right)-{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}{\theta }}}\Theta _{lm}+l(l+1)\Theta _ {l}^{m}=0

y tiene la forma

\Theta _{l}^{m}={\sqrt ({\frac {2l+1}{2)){\frac {(lm)!}{(l+m)!)))) P_{l}^{m}(\cos \theta)

Aquí están los polinomios de Legendre asociados , y es el factorial . $P_{l}^{m}(\cos \theta )$ $¡metro!$

Los polinomios de Legendre asociados con negativo se presentan aquí como $metro$

P_{\ell }^{-m}(x)=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!)}P_{\ ell }^{m}(x)

La solución de la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas es la llamada función esférica que se obtiene al multiplicar la función esférica por la solución de la ecuación radial.

Forma real

Para funciones esféricas, la forma de la dependencia del ángulo es un exponente complejo. Utilizando la fórmula de Euler , se pueden introducir funciones esféricas reales. A veces son más convenientes de usar debido al hecho de que las funciones reales se pueden mostrar claramente en las ilustraciones, en contraste con las complejas. $\varphi$

{\begin{alineado}Y_{\ell m}&={\begin{cases}\displaystyle {i \over {\sqrt {2))}\left(Y_{\ell }^{m}- (-1)^{m}\,Y_{\ell }^{-m}\right)&{\text{ }}\ m<0\\\displaystyle Y_{\ell }^{0}&{\ texto{ }}\ m=0\\\displaystyle {1 \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-m}+(-1)^{m}\,Y_{ \ell }^{m}\right)&{\text{ }}\ m>0.\end{casos}}\\&={\begin{casos}\displaystyle {\sqrt {2}}\,( -1)^{m}\,\nombre del operador {Im} [{Y_{\ell }^{|m|}}]&{\text{ }}\ m<0\\\displaystyle Y_{\ell }^ {0}&{\text{ }}\ m=0\\\displaystyle {\sqrt {2}}\,(-1)^{m}\,\operatorname {Re} [{Y_{\ell }^ {m}}]&{\text{ }}\ m>0.\end{casos}}\end{alineados}}

Conversión inversa:

Y_{\ell }^{m}={\begin{cases}\displaystyle {1 \over {\sqrt {2))}\left(Y_{\ell |m|}-iY_{\ell , -|m|}\right)&{\text{ }}\ m<0\\\displaystyle Y_{\ell 0}&{\text{ }}\ m=0\\\displaystyle {(-1)^ {m} \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}+iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{ }}\ m>0. \end{casos}}

A veces, las funciones esféricas reales se llaman zonal, tesseral y sectorial. [1] . Las funciones con m > 0 dependen del ángulo como coseno y con m < 0 como seno.

$Y_{\ell m}={\begin{casos}\displaystyle (-1)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{2\ell +1 \over 4\pi }{ (\ell -|m|)! \over (\ell +|m|)!}}}\ P_{\ell }^{|m|}(\cos \theta )\ \sin(|m|\varphi )&{\mbox{ }}m <0\\\displaystyle {\sqrt {2\ell +1 \over 4\pi }}\ P_{\ell }^{m}(\cos \theta )&{\mbox{ }}m=0\\ \displaystyle (-1)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{2\ell +1 \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\ P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \cos(m\varphi )&{\mbox{ }}m>0\,.\ fin {casos}}$

Turnos

Considere una rotación del sistema de coordenadas , por ángulos de Euler, que transforma un vector unitario en un vector . En este caso, los ángulos vectoriales en el nuevo sistema de coordenadas se expresan en términos de los ángulos en el antiguo sistema de coordenadas de la siguiente manera ${\mathcal {R}}$ ${\ estilo de visualización \ alfa, \ beta, \ gamma,}$ $\mathbf{r}$ ${\mathbf{r} }'$ ${\ estilo de visualización \ theta ', \ varphi'}$ ${\mathbf{r} }'$

\cos \theta ^{\prime }=\cos \theta \cos \beta +\sin \theta \sin \beta \cos(\varphi -\alpha )

\operatorname {ctg} \left(\varphi ^{\prime }+\gamma \right)=\operatorname {ctg} (\varphi -\alpha )\cos \beta -{\frac {\operatorname {ctg } \theta \sin \beta }{\sin(\varphi -\alpha )))

En el nuevo sistema de coordenadas, una función esférica con índices y se representará como una combinación lineal de todas las funciones con el mismo número y diferente . Los coeficientes en la combinación lineal son las matrices D de Wigner conjugadas complejas [2] $\ana$ $metro$ $\ana$ $metro$

{\hat {D}}(\alpha ,\beta ,\gamma )Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )=Y_{\ell }^{m}(\theta ', \varphi ')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }[D_{mm'}^{(\ell )}(\alpha ,\beta ,\gamma )]^{*}Y_ {\ell }^{m'}(\theta ,\varphi ),

Las funciones esféricas numeradas forman una base para una representación irreducible de la dimensión del grupo de rotación SO(3). $\ana$ $(2\ell +1)$

Expansión de una onda plana en términos de funciones esféricas

El exponente complejo se puede representar como una expansión en funciones esféricas

e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=4\pi \sum _{l=0}^{\infty}i^{l}j_{l}(kr)\ suma _{m=-l}^{l}Y_{l}^{m*}\left({\frac {\mathbf {r} }{|r|}}\right)Y_{l}^{m }\left({\frac {\mathbf {k} }{|k|}}\right)

Aquí está la función de Bessel esférica $j_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)$

Descomposición de productos de funciones esféricas

Las expansiones de Clebsch-Gordan para productos de dos funciones esféricas son las siguientes [3] :

Y_{\ell_{1}}^{m_{1}}(\Omega )Y_{\ell_{2}}^{m_{2}}(\Omega )=\sum_L, METRO}{\sqrt {\frac {(2\ell _{1}+1)(2\ell _{2}+1)}{4\pi (2L+1)))}\langle \ell_{ 1}\,0\,\ell _{2}\,0|L\,0\rangle \langle \ell _{1}\,m_{1}\,\ell _{2}\,m_{2 }|L\,M\rangle Y_{L}^{M}(\Omega )

Véase también

Lista de funciones esféricas

Notas

↑ Tikhonov A. N., Samarsky A. A. Ecuaciones de física matemática Copia archivada el 27 de diciembre de 2019 en Wayback Machine
↑ MA Morrison, G. A. Parker . Una guía para las rotaciones en la mecánica cuántica . Archivado el 1 de octubre de 2019 en Wayback Machine . - Revista australiana de física, vol. 40, págs. 465, 1987
↑ Varshalovich D. A. , Moskalev A. N., Khersonsky V. K. Teoría cuántica del momento angular. Copia de archivo fechada el 11 de noviembre de 2007 en Wayback Machine - L.: Nauka, 1975.

Literatura

Landau L. D. , Lifshits E. M. Mecánica cuántica (teoría no relativista). — Edición 4ª. — M .: Nauka , 1989. — 768 p. - (" Física Teórica ", Tomo III). - ISBN 5-02-014421-5 . - sumas matemáticas

Aplicaciones

Enlaces

Armónicos esféricos aplicados al análisis de campo acústico en la página de investigación de Trinnov Audio
Armónicos esféricos de Stephen Wolfram y Dominios nodales de armónicos esféricos de Michael Trott, The Wolfram Demonstrations Project
Una introducción accesible a los armónicos esféricos (por JB Calvert)
Entrada de armónicos esféricos en Citizendium