Mesa cayley
La tabla de Cayley es una tabla que describe la estructura de los sistemas algebraicos finitos al ordenar los resultados de una operación en una tabla que se asemeja a una tabla de multiplicar. Nombrado en honor al matemático inglés Arthur Cayley . El cuadro es importante en las matemáticas discretas , en particular en la teoría de grupos . La tabla le permite averiguar algunas propiedades del grupo, por ejemplo, si el grupo es abeliano , encontrar el centro del grupo y los elementos inversos de los elementos del grupo.
En álgebra superior , las tablas de Cayley también se pueden usar para definir operaciones binarias en campos , anillos y otras estructuras algebraicas.
Un ejemplo simple de una tabla de Cayley para el grupo {1, −1} con multiplicación normal :
| × | una | −1 |
|---|---|---|
| una | una | −1 |
| −1 | −1 | una |
Historia
Las tablas de Cayley aparecieron por primera vez en el artículo de Cayley "Sobre la teoría de los grupos, dependiendo de la ecuación simbólica θ n = 1" en 1854. En este artículo, estas fueron solo tablas utilizadas con fines ilustrativos. Posteriormente fueron llamadas mesas Cayley en honor a su creador.
Estructura
Debido a que muchas tablas de Cayley describen grupos que no son abelianos , el producto ab no es necesariamente igual al producto ba para todo a y b en el grupo. Para evitar confusiones, se supone que el multiplicador correspondiente a las filas viene primero y el multiplicador correspondiente a las columnas viene después. Por ejemplo, la intersección de la fila a y la columna b es ab , no ba , como se muestra en el siguiente ejemplo:
| * | a | b | C |
|---|---|---|---|
| a | un 2 | abdominales | C.A |
| b | licenciado en Letras | segundo 2 | antes de Cristo |
| C | California | cb | c 2 |
Cayley en su trabajo colocó un elemento neutral en la primera fila y la primera columna, lo que le permitió no destacar filas y columnas separadas que indican los elementos, como se puede ver en el ejemplo anterior. Por ejemplo, la misma tabla se presentó como:
| a | b | C |
| b | C | a |
| C | a | b |
En este ejemplo de un grupo cíclico Z 3 , el elemento a es el elemento neutro y aparece en la esquina superior izquierda de la tabla. Es fácil ver, por ejemplo, que b 2 = c y que cb = a . Contrariamente a esto, la mayoría de los textos modernos, incluido este artículo, incluyen una fila y una columna de encabezado para mayor claridad.
Propiedades y usos
Conmutatividad
La tabla de Cayley nos dice si un grupo es abeliano . Dado que la operación de grupo en un grupo abeliano es conmutativa , un grupo es abeliano si y solo si su cuadro de Cayley es simétrico (con respecto a la diagonal). El grupo cíclico de orden 3 anterior, así como {1, −1} por multiplicación ordinaria, son ejemplos de grupos abelianos, y la simetría de sus tablas de Cayley lo demuestra. Pero el grupo diedro no abeliano más pequeño de sexto orden no tiene simetría en la tabla de Cayley.
Asociatividad
Dado que la asociatividad está presente en los grupos por definición, a menudo también se asume en las tablas de Cayley. Sin embargo, las tablas de Cayley se pueden usar para describir operaciones en cuasigrupos , donde no se requiere asociatividad (además, las tablas de Cayley se pueden usar para describir una operación en cualquier magma finito ). Desafortunadamente, en general es imposible determinar si una operación es asociativa o no simplemente mirando una tabla, en contraste con la conmutatividad. Esto se debe a que la asociatividad depende de los tres elementos en igualdad, mientras que la tabla de Cayley muestra el producto de dos elementos. Sin embargo, la prueba de asociatividad de Light puede determinar la asociatividad con menos esfuerzo que la fuerza bruta.
Permutaciones
Dado que la abreviatura es válida para grupos (de hecho, incluso para cuasigrupos), ninguna fila o columna de la tabla Cayley puede contener el mismo elemento dos veces. Así, cada fila y columna de la tabla es una permutación de los elementos del grupo.
Para ver por qué las filas y las columnas no pueden contener los mismos elementos, sean a , x e y elementos de un grupo, y x e y sean diferentes. Ahora la fila correspondiente al elemento a y la columna correspondiente al elemento x contendrán el producto ax . De manera similar, la columna correspondiente a y contendrá ay . Sean dos productos iguales, es decir, la cadena a contiene el elemento dos veces. Por la regla de reducción, podemos concluir de ax = ay que x = y , lo que contradice la elección de x e y . Exactamente el mismo razonamiento se aplica a las columnas. En vista de la finitud del grupo según el principio de Dirichlet , cada elemento del grupo se presentará exactamente una vez en cada fila y en cada columna.
Es decir, el cuadro de Cayley para el grupo es un ejemplo de un cuadrado latino .
Construcción de mesas Cayley para grupos
Con la estructura de grupo, a menudo es posible "rellenar" las tablas de Cayley que tienen campos en blanco sin siquiera saber nada sobre la operación del grupo. Por ejemplo, dado que cada fila y cada columna deben contener todos los elementos de un grupo, un elemento faltante en una fila (o columna) se puede completar sin saber nada sobre el grupo. Esto muestra que esta propiedad y algunas otras propiedades de los grupos hacen posible construir tablas de Cayley incluso si sabemos poco sobre el grupo.
El "esqueleto de elementos neutros" de un grupo finito
Dado que en cualquier grupo, ni siquiera en uno abeliano, ningún elemento conmuta con su inverso, la distribución de elementos neutros en el cuadro de Cayley es simétrica con respecto a la diagonal. Los elementos neutros que se encuentran en la diagonal corresponden a elementos que coinciden con sus inversos.
Dado que el orden de las filas y columnas en la tabla de Cayley es arbitrario, es conveniente disponerlas en el siguiente orden: comenzamos con el elemento neutro del grupo, que siempre coincide con su inverso, luego enumeramos todos los elementos que coinciden con sus inversos, y luego escribe pares de elementos (elemento e inverso a él).
Ahora, para un grupo finito de algún orden, es fácil definir un "esqueleto de elementos neutrales", llamado así porque los elementos neutrales se encuentran sobre o cerca de la diagonal principal.
Es relativamente fácil demostrar que los grupos con diferentes esqueletos no pueden ser isomorfos , pero lo contrario no es cierto (por ejemplo, el grupo cíclico C 8 y el grupo cuaternión Q no son isomorfos, aunque tienen los mismos esqueletos).
Sean seis elementos de grupo e , a , b , c , d y f . Sea e un elemento neutro. Dado que el elemento neutro es igual a su inverso, y el inverso es único, debe haber al menos otro elemento que sea igual a su inverso. Así, obtenemos los siguientes esqueletos posibles:
- todos los elementos coinciden con sus inversos,
- todos los elementos excepto d y f son iguales a sus recíprocos, y estos dos son recíprocos entre sí,
- a es su inversa, b y c son inversas, d y f son inversas.
En nuestro caso, no existe ningún grupo del primer tipo de orden 6. Además, el hecho de que sea posible un esqueleto no implica en absoluto que exista un grupo cuyo esqueleto coincida con él.
Llama la atención el hecho (y es fácil de probar) de que todo grupo en el que algún elemento coincide con su inverso es abeliano.
Completando el cuadro según el esqueleto de elementos neutros
Si se proporciona el esqueleto de elementos neutros, puede comenzar a completar la tabla de Cayley. Por ejemplo, elijamos el segundo esqueleto del grupo de orden 6 de los descritos anteriormente:
| mi | a | b | C | d | F | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| mi | mi | |||||
| a | mi | |||||
| b | mi | |||||
| C | mi | |||||
| d | mi | |||||
| F | mi |
Obviamente, la fila e y la columna e se pueden llenar inmediatamente. Una vez hecho esto, puede ser necesario (y es necesario en nuestro caso) hacer una suposición, que posteriormente puede conducir a una contradicción, lo que significará que la suposición es incorrecta. Supondremos que ab = c . Después:
| mi | a | b | C | d | F | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| mi | mi | a | b | C | d | F |
| a | a | mi | C | |||
| b | b | mi | ||||
| C | C | mi | ||||
| d | d | mi | ||||
| F | F | mi |
Multiplicando ab = c desde la izquierda por a , obtenemos b = ac . La multiplicación correcta por c da bc = a . Multiplicando ab = c desde la derecha por b da a = cb . Multiplicando bc = a desde la izquierda por b da c = ba , y multiplicando desde la derecha por a da ca = b . Después de completar estos productos en la tabla, encontramos que ad y af permanecen vacíos en la fila a . Dado que cada elemento debe aparecer exactamente una vez en una fila, obtenemos que el anuncio debe ser d o f . Sin embargo, este elemento no puede ser igual a d , porque de lo contrario a sería igual a e , sabiendo que los dos elementos son diferentes. Así , ad = f y af = d .
Ahora, dado que el inverso de d es f , multiplicando ad = f desde la derecha por f da a = f 2 . La multiplicación izquierda por d da da = f . Multiplicando a la derecha por a , obtenemos d = fa .
Después de ingresar todos estos trabajos, la tabla de Cayley tomará la forma:
| mi | a | b | C | d | F | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| mi | mi | a | b | C | d | F |
| a | a | mi | C | b | F | d |
| b | b | C | mi | a | ||
| C | C | b | a | mi | ||
| d | d | F | mi | |||
| F | F | d | mi | a |
Dado que cada elemento del grupo debe aparecer exactamente una vez en cada fila, es fácil ver que las dos celdas vacías de la tabla en la fila b deben estar ocupadas por d o f . Sin embargo, d y f ya están presentes en las columnas correspondientes . Por lo tanto, lo que sea que pongamos en estos campos, obtendremos repetición en las columnas, lo que muestra que nuestra suposición inicial ab = c estaba equivocada. Sin embargo, ahora sabemos que ab ≠ c .
Quedan dos posibilidades: ab = d o ab = f . Dado que d y f son mutuamente inversas y la elección de las letras es arbitraria, debemos esperar que el resultado sea el mismo excepto por el isomorfismo. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que ab = d . Si ahora obtenemos una contradicción, tenemos que admitir que no hay un grupo correspondiente para este esqueleto.
Nos llega una nueva mesa Cayley:
| mi | a | b | C | d | F | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| mi | mi | a | b | C | d | F |
| a | a | mi | d | |||
| b | b | mi | ||||
| C | C | mi | ||||
| d | d | mi | ||||
| F | F | mi |
Multiplicando ab = d a la izquierda por a , obtenemos b = ad . La multiplicación por la derecha por f da bf = a , y la multiplicación por la izquierda por b da f = ba . Multiplicando a la derecha por a , obtenemos fa = b , y multiplicando a la izquierda por d , obtenemos a = db . Ingresando los resultados en la tabla de Cayley, obtenemos (los nuevos elementos están resaltados en rojo):
| mi | a | b | C | d | F | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| mi | mi | a | b | C | d | F |
| a | a | mi | d | b | ||
| b | b | F | mi | a | ||
| C | C | mi | ||||
| d | d | a | mi | |||
| F | F | b | mi |
