Altura del triángulo

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La altura de un triángulo es la perpendicular caída desde el vértice del triángulo al lado opuesto (más precisamente, a la línea que contiene el lado opuesto). Según el tipo de triángulo, la altura puede estar contenida dentro del triángulo (para un triángulo acutángulo ), coincidir con su lado (ser un cateto de un triángulo rectángulo), o pasar fuera del triángulo de un triángulo obtuso.

Propiedades

Propiedades del ortocentro

Las 3 alturas de un triángulo se cortan en 1 punto, llamado ortocentro . La prueba está abajo.
El ortocentro es isogonalmente conjugado al centro del círculo circunscrito .
El ortocentro se encuentra en la misma línea que el baricentro , el centro del círculo circunscrito y el centro del círculo de nueve puntos (ver línea de Euler ).
El ortocentro de un triángulo acutángulo es el centro de la circunferencia inscrita en su ortotriángulo .
En un triángulo acutángulo, el ortocentro se encuentra dentro del triángulo; en obtuso - fuera del triángulo; en uno rectangular, en el vértice de un ángulo recto.

Propiedades asociadas al círculo circunscrito

El centro de un círculo circunscrito a un triángulo sirve como el ortocentro de un triángulo con vértices en los puntos medios de los lados del triángulo dado. El último triángulo se llama triángulo adicional con respecto al primer triángulo.
La última propiedad se puede formular de la siguiente manera: el centro del círculo circunscrito al triángulo sirve como el ortocentro del triángulo adicional .
Los puntos simétricos al ortocentro del triángulo con respecto a sus lados se encuentran en el círculo circunscrito.
Los puntos simétricos al ortocentro del triángulo con respecto a los puntos medios de los lados también se encuentran en el círculo circunscrito y coinciden con puntos diametralmente opuestos a los vértices correspondientes.
Si O es el centro de la circunferencia circunscrita ΔABC, entonces , $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$
- $|OH| = \sqrt{9R^2-(a^2+b^2+c^2)}$ , donde es el radio del círculo circunscrito ; son las longitudes de los lados del triángulo. $R$ $a B C$
La distancia del vértice del triángulo al ortocentro es el doble de la distancia del centro de la circunferencia circunscrita al lado opuesto.
Cualquier segmento trazado desde el ortocentro hasta la intersección con el círculo circunscrito siempre es bisecado por el círculo de Euler . El ortocentro es el centro de la homotecia de estos dos círculos.
el teorema de hamilton Los tres segmentos de línea que conectan el ortocentro con los vértices del triángulo agudo lo dividen en tres triángulos que tienen el mismo círculo de Euler ( círculo de nueve puntos ) que el triángulo agudo original.
Corolarios del teorema de Hamilton :
- Tres segmentos de línea que conectan el ortocentro con los vértices de un triángulo agudo lo dividen en tres triángulos de Hamilton que tienen radios iguales de los círculos circunscritos.
- Los radios de los círculos circunscritos de los tres triángulos hamiltonianos son iguales al radio del círculo circunscrito al triángulo agudo original.

Propiedades de las alturas de un triángulo isósceles

Si en un triángulo dos alturas son iguales, entonces el triángulo es isósceles , y la tercera altura es tanto la mediana como la bisectriz del ángulo del que sale.
Lo contrario también es cierto: en un triángulo isósceles, dos alturas son iguales y la tercera altura es tanto una mediana como una bisectriz.

Propiedades de las alturas de un triángulo equilátero

teorema de viviani). Para cualquier punto P dentro de un triángulo equilátero, la suma de las perpendiculares a los tres lados es igual a la altura del triángulo. [una]

Propiedades de las alturas de un triángulo isósceles

Teorema de Viviani generalizado a cualquier punto P basado en un triángulo isósceles . La suma de las distancias desde un punto arbitrario que se encuentra en la base de un triángulo isósceles a los lados laterales (iguales) es un valor constante igual a la altura bajada al lado lateral. [2]

Propiedades de altura de un triángulo arbitrario

Se generaliza el teorema de Viviani . Si desde los extremos del más pequeño de los tres lados del triángulo para posponer en los dos lados restantes los mismos segmentos iguales a la longitud del más pequeño de los tres lados, entonces conectando los dos extremos no vértices de los segmentos pospuestos de la línea recta, obtenemos el lugar geométrico de los puntos que se encuentran dentro del triángulo. Para cualquier punto P de este lugar geométrico de los puntos dentro del triángulo, la suma de las distancias a los tres lados es una constante. [3]

Propiedades de las bases de las alturas de un triángulo

Las bases de las alturas forman el llamado ortotriángulo , que tiene sus propias propiedades.
El círculo descrito cerca del ortotriángulo es el círculo de Euler . Tres puntos medios de los lados del triángulo y tres puntos medios de los tres segmentos que conectan el ortocentro con los vértices del triángulo también se encuentran en este círculo.
Otra formulación de la última propiedad:
- Teorema de Euler para el círculo de nueve puntos . Las bases de las tres alturas de un triángulo arbitrario, los puntos medios de sus tres lados ( las bases de sus medianas internas ) y los puntos medios de los tres segmentos que conectan sus vértices con el ortocentro se encuentran todos en el mismo círculo (en el círculo de nueve puntos ).
teorema _ En cualquier triángulo, el segmento que conecta las bases de las dos alturas del triángulo corta un triángulo similar al dado.
teorema _ En un triángulo, el segmento que une las bases de dos alturas del triángulo que se encuentra sobre dos lados es antiparalelo al tercer lado, con el cual no tiene puntos comunes. Por sus dos extremos, así como por dos vértices del tercer lado mencionado, siempre es posible trazar un círculo.

