Tensor de tensión de Maxwell

El tensor de tensión de Maxwell (llamado así por James Clerk Maxwell ) es un tensor simétrico de segundo orden utilizado en el electromagnetismo clásico para representar la interacción entre las fuerzas electromagnéticas y el momento mecánico . En casos simples, como una carga puntual que se mueve libremente en un campo magnético uniforme, es fácil calcular las fuerzas que actúan sobre la carga a partir de la fuerza de Lorentz . En casos más complejos, este procedimiento habitual puede volverse poco práctico con ecuaciones que abarcan varias líneas. Por tanto, es conveniente recoger muchos de estos términos en el tensor de tensión de Maxwell y utilizar la aritmética de tensores para encontrar la respuesta al problema que nos ocupa.

En la formulación relativista del electromagnetismo, el tensor de Maxwell aparece como parte del tensor de energía-momento electromagnético , que es el componente electromagnético del tensor de energía-momento total . Este último describe la densidad y el flujo de energía y el momento en el espacio-tiempo .

Justificación

A continuación se muestra que la fuerza electromagnética se escribe en términos de E y B. Utilizando el cálculo vectorial y las ecuaciones de Maxwell , se busca la simetría en las expresiones que contienen E y B , e introduciendo el tensor de tensión de Maxwell se simplifica el resultado.

Ecuaciones de Maxwell en unidades SI en el vacío (como referencia)

Nombre	forma diferencial
Ley de Gauss (en el vacío)	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0))))$
Ley de Gauss para el magnetismo	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$
Ecuación de Maxwell-Faraday (ley de inducción de Faraday)	$\nabla \times {\mathbf {E}}=-{\frac {\parcial {\mathbf {B}}}{\parcial t}}$
Ley circular de Ampère (en el vacío) (con corrección de Maxwell)	$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\parcial \mathbf {E} }{ \parcial-t}}\$

