Teorema de Thales sobre segmentos proporcionales

El teorema de Tales es un teorema de planimetría sobre un conjunto de secantes paralelas a un par de líneas.

Formulaciones

Si en una de las dos rectas se separan varios segmentos sucesivamente iguales y por sus extremos se trazan líneas paralelas que cortan la segunda recta, entonces cortarán segmentos iguales entre sí en la segunda recta.

Una formulación más general, también llamada teorema del segmento proporcional

Las secantes paralelas forman segmentos proporcionales en líneas rectas :

{\ fracción {A_{1}A_{2}}{B_{1}B_{2}}}={\ fracción {A_{2}A_{3}}{B_{2}B_{3}}}= {\frac {A_{1}A_{3}}{B_{1}B_{3}}}.

Notas

No hay restricciones sobre la disposición mutua de las secantes en el teorema (es cierto tanto para las líneas que se cortan como para las paralelas). Tampoco importa dónde están los segmentos de línea.

El teorema de Thales es un caso especial del teorema de los segmentos proporcionales, ya que los segmentos iguales pueden considerarse segmentos proporcionales con un coeficiente de proporcionalidad igual a 1.

Prueba en el caso de líneas no paralelas

Considere una variante con pares de segmentos no conectados: deje que el ángulo se interseque con líneas rectas y al mismo tiempo . $AA_{1}||BB_{1}||CC_{1}||DD_{1}$ $AB=CD$

Dibuja puntos y líneas rectas paralelas al otro lado del ángulo. y . Según la propiedad del paralelogramo: y . $A$ $C$ $AB_{2}B_{1}A_{1}$ $CD_{2}D_{1}C_{1}$ $AB_{2}=A_{1}B_{1}$ $CD_{2}=C_{1}D_{1}$
Triángulos y son iguales sobre la base de la segunda prueba para la igualdad de triángulos $\bigtriangleup ABB_{2}$ $\bigtriangleup CDD_{2}$

Prueba en el caso de rectas paralelas

Dibujemos una línea BC . Los ángulos ABC y BCD son iguales como cruces interiores situadas bajo las paralelas AB y CD y secante BC , y los ángulos ACB y CBD son iguales como cruces interiores situadas bajo las paralelas AC y BD y secante BC . Entonces, según el segundo criterio de igualdad de triángulos, los triángulos ABC y DCB son congruentes. Se sigue que AC = BD y AB = CD . ■

Historia

Este teorema se atribuye al matemático y filósofo griego Tales de Mileto . Según la leyenda, Tales de Mileto calculó la altura de la pirámide de Keops midiendo la longitud de su sombra en el suelo y la longitud de la sombra de un palo de altura conocida. La prueba escrita más antigua conocida de este teorema se da en los Principia de Euclides (Proposición 2 del Libro VI).

Variaciones y generalizaciones

Teorema de la inversa

Si en el teorema de Thales, los segmentos iguales comienzan desde el vértice (esta formulación se usa a menudo en la literatura escolar), entonces el teorema inverso también resultará ser cierto. Para secantes que se cortan, se formula de la siguiente manera:

Si las líneas que se cruzan con otras dos líneas (paralelas o no) cortan segmentos iguales (o proporcionales) en ambas, comenzando desde el vértice, entonces tales líneas son paralelas.

Así (ver Fig.) del hecho de que , se sigue que . ${\frac {CB_{1}}{CA_{1}}}={\frac {B_{1}B_{2}}{A_{1}A_{2}}}=\ldots$ $A_{1}B_{1}||A_{2}B_{2}||\ldots$

Si las secantes son paralelas, entonces es necesario exigir que los segmentos de ambas secantes sean iguales entre sí; de lo contrario, esta afirmación se vuelve falsa (un contraejemplo es un trapezoide intersectado por una línea que pasa por los puntos medios de las bases).

Este teorema se usa en navegación: una colisión de barcos que se mueven a una velocidad constante es inevitable si se mantiene la dirección de un barco a otro.

Lema de Sollertinsky

El siguiente enunciado es dual al lema de Sollertinsky :

Sea una correspondencia proyectiva entre los puntos de la recta y la recta . Entonces el conjunto de líneas será el conjunto de tangentes a alguna sección cónica (posiblemente degenerada) . $F$ $yo$ $metro$ $Xf(X)$

En el caso del teorema de Tales, la cónica será un punto en el infinito correspondiente a la dirección de las paralelas.

Este enunciado, a su vez, es un caso límite del siguiente enunciado:

Sea una transformación proyectiva de una cónica. Entonces la envolvente del conjunto de líneas será una cónica (posiblemente degenerada). $F$ $Xf(X)$

En la cultura

El grupo musical de comedia argentino Les Luthiers presentó una canción dedicada al teorema [1] ;

Yoshikage Kira del manga JoJo's Bizarre Adventure usó un teorema en medio de una pelea para calcular la distancia a un objetivo.

Véase también

Teorema de Thales sobre un ángulo basado en el diámetro de un círculo

Notas

↑ Les Luthiers, Teorema de Thales, Aqui Les Luthiers en YouTube

Literatura

Geometría según Kiselyov , § 188.

Atanasyan L. S. et al. Geometría 7-9. - Ed. 3er. - M. : Educación, 1992.