Grupo cuaternión

En la teoría de grupos , un grupo de cuaterniones es un grupo no abeliano de octavo orden , isomorfo a un conjunto de ocho cuaterniones con la operación de multiplicación. A menudo se denota con la letra Q o Q 8 y está determinada por la tarea del grupo .

Q=\langle -1,i,j,k\mid (-1)^{2}=1,\;i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk= -1\ángulo,

donde 1 es el elemento de identidad y el elemento −1 conmuta con los otros elementos del grupo.

El Conde de Cayley

El grupo Q 8 tiene el mismo orden que el grupo diédrico D 4 , pero tiene una estructura diferente, como se puede ver en los diagramas de ciclos y gráficos de Cayley:

Conde de Cayley		gráfico de ciclo
P 8 Las flechas rojas indican la multiplicación a la derecha por i , y las flechas verdes indican la multiplicación a la derecha por j .	D 4 grupo diedro	P8 _	Dih 4

El grupo diédrico D 4 se obtiene a partir de cuaterniones divididos de la misma forma que Q 8 a partir de cuaterniones.

La mesa de Cayley

Tabla Cayley (tabla de multiplicar) para Q [1] :

Q×Q	una	−1	i	− yo	j	-j _	k	-k _
una	una	−1	i	− yo	j	-j _	k	-k _
−1	−1	una	− yo	i	-j _	j	-k _	k
i	i	− yo	−1	una	k	-k _	-j _	j
− yo	− yo	i	una	−1	-k _	k	j	-j _
j	j	-j _	-k _	k	−1	una	i	− yo
-j _	-j _	j	k	-k _	una	−1	− yo	i
k	k	-k _	j	-j _	− yo	i	−1	una
-k _	-k _	k	-j _	j	i	− yo	una	−1

La multiplicación de seis unidades imaginarias {± i , ± j , ± k } actúa como un producto vectorial de vectores unitarios en el espacio euclidiano tridimensional .

{\begin{alignedat}{2}ij&=k,&ji&=-k,\\jk&=i,&kj&=-i,\\ki&=j,&ik&=-j.\end{alignedat))

Propiedades

El grupo de cuaterniones tiene la propiedad inusual de ser hamiltoniano : cualquier subgrupo del grupo Q es un subgrupo normal y el grupo en sí no es abeliano. [2] Cualquier grupo hamiltoniano contiene una copia de Q . [3]

Se puede construir un espacio vectorial de cuatro dimensiones con base {1, i , j , k } y convertirlo en un álgebra asociativa utilizando la tabla de multiplicación de vector base anterior y continuando con la operación de multiplicación por distributividad . El álgebra resultante será el cuerpo de cuaterniones . Tenga en cuenta que esto no es lo mismo que el álgebra de grupos Q (que tiene dimensión 8). Por el contrario, uno puede comenzar con cuaterniones y definir un grupo de cuaterniones como un subgrupo multiplicativo que consta de ocho elementos {1, −1, i , − i , j , − j , k , − k }. Un espacio vectorial complejo de cuatro dimensiones con la misma base se llama álgebra de bicuaternión .

Tenga en cuenta que i , j y k tienen orden 4 en Q y dos de ellos generan el grupo completo. Otra tarea del grupo Q [4] que muestra esto:

\langle x,y\mid x^{4}=1,x^{2}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle .

Puede, por ejemplo, tomar i = x , j = y y k = xy .

El centro y conmutador del grupo Q es el subgrupo {±1}. El grupo de factores Q /{±1} es isomorfo al grupo V de los cuatro de Klein . El grupo de automorfismos internos del grupo Q es isomorfo al grupo cociente Q con respecto al centro, y por lo tanto también es isomorfo al grupo cuádruple de Klein. El grupo completo de automorfismos del grupo Q es isomorfo a S 4 , el grupo simétrico de cuatro letras. El grupo de automorfismos exterior de Q es S 4 / V , que es isomorfo a S 3 .

Representación matricial

El grupo de cuaterniones se puede representar como un subgrupo del grupo lineal completo GL 2 ( C ). Actuación

Q=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}\to {\mathrm {GL}}_{{2}}({\mathbf {C}})

se define mediante matrices [5]

1\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}

i\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}

j\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}

k\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}

Dado que todas las matrices anteriores tienen determinantes unitarios, definen una representación del grupo Q en el grupo lineal especial SL 2 ( C ).