Según la fuerza de Lorentz
F = q ( mi + v × B ) {\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )} $\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )$ F = ∫ ( mi + v × B ) pags d τ {\displaystyle \mathbf {F} =\int (\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\rho \mathrm {d} \tau } $\mathbf {F} =\int (\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\rho \mathrm {d} \tau$ fuerza por unidad de volumen es
F = pags mi + j × B . {\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} \,.} $\mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} \,.$
Además, ρ y J pueden ser reemplazados por campos eléctricos y magnéticos E y B , de acuerdo con la ley de Gauss y el teorema de circulación del campo magnético de Ampère : F = ε 0 ( ∇ ⋅ mi ) mi + una m 0 ( ∇ × B ) × B − ε 0 ∂ ∂ t mi × B . {\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\ mu _{0))}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\varepsilon _{0}{\frac {\parcial }{ \t parcial}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .} $\mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\ mu _{0))}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\varepsilon _{0}{\frac {\parcial }{ \t parcial}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .$
La derivada del tiempo se puede reescribir en algo que se puede interpretar físicamente, a saber, el vector de Poynting . Usando la regla del producto y la ley de inducción electromagnética de Faraday se obtiene: ∂ ∂ t ( mi × B ) = ∂ ∂ t mi × B + mi × ∂ ∂ t B = ∂ ∂ t mi × B − mi × ( ∇ × mi ) , {\displaystyle {\frac {\parcial }{\parcial t))(\mathbf {E} \times \mathbf {B} )={\frac {\parcial }{\parcial t))\mathbf {E} \ veces \mathbf {B} +\mathbf {E} \times {\frac {\parcial }{\parcial t))\mathbf {B} ={\frac {\parcial }{\parcial t))\mathbf {E } \times \mathbf {B} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} ),} ${\frac {\parcial }{\parcial t))(\mathbf {E} \times \mathbf {B} )={\frac {\parcial }{\parcial t))\mathbf {E} \ veces \mathbf {B} +\mathbf {E} \times {\frac {\parcial }{\parcial t))\mathbf {B} ={\frac {\parcial }{\parcial t))\mathbf {E } \times \mathbf {B} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} ),$ y ahora podemos sobrescribir el parámetro f como F = ε 0 ( ∇ ⋅ mi ) mi + una m 0 ( ∇ × B ) × B − ε 0 ∂ ∂ t ( mi × B ) − ε 0 mi × ( ∇ × mi ) . {\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\ mu _{0))}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\varepsilon _{0}{\frac {\parcial }{ \t parcial))\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)-\varepsilon _{0}\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla))\times \mathbf {MI}).} $\mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\ mu _{0))}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\varepsilon _{0}{\frac {\parcial }{ \t parcial))\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)-\varepsilon _{0}\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla))\times \mathbf {MI}).$ Entonces, combinando con E y B da F = ε 0 [ ( ∇ ⋅ mi ) mi − mi × ( ∇ × mi ) ] + una m 0 [ − B × ( ∇ × B ) ] − ε 0 ∂ ∂ t ( mi × B ) . {\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({ \boldsymbol {\nabla ))\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0))}\left[-\mathbf {B} \times \left({\ boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\varepsilon _{0}{\frac {\parcial }{\parcial t))\left(\mathbf {E} \times \ matemáticasbf {B} \derecho).} $\mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({ \boldsymbol {\nabla ))\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0))}\left[-\mathbf {B} \times \left({\ boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\varepsilon _{0}{\frac {\parcial }{\parcial t))\left(\mathbf {E} \times \ matemáticasbf {B} \derecho).$
La expresión parece "faltar" en simetría en E y B , lo que se puede lograr insertando (∇ ⋅ B ) B , debido a la ley de Gauss para el electromagnetismo : F = ε 0 [ ( ∇ ⋅ mi ) mi − mi × ( ∇ × mi ) ] + una m 0 [ ( ∇ ⋅ B ) B − B × ( ∇ × B ) ] − ε 0 ∂ ∂ t ( mi × B ) . {\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({ \boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} -\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla ))\times \mathbf {B} \right)\right]-\varepsilon _{0}{\ frac {\parcial }{\parcial t))\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).} $\mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({ \boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} -\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla ))\times \mathbf {B} \right)\right]-\varepsilon _{0}{\ frac {\parcial }{\parcial t))\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).$ Elimine los torbellinos (que son bastante difíciles de calcular) utilizando la identidad de cálculo vectorial una 2 ∇ ( A ⋅ A ) = A × ( ∇ × A ) + ( A ⋅ ∇ ) A , {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} )=\mathbf {A} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A} ,} ${\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} )=\mathbf {A} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A} ,$ lleva a: F = ε 0 [ ( ∇ ⋅ mi ) mi + ( mi ⋅ ∇ ) mi ] + una m 0 [ ( ∇ ⋅ B ) B + ( B ⋅ ∇ ) B ] − una 2 ∇ ( ε 0 mi 2 + una m 0 B 2 ) − ε 0 ∂ ∂ t ( mi × B ) . {\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} +(\mathbf {E} \cdot { \boldsymbol {\nabla )))\mathbf {E} \right]+{\frac {1}{\mu _{0))}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B } )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {B} \right]-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left(\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)-\varepsilon _{0}{\frac {\parcial}{\parcial t))\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).} $\mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} +(\mathbf {E} \cdot { \boldsymbol {\nabla )))\mathbf {E} \right]+{\frac {1}{\mu _{0))}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B } )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {B} \right]-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left(\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)-\varepsilon _{0}{\frac {\parcial}{\parcial t))\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).$
Esta expresión contiene todos los aspectos del electromagnetismo y la cantidad de movimiento y es relativamente fácil de calcular. Se puede escribir de forma más compacta introduciendo el tensor de tensión de Maxwell , σ i j ≡ ε 0 ( mi i mi j − una 2 d i j mi 2 ) + una m 0 ( B i B j − una 2 d i j B 2 ) . {\displaystyle \sigma_{ij}\equiv \varepsilon_{0}\left(E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\delta_{ij}E^{2} \right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\delta_{ij}B^{ 2}\derecha).} $\sigma_{ij}\equiv \varepsilon_{0}\left(E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\delta_{ij}E^{2} \right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\delta_{ij}B^{ 2}\derecha).$ Todos menos el último término f pueden escribirse como la divergencia tensorial del tensor de tensión de Maxwell, dando: ∇ ⋅ σ = F + ε 0 m 0 ∂ ∂ t S . {\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma ))=\mathbf {f} +\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\parcial }{\parcial t))\mathbf { S}\,.} $\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma ))=\mathbf {f} +\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\parcial }{\parcial t))\mathbf { S}\,.$ Como en el teorema de Poynting , el segundo término en el lado derecho de la ecuación anterior puede interpretarse como la derivada temporal de la densidad de momento del campo electromagnético, mientras que el primer término es la derivada temporal de la densidad de momento para partículas masivas. Así, la ecuación anterior será la ley de conservación de la cantidad de movimiento en la electrodinámica clásica, donde se introduce el vector de Poynting S = una m 0 mi × B . {\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .} $\mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .$

En la relación de conservación de momento anterior, es la densidad de flujo de momento y juega un papel similar al del teorema de Poynting . ${\ estilo de visualización \ nabla \ cdot {\ símbolo de negrita {\ sigma}}}$ $\mathbf {S}$

La derivación anterior supone un conocimiento completo de los parámetros ρ y J (cargas y corrientes libres y limitadas). En el caso de materiales no lineales (como el hierro magnético con una curva BH (curva de densidad de flujo)) es necesario utilizar el tensor de tensión de Maxwell no lineal. [una]

Ecuación

En física , el tensor de tensión de Maxwell es el tensor de tensión de un campo electromagnético . Como se indicó anteriormente en unidades SI , esto se define como:

\sigma_{ij}=\epsilon_{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu_{0))}B_{i}B_{j}-{ \frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)\delta _ {ij},

donde ε 0 es la constante eléctrica , μ 0 es la constante magnética , E es el campo eléctrico , B es el campo magnético y δ ij es la delta de Kronecker . En unidades Gaussianas CGS , esto se define como:

\sigma _{ij}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{i}E_{j}+H_{i}H_{j}-{\frac {1}{ 2}}\izquierda(E^{2}+H^{2}\derecha)\delta _{ij}\derecha),

donde H es el campo magnetizante .

Una forma alternativa de expresar este tensor:

{\overset {\leftrightarrow }{\boldsymbol {\sigma }}}={\frac {1}{4\pi }}\left[\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} +\mathbf {H} \otimes \mathbf {H} -{\frac {E^{2}+H^{2}}{2}}\mathbb {I} \right],

donde ⊗ es el producto diádico y el último tensor es la díada unitaria: ${\ matemáticas {yo}}$

\mathbb {I} \equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}=\left(\mathbf {\hat {x}} \otimes \mathbf {\hat { x)) +\mathbf {\hat {y)) \otimes \mathbf {\hat {y)) +\mathbf {\hat {z)) \otimes \mathbf {\hat {z)) \right)

El elemento ij del tensor de tensión de Maxwell tiene unidades de cantidad de movimiento por unidad de área por unidad de tiempo y da un flujo de cantidad de movimiento paralelo al eje i-ésimo que cruza la superficie perpendicular al eje j -ésimo (en la dirección negativa) por unidad de tiempo.

Estas unidades también se pueden considerar como unidades de fuerza por unidad de área (presión negativa), y el elemento ij del tensor también se puede interpretar como una fuerza paralela al eje i , que actúa sobre una superficie perpendicular al eje j, por unidad. área. De hecho, los elementos diagonales establecen la tensión (tensión, extensión) que actúa sobre el elemento diferencial de área a lo largo de la normal al eje correspondiente. A diferencia de las fuerzas causadas por la presión de un gas ideal, el elemento de área en un campo electromagnético también experimenta una fuerza que no está dirigida a lo largo de la normal al elemento. Este desplazamiento viene dado por los elementos fuera de la diagonal del tensor de tensión.

Solo magnetismo

Si el campo es solo magnético (lo que es en gran medida cierto para los motores, por ejemplo), algunos términos desaparecen y la ecuación en unidades SI se convierte en:

\sigma_{ij}={\frac {1}{\mu_{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2\mu_{0}}} B^{2}\delta_{ij}\,.

Para objetos cilíndricos, como el rotor de un motor, esta expresión se simplifica a:

\sigma_{rt}={\frac {1}{\mu_{0}}}B_{r}B_{t}-{\frac {1}{2\mu_{0}}} B^{2}\delta_{rt}\,.

donde r es el cambio en la dirección radial (fuera del cilindro), t es el cambio en la dirección tangencial (alrededor del cilindro). Esta es la fuerza tangencial que hace girar el motor. B r es la densidad de flujo en dirección radial y B t es la densidad de flujo en dirección tangencial.

En electrostática

En electrostática , los efectos del magnetismo están ausentes. En este caso, el campo magnético desaparece, y obtenemos el tensor de esfuerzo electrostático de Maxwell . Se da en forma de componentes. $\mathbf {B} =\mathbf {0}$

\sigma_{ij}=\varepsilon_{0}E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\varepsilon_{0}E^{2}\delta_{ ij}

y en forma simbólica

{\boldsymbol {\sigma }}=\varepsilon _{0}\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} -{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {E} )\mathbf {I} ,

donde es un tensor de identidad adecuado (normalmente ). ${\ estilo de visualización \ mathbf {yo}}$ $3\veces3$

Valor propio

Los valores propios del tensor de tensión de Maxwell están determinados por la expresión:

\{\lambda \}=\left\{-\left({\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _ {0}}}B^{2}\right),~\pm {\sqrt {\left({\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}-{\frac {1 {2\mu _{0}}}B^{2}\right)^{2}+{\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {B}}\derecha)^{2}}}\derecha\}.

Estos valores propios se obtienen aplicando iterativamente el lema del determinante matricial en combinación con la fórmula de Sherman-Morrison.

Teniendo en cuenta que la matriz de ecuación característica se puede escribir como ${\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma ))}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} }$

{\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma ))}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } =-\left(\lambda +V\right)\mathbf {\mathbb {I} } +\ épsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T))+{\frac {1}{\mu _{0))}\mathbf {B} \mathbf {B} ^ {\textsf {T)),

dónde

V={\frac {1}{2}}\left(\epsilon_{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu_{0}}}B^{2} \Correcto),

instalamos

\mathbf {U} =-\left(\lambda +V\right)\mathbf {\mathbb {I} } +\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}.

Aplicando el lema del determinante matricial una vez, obtenemos:

\det {\left({\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma ))}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } \right)}=\left(1+{\frac {1}{ \mu _{0))}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {U} ^{-1}\mathbf {B} \right)\det {\left(\mathbf {U} \Correcto)}.

Aplicarlo de nuevo da

\det {\left({\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma ))}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } \right)}=\left(1+{\frac {1}{ \mu _{0))}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {U} ^{-1}\mathbf {B} \right)\left(1-{\frac {\epsilon _ {0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} }{\lambda +V}}\right)\left(-\lambda -V\right)^{3}.

Desde el último multiplicador en el lado derecho de la expresión, queda inmediatamente claro que es uno de los valores propios. ${\ estilo de visualización \ lambda = -V}$

Para encontrar la inversa , usamos la fórmula de Sherman-Morrison: ${\ estilo de visualización \ mathbf {U}}$

\mathbf {U} ^{-1}=-\left(\lambda +V\right)^{-1}-{\frac {\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E } ^{\textsf {T))}{\left(\lambda +V\right)^{2}-\left(\lambda +V\right)\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\ textosf {T}}\mathbf {E} }}.

Habiendo factorizado el término determinante, nos queda encontrar los ceros de la función racional: ${\ estilo de visualización \ izquierda (- \ lambda -V \ derecha)}$

\left(-\left(\lambda +V\right)-{\frac {\epsilon _{0}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2} }{\mu _{0}\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon_{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} \right) }}\right)\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} \right).

Así, una vez que decidimos

-\left(\lambda +V\right)\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}E^{2}\right)-{\frac {\epsilon _ {0}}{\mu_{0}}}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}=0,

obtenemos otros dos valores propios.

Véase también

calculo de ricci
Densidad de energía de campos eléctricos y magnéticos.
Vector señalador
Tensor de energía-momento electromagnético
presión magnética
Fuerza de tracción magnética

Enlaces

↑ Brauer, John R. Actuadores y sensores magnéticos : [ ing. ] . — 2014-01-13. — ISBN 9781118754979 .

David J. Griffiths, "Introducción a la electrodinámica", págs. 351–352, Benjamin Cummings Inc., 2008
John David Jackson, "Electrodinámica clásica, 3.ª edición", John Wiley & Sons, Inc., 1999.
Richard Becker, "Campos e interacciones electromagnéticos", Dover Publications Inc., 1964.