A la cadena a le faltan c y f , pero como af no puede ser igual a f (de lo contrario , a sería igual a e ), podemos concluir que af = c . Multiplicando a la izquierda por a da f = ac , y esto lo podemos multiplicar a la derecha por c , lo que da fc = a . Multiplicando este último por d a la izquierda da c = da , que podemos multiplicar a la derecha por a para obtener ca = d . De la misma manera, multiplicando af = c desde la derecha por d , obtenemos a = cd . Actualice la tabla (los últimos cambios están resaltados en azul):
| mi | a | b | C | d | F | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| mi | mi | a | b | C | d | F |
| a | a | mi | d | F | b | C |
| b | b | F | mi | a | ||
| C | C | d | mi | a | ||
| d | d | C | a | mi | ||
| F | F | b | a | mi |
Como la cadena b no contiene c ni d , y bc no puede ser igual a c , deducimos que bc = d , por lo que el producto de bd debe ser igual a c . Multiplicar a la derecha por f nos da b = cf , que se puede convertir en cb = f multiplicando por c a la izquierda. Argumentando de manera similar, podemos deducir que c = fb y dc = b . Realizamos cambios en la tabla (los elementos introducidos están resaltados en verde):
| mi | a | b | C | d | F | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| mi | mi | a | b | C | d | F |
| a | a | mi | d | F | b | C |
| b | b | F | mi | d | C | a |
| C | C | d | F | mi | a | b |
| d | d | C | a | b | mi | |
| F | F | b | C | a | mi |
Solo falta f en la fila d , por lo que d 2 = f . De la misma manera, obtenemos que f 2 = d . Hemos rellenado toda la tabla y no hemos llegado a ninguna contradicción. Así, hemos encontrado un grupo de orden 6 correspondiente al esqueleto. Una mirada a la tabla muestra que no es abeliana. De hecho, este es el grupo no abeliano más pequeño, el grupo diédrico D 3 :
| * | mi | a | b | C | d | F |
|---|---|---|---|---|---|---|
| mi | mi | a | b | C | d | F |
| a | a | mi | d | F | b | C |
| b | b | F | mi | d | C | a |
| C | C | d | F | mi | a | b |
| d | d | C | a | b | F | mi |
| F | F | b | C | a | mi | d |
Generación de matriz de permutación
En la forma estándar de la tabla Cayley, el orden de las filas y las columnas es el mismo. Otra forma de ordenar es organizar las columnas de tal manera que la n -ésima columna corresponda a los elementos inversos de la n -ésima fila. En nuestro ejemplo para D 3 , solo necesitamos intercambiar las dos últimas columnas, ya que solo f y d no son inversas entre sí, pero son inversas entre sí.
| mi | a | b | C | f=d- 1 | d=f- 1 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| mi | mi | a | b | C | F | d |
| a | a | mi | d | F | C | b |
| b | b | F | mi | d | a | C |
| C | C | d | F | mi | b | a |
| d | d | C | a | b | mi | F |
| F | F | b | C | a | d | mi |
En nuestro ejemplo, se pueden crear seis matrices de permutación (todos los elementos son 1 o 0, un 1 en cada fila y cada columna). La matriz de 6x6 contiene un uno si la etiqueta de la columna coincide con la etiqueta de la fila y ceros en todos los demás campos, el símbolo de Kronecker para la etiqueta. (Observe que para la fila e obtenemos la matriz identidad). Por ejemplo, para a obtenemos la matriz de permutación.
| mi | a | b | C | F | d | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| mi | 0 | una | 0 | 0 | 0 | 0 |
| a | una | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| b | 0 | 0 | 0 | 0 | una | 0 |
| C | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | una |
| d | 0 | 0 | una | 0 | 0 | 0 |
| F | 0 | 0 | 0 | una | 0 | 0 |
Esto muestra que cualquier grupo de orden n es un subgrupo del grupo de permutaciones S n de orden n !.
Generalizaciones
Las propiedades descritas anteriormente dependen de algunos axiomas para grupos. Es natural extender los cuadros de Cayley a algunas otras estructuras algebraicas como semigrupos , cuasigrupos y magmas , pero algunas de las propiedades anteriores no se cumplen para ellos.
Véase también
Enlaces
- Cayley, Arturo . "Sobre la teoría de los grupos, según la ecuación simbólica θ n = 1", Revista Filosófica , vol. 7 (1854), págs. 40-47. Disponible en línea en Google Books como parte de sus obras completas.
- Cayley, Arturo . "Sobre la teoría de los grupos", American Journal of Mathematics , vol. 11, núm. 2 (enero de 1889), págs. 139-157. Disponible en JSTOR.