También hay una acción importante del grupo Q sobre ocho elementos distintos de cero de un espacio vectorial bidimensional sobre un campo finito F 3 . Actuación

Q=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}\to {\mathrm {GL}}(2,3)

determinado por matrices

1\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}

i\mapsto {\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}

j\mapsto {\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix}}

k\mapsto {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}

donde {−1,0,1} son tres elementos del campo F 3 . Dado que el determinante de todas las matrices sobre el campo F 3 es igual a uno, esta es una representación del grupo Q en el grupo lineal especial SL(2, 3). Además, el grupo SL(2, 3) tiene orden 24 y Q es un subgrupo normal del grupo SL(2, 3) de índice 3.

Grupo Galois

Como mostró Richard Dean en 1981, el grupo de cuaterniones se puede dar como el grupo de Galois Gal( T / Q ), donde Q es el cuerpo de números racionales y T es el cuerpo de descomposición del polinomio

x^{8}-72x^{6}+180x^{4}-144x^{2}+36

sobre Q. _

La demostración utiliza el teorema fundamental de la teoría de Galois , así como dos teoremas sobre extensiones cíclicas de grado 4. [6]

Grupo de cuaterniones generalizados

Un grupo se denomina grupo cuaternión generalizado (o grupo dicíclico ) si tiene una tarea [4]

\langle x,y\mid x^{2n}=y^{4}=1,x^{n}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1} \rango .

para algún entero n ≥ 2. Este grupo se denota Q 4 n y tiene orden 4 n . [7] Coxeter se refirió a estos grupos dicíclicos como <2,2,n>, considerándolos como un caso especial del grupo poliédrico binario <l,m,n> asociado a los grupos poliédricos (p, q,r) y el grupo diédrico (2,2,n). El grupo cuaternión ordinario corresponde al caso n = 2. El grupo cuaternión generalizado es isomorfo al subgrupo de GL 2 ( C ) generado por los elementos

\left({\begin{matriz}{cc}\omega _{n}&0\\0&\overline {\omega }_{n}\end{matriz}}\right)

\left({\begin{matriz}{cc}0&-1\\1&0\end{matriz}}\right)

donde ω norte = mi yoπ / norte [ 4] . También es isomorfo al grupo generado [8] por los cuaterniones x = e iπ/ ny y = j .

El teorema de Brouwer-Suzuki establece que los grupos para los cuales los 2 subgrupos de Sylow son cuaterniones generalizados no pueden ser simples.

Véase también

Notas

↑ Ver también una tabla Archivado el 28 de abril de 2018 en Wayback Machine en el sitio web de Wolfram Alpha
↑ Véase Hall (1999), pág. 190 Archivado el 6 de agosto de 2021 en Wayback Machine .
↑ Kurosh A.G. Teoría de grupos. - M. : Nauka, 1967. - S. 57.
↑ 1 2 3 Johnson, 1980 , pág. 44-45.
↑ Artín, 1991 .
↑ Decano, Richard (1981). "Un polinomio racional cuyo grupo son los cuaterniones". The American Mathematical Monthly 88 (1): 42–45. .
↑ Algunos autores (por ejemplo, Rotman, 1995 , pp. 87, 351) llaman a este grupo grupo dicíclico , dejando el nombre de grupo cuaternión generalizado para el caso en que n es una potencia de dos.
↑ Marrón, 1982 , pág. 98.

Literatura

Miguel Artín. Álgebra. - Prentice Hall, 1991. - ISBN 978-0-13-004763-2 .
Kenneth S. Brown. Cohomología de grupos. - Springer-Verlag, 1982. - ISBN 978-0-387-90688-1 .
Henri Cartan, Samuel Eilenberg. Álgebra Homológica . - Prensa de la Universidad de Princeton, 1999. - ISBN 978-0-691-04991-5 .
Richard A. Decano. Un polinomio racional cuyo grupo son los cuaterniones // American Mathematical Monthly . - 1981. - S. 88:42–5 .
D. Gorenstein. Grupos Finitos. - Nueva York: Chelsea, 1980. - ISBN 978-0-8284-0301-6 .
david l johnson Temas en la teoría de las presentaciones grupales. - Prensa de la Universidad de Cambridge , 1980. - ISBN 978-0-521-23108-4 .
José J. Rotman. Introducción a la teoría de grupos. - 4. - Springer-Verlag, 1995. - ISBN 978-0-387-94285-8 .
P. R. Girard. El grupo de cuaterniones y la física moderna // European Journal of Physics. - 1984. - S. 5:25–32 .
Sala Marshall. La teoría de los grupos. - 2. - Librería AMS, 1999. - ISBN 0-8218-1967-4 .
Alexander G. Kurosh. Teoría de Grupos. - Librería AMS, 1979. - ISBN 0-8284-0107-1 .

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. Quaternion group (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .