Teorema de prebase de Alexander

El Teorema de la Subbase de Alexander [1] es un teorema de topología general que establece un criterio para la compacidad de un espacio topológico.

Un espacio se dice compacto si admite un subrecubrimiento finito de cada uno de sus recubrimientos por conjuntos abiertos. El teorema de Alexander reduce significativamente la clase de revestimientos que solo deben considerarse para establecer la compacidad.

La formulación del teorema utiliza la noción de una prebase de una topología , una familia de subconjuntos abiertos cuyas intersecciones finitas forman la base de una topología .

Teorema (J. Alexander, 1939 [2] ). Un espacio topológico es compacto si y sólo si la selección de una subcubierta finita admite toda cubierta compuesta por elementos de alguna subbase de su topología.

Prueba. La necesidad de este criterio de compacidad es evidente, ya que todos los elementos de la prebase son conjuntos abiertos. La suficiencia se prueba por contradicción. Sea el espacio X no compacto, aunque toda cubierta compuesta por elementos de la prebase de su topología admite una subcubierta finita. Sea la base de la topología del espacio X formado por esta prebase. Cada uno de sus elementos es una intersección finita de los elementos de la prebase. ${\mathfrak {P}}$ ${\mathfrak {B}}$

El conjunto de todas las cubiertas posibles del espacio X (es decir, compuesto por elementos base ) que no permiten una subcubierta finita está inductivamente ordenado y no vacío, por lo que se le aplica el lema de Zorn . Por lo tanto, existe una cobertura máxima (no expandible) de este tipo. Los elementos de la prebase contenidos en ella no forman una cubierta del espacio X, por tanto, algún punto está cubierto por el elemento de la base , pero la cubierta no contiene ninguno de los elementos de la prebase . ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {P}}$ $P_{1}\cap P_{2}\cap \ldots \cap P_{n}$ $P_{1},P_{2},\ldots,P_{n}$

Además, se utiliza la cobertura máxima considerada. Después de agregarle el conjunto , podemos extraer la subcubierta final. Combinando todas estas subcubiertas, quitando conjuntos de ellas y sumando el conjunto , obtenemos una cubierta finita del espacio X, que es una subcubierta de la cubierta original. Una contradicción (la cubierta original no permitía subcubiertas finitas) prueba el teorema. $Pi}$ $P_{1},P_{2},\ldots,P_{n}$ $P_{1}\cap P_{2}\cap \ldots \cap P_{n}$

Se puede obtener una prueba fácil del teorema de Alexander usando el siguiente criterio de compacidad: un espacio topológico es compacto si y solo si cada ultrafiltro en el conjunto tiene al menos un límite $X$ $X$ [3] .

El teorema de Alexander es teórico de la red (porque está formulado en términos de las propiedades de una familia de subconjuntos abiertos de un espacio topológico que es una red distributiva completa) y permite varias generalizaciones a clases especiales de conjuntos parcialmente ordenados [4] [5] [6] .

Notas

↑ A menudo también llamado lema de Alexander (pre-base) .
↑ Alexander JW Conjuntos ordenados, complejos y el problema de las compactaciones. — Proc. Nat. Academia ciencia USA 25 (1939), págs. 296-298. ( artículo original ).
↑ Diagrama de tal prueba. Sea una subbase del espacio tal que cualquier cubierta del espacio por sus elementos contiene una subcubierta finita. Sea un ultrafiltro encendido , que no tiene límites. Entonces cada punto tiene un barrio que pertenece a la familia y no pertenece a . Por tanto, hay un cubrimiento del espacio por elementos de la familia , ninguno de los cuales pertenece al ultrafiltro . A partir de esta cubierta, se puede elegir una subcubierta finita . Entonces , pero ningún elemento de la familia finita pertenece al filtro , lo que contradice su maximalidad. ${\mathfrak {P}}$ $X$ $X$ ${\ matemáticas {F}}$ $X$ $x\en X$ ${\mathfrak {P}}$ ${\ matemáticas {F}}$ $X$ ${\mathfrak {P}}$ ${\ matemáticas {F}}$ ${\mathfrak {A}}$ $X=\bigcup {\mathfrak {A}}\in {\mathcal {F}}$ ${\mathfrak {A}}$ ${\ matemáticas {F}}$
↑ Abian A. Una generalización de orden parcial del teorema de la subbase de Alexander Archivado el 19 de enero de 2022 en Wayback Machine . — Rand. Circ. Estera. Palermo 38 (1989), págs. 271-276.
↑ Erné M. Semidistributivity, prime ideals and the subbase lemma Archivado el 19 de enero de 2022 en Wayback Machine . — Rand. Circ. Estera. Palermo 41 (1991) núm. 2, págs. 241-250.
↑ Roy y Mukherjee introdujeron un tipo especial de compacidad definida en términos de celosías (parrillas) de Choquet y probaron análogos de la prebase de Alexander y los teoremas de compacidad de Tikhonov para ello: véase B. Roy, MN Mukherjee. En un tipo de compacidad a través de parrillas . Archivado el 19 de febrero de 2014 en Wayback Machine . — Matem. Vesn. 59 (2007), núm. 3, págs. 113-120.

Literatura

Engelking, R. Topología general / Per. del inglés - M . : Mir, 1986. - Problema 3.12.2 (pág. 331)