Propiedades de los puntos medios de las alturas de un triángulo

El teorema de Schlömilch . En 1860, Schlömilch demostró un teorema: tres líneas que conectan los puntos medios de los lados de un triángulo con los puntos medios de sus respectivas alturas se cortan en un punto. En 1937, el matemático soviético S. I. Zetel demostró que este teorema es cierto no solo para las alturas, sino también para cualquier otro ceviano .
Otro teorema obvio . El punto medio de la altura de un triángulo siempre se encuentra en la línea media del triángulo que lo interseca.
El teorema de Rigby . Si trazamos una altura y una excircunferencia que la toca por el otro lado a cualquier lado de un triángulo acutángulo , entonces el punto de contacto de este último con este lado, el punto medio de la altura mencionada, y también el incentro están en uno línea recta. [4] .
Del teorema de Rigby se deduce que 3 segmentos que conectan el punto medio de cada una de las 3 alturas de un triángulo con el punto de contacto de un excírculo dibujado del mismo lado que la altura se cortan en el incentro .
Los puntos medios X e Y de dos alturas del triángulo ABC , así como el punto medio K del lado BC , de cuyos extremos salen estas dos alturas, así como el ortocentro H se encuentran en el mismo círculo , en el que se encuentra el quinto punto D - la base de la tercera altitud AD [5] también se encuentra .
Sea en el triángulo ABC O el centro de la circunferencia circunscrita. Deje que la línea x pase por el punto medio de la altura del triángulo, caída desde el vértice A, y sea paralela a OA. Las líneas y y z se definen de manera similar. Estas 3 líneas se cortan en un punto T, que es el centro del círculo de Taylor [6] del triángulo ABC. [7] .

Otras propiedades

Si un triángulo es escaleno ( no equilátero ), entonces su bisectriz interna dibujada desde cualquier vértice se encuentra entre la mediana interna y la altura dibujada desde el mismo vértice.
La altura de un triángulo es conjugada isogonalmente al diámetro (radio) del círculo circunscrito dibujado desde el mismo vértice.
En un triángulo acutángulo, dos de sus alturas cortan de él 2 pares de triángulos con 1 vértice común, que son semejantes.
En un triángulo rectángulo , la altura trazada desde el vértice del ángulo recto lo divide en dos triángulos semejantes al original.
Tres partes de las alturas de un triángulo acutángulo dado dentro de su ortotriángulo resultan ser tres bisectrices .

Propiedades de la altura mínima

La altura mínima de un triángulo tiene muchas propiedades extremas . Por ejemplo:

La proyección ortogonal mínima de un triángulo sobre líneas que se encuentran en el plano del triángulo tiene una longitud igual a la menor de sus alturas.
El corte recto mínimo en el plano a través del cual se puede tirar de una placa triangular inflexible debe tener una longitud igual a la menor de las alturas de esta placa.
Con el movimiento continuo de dos puntos a lo largo del perímetro del triángulo uno hacia el otro, la distancia máxima entre ellos durante el movimiento del primer encuentro al segundo no puede ser menor que la longitud de la menor de las alturas del triángulo.
La altura mínima en un triángulo siempre está dentro de ese triángulo.

Proporciones

$h_{a}=b\sin \gamma =c\sin \beta =a\,{\frac {\sin \beta \cdot \sin \gamma }{\sin(\beta +\gamma )))$
$h_{a}={\frac{2S}{a}},$ donde es el área del triángulo, es la longitud del lado del triángulo sobre el que se baja la altura . $S$ $a$
$h_{a}^{2}={\frac {1}{2}}(b^{2}+c^{2}-{\frac {1}{2}}(a^{2 }+{\frac{(b^{2}-c^{2})^{2}}{a^{2}}}))$
$h_{a}^{2}={\frac {1}{4a^{2}}}(a+b+c)(a+bc)(ab+c)(-a+b +c)$
$h_{a}={\frac{bc}{2R)),$ donde es el producto de los lados, es el radio de la circunferencia circunscrita $antes de Cristo$ $R$
$h_{a}:h_{b}:h_{c}={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}} =bc:ac:ab$
${\frac 1{h_{a))}+{\frac 1{h_{b))}+{\frac 1{h_{c))}={\frac {1}{r))$ , donde es el radio de la circunferencia inscrita . $r$
$S={\frac {1}{\sqrt {({\frac {1}{h_{a))}+{\frac {1}{h_{b))}+{\frac {1} {h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1}{h_ { c}}}){\cdot}({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{b} } }){\cdot }({\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{a}}}) } }}$ donde es el area del triangulo. $S$
$a={\frac {2}{h_{a}{\cdot }{\sqrt {({\frac {1}{h_{a))}+{\frac {1}{h_{b} }}+{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}- {\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{b}}}){\cdot}({\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1} {decir ah}}})}}}}}$ , es el lado del triángulo al que desciende la altura . $a$ $decir ah}$
La altura de un triángulo isósceles bajado a la base: $h_{c}={\frac{1}{2}}{\sqrt {4a^{2}-c^{2}}},$

donde es la base y es el lado.

C

a

$h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a$ es la altura de un triángulo equilátero de lado . $a$

Teorema sobre un punto arbitrario dentro de un triángulo

Teorema sobre un punto arbitrario dentro de un triángulo . Si p a , p b y p c son las distancias (segmentos perpendiculares) desde cualquier punto P del triángulo a sus tres lados, y h a , h b y h c son las longitudes de las alturas rebajadas a los lados correspondientes (a , b y c), luego [8]

{\frac {p_{a}}{h_{a}}}+{\frac {p_{b}}{h_{b}}}+{\frac {p_{c}}{h_{c }}}=1.

Corolario del teorema . Si el punto P es el incentro del triángulo dado, entonces p a = p b = p c = . