Tabla de personajes

La tabla de caracteres es una tabla bidimensional, cuyas filas corresponden a las representaciones irreducibles del grupo y cuyas columnas corresponden a las clases de conjugación de los elementos del grupo. Los elementos de una matriz se componen de caracteres , trazas de matrices que representan un grupo de elementos de una clase de columna en una representación de grupo definida por filas.

En química , cristalografía y espectroscopia , las tablas de caracteres de grupos de puntos se utilizan para clasificar, por ejemplo , las vibraciones de las moléculas según su simetría y para predecir si una transición de un estado a otro estaría prohibida por razones de simetría.

Definición y ejemplo

Los caracteres complejos irreducibles de un grupo finito forman una tabla de caracteres , que codifica mucha información útil sobre el grupo G en forma compacta. Cada fila está etiquetada con un carácter irreductible , y los elementos de la fila son los valores del carácter sobre las representaciones de las clases de conjugación correspondientes del grupo G (ya que los caracteres son funciones de clases ). Las columnas están etiquetadas con (representantes de) clases de conjugación del grupo G. Por lo general, la primera fila está etiquetada con un carácter trivial y la primera columna está etiquetada con la (clase de conjugación) del elemento neutral . Los elementos de la primera columna son los valores de los caracteres irreducibles sobre el elemento neutro, los grados de los caracteres irreducibles. Los caracteres de grado 1 se conocen como caracteres lineales .

A continuación se muestra la tabla de caracteres C 3 = <u> para un grupo cíclico con tres elementos y un generador u :

	(una)	(tú)	(tú 2 )
una	una	una	una
${\ estilo de visualización \ chi _ {1}}$	una	$\omega$	$\omega^{2}$
${\ estilo de visualización \ chi _ {2}}$	una	$\omega^{2}$	$\omega$

donde es la raíz cúbica primitiva de la unidad. La tabla de caracteres para grupos cíclicos generales es (hasta un escalar) una matriz DFT . $\omega$

Otro ejemplo es la tabla de caracteres del grupo : $S_{3}$

	(una)	(12)	(123)
${\ estilo de visualización \ chi _ {triv}}$	una	una	una
${\ estilo de visualización \ chi _ {sgn}}$	una	$-$ una	una
${\ estilo de visualización \ chi _ {soporte}}$	2	0	$-$ una

donde (12) representa la clase de conjugación que consta de (12), (13), (23) y (123) representa la clase de conjugación que consta de (123), (132). Puedes leer sobre tablas de caracteres de grupos simétricos en el artículo Teoría de las representaciones lineales de grupos simétricos .

La primera fila de la tabla de caracteres siempre consta de unos y corresponde a la representación trivial (una representación unidimensional que consta de matrices 1×1 que contienen 1 como único elemento). Además, la tabla de caracteres siempre es cuadrada, ya que (1) los caracteres irreducibles son ortogonales por pares y (2) ninguna otra clase de funciones no triviales es ortogonal a todos los caracteres. Esto está relacionado con el hecho importante de que las representaciones irreducibles de un grupo finito G tienen una biyección con sus clases de conjugación. Esta biyección también se sigue del hecho de que las sumas de clase forman una base para el centro del álgebra de grupo del grupo G , que tiene una dimensión igual al número de representaciones irreducibles del grupo G.

Relaciones de ortogonalidad

El espacio de funciones complejas de clases de un grupo finito G tiene un producto escalar natural:

\left\langle \alpha ,\beta \right\rangle :={\frac {1}{\left|G\right|}}\sum _{g\in G}\alpha (g){\ línea superior {\ beta (g)}}

donde denota el complejo conjugado de un valor en g . Dado este producto interno, los caracteres irreducibles forman una base ortonormal para el espacio de funciones de clase y dan una relación de ortogonalidad para las filas de caracteres de la tabla: ${\overline {\beta (g)))$ $\beta$

\left\langle \chi _{i},\chi _{j}\right\rangle ={\begin{cases}0&i\neq j,\\1&i=j.\end{cases))

Pues la relación de ortogonalidad para las columnas es la siguiente: $g, h \ en G$

\sum_{\chi_{i}}\chi_{i}(g){\overline {\chi_{i}(h)))={\begin{casos}\left|C_{ G}(g)\right|,&g={\overline {h}}\\0&g\neq {\overline {h}}\end{casos}}

donde la sumatoria es sobre todos los caracteres irreductibles del grupo G y el símbolo significa el orden del centralizador . $\chi _{i}$ ${\ estilo de visualización \ izquierda | C_ {G} (g) \ derecha |}$ $gramo$

Un carácter desconocido es irreducible si y sólo si . $\chi _{i}$ $\left\langle \chi _{i},\chi _{i}\right\rangle =1$

Las relaciones de ortogonalidad se pueden utilizar:

Por la expansión de un carácter desconocido como combinación lineal de caracteres irreductibles.
Para construir una tabla completa de caracteres si solo se conocen algunos de los caracteres irreductibles.
Para encontrar las órdenes de centralizadores de representantes de clases de conjugación de un grupo.
Para encontrar el orden de un grupo.

Más específicamente, considere una representación regular que es una permutación en un grupo finito G. Los caracteres de esta representación también son para g distinto de uno. Entonces para una representación irreducible , ${\ estilo de visualización \ chi (e) = \ izquierda | G \ derecha |}$ ${\ estilo de visualización \ chi (g) = 0}$ $V_i$

\left\langle \chi _{\text{reg)),\chi _{i}\right\rangle ={\frac {1}{\left|G\right|}}\sum _{g \in G}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{\text{reg}}(g)))={\frac {1}{\left|G\right|}}\ chi _ {i} (1) {\ overline {\ chi _ {\ text {reg}} (1)}} = \ nombre del operador {dim} V_ {i}

Desarrollando representaciones regulares como suma de representaciones irreducibles del grupo G, obtenemos . De aquí concluimos $V_{\text{reg}}=\oplus V_{i}^{\operatorname {dim} V_{i}}$

\left|G\right|=\operatorname {dim} V_{\text{reg}}=\sum (\operatorname {dim} V_{i})^{2}

sobre todas las representaciones irreductibles . La suma puede ayudar a reducir la dimensión de las representaciones irreducibles en la tabla de caracteres. Por ejemplo, si un grupo tiene orden 10 y 4 clases de conjugación (por ejemplo, un grupo diédrico de orden 10), entonces la única forma de expresar el orden del grupo como suma de cuatro cuadrados es , por lo que conocemos las dimensiones de todas las representaciones irreductibles. $V_i$ ${\ estilo de visualización 10 = 1 ^ {2} + 1 ^ {2} + 2 ^ {2} + 2 ^ {2}}$

Propiedades

La conjugación compleja actúa en la tabla de caracteres: dado que la conjugación compleja de una representación es nuevamente una representación, lo mismo ocurre con los caracteres, y luego los caracteres que toman valores complejos no triviales tienen caracteres conjugados.

Algunas propiedades del grupo G se pueden deducir de la tabla de caracteres:

El orden del grupo G está determinado por la suma de los cuadrados de los elementos de la primera columna (grados de caracteres irreducibles). (Ver Aplicación del lema de Schur ). De manera más general, la suma de los cuadrados de los valores absolutos de los elementos de cualquier columna da el orden del centralizador del elemento de la clase de conjugación correspondiente.
Todos los subgrupos normales de G (y también si G es simple) se pueden reconocer en la tabla de caracteres. El núcleo del carácter es el conjunto de elementos g del grupo G para los cuales . Este es un subgrupo normal del grupo G. Cualquier subgrupo normal del grupo G es la intersección de los núcleos de algunos caracteres irreducibles de G. $\ chi$ ${\ estilo de visualización \ chi (g) = \ chi (1)}$
El subgrupo generado del grupo G es la intersección de los núcleos de los caracteres lineales del grupo G. En particular, G es abeliano si y solo si todos sus caracteres irreducibles son lineales.
De algunos resultados de Richard Brouwer en la teoría de las representaciones modulares se deduce que los divisores primos del orden de los elementos de cada clase de conjugación de un grupo finito se pueden derivar de la tabla de caracteres del grupo ( Graham Higman 's observación ).

La tabla de caracteres generalmente no define un grupo hasta un isomorfismo . Por ejemplo, el grupo de cuaterniones Q y el grupo diédrico de 8 elementos ( D 4 ) comparten la misma tabla de caracteres. Brouwer preguntó si la tabla de caracteres, junto con saber cómo se distribuyen las potencias de los elementos de las clases de conjugación, determina un grupo finito hasta el isomorfismo. En 1964, E. K. Dade respondió negativamente a la pregunta.

Los caracteres lineales forman un grupo de caracteres , que tiene una conexión importante con la teoría de números .

Automorfismos externos

El grupo de automorfismos exteriores actúa sobre la tabla de caracteres permutando las columnas (clases de conjugación) y, en consecuencia, las filas, que dan una simetría diferente a la tabla. Por ejemplo, los grupos abelianos tienen un automorfismo externo, que no es trivial excepto para los 2-grupos abelianos elementales , y externo, ya que los grupos abelianos son precisamente aquellos para los que las conjugaciones (automorfismos internos) actúan de manera trivial. En el ejemploanterior, este mapa se traducey, en consecuencia, cambiay(reorganiza sus valoresy). Tenga en cuenta que este automorfismo (inverso en grupos abelianos) es consistente con la conjugación compleja. $g\mapsto g^{-1}$ $C_{3}$ $u\mapstou^{2},u^{2}\mapstou,$ ${\ estilo de visualización \ chi _ {1}}$ ${\ estilo de visualización \ chi _ {2}}$ $\omega$ $\omega^{2}$

Formalmente, si es un automorfismo del grupo G y es una representación, entonces es una representación. Si es un automorfismo interno (conjugación con algún elemento a ), entonces actúa trivialmente sobre las representaciones, ya que las representaciones son clases de funciones (la conjugación no cambia su valor). Esto da una clase de automorfismos externos que actúa sobre los caracteres. ${\ estilo de visualización \ phi \ dos puntos G \ a G}$ $\rho \colon G\to \operatorname {GL}$ $\rho ^{\phi }:=g\mapsto\rho (\phi (g))$ ${\ estilo de visualización \ phi = \ phi _ {a))$

Esta relación se puede usar de dos maneras: dado un automorfismo externo, se pueden hacer nuevas representaciones y viceversa, se pueden reducir los posibles automorfismos externos en función de la tabla de caracteres.

Notas

Literatura

I. Martín Isaacs. Teoría de caracteres de grupos finitos. —Dover, 1976.
Rowland, Todd; Weisstein, Eric W. Character Table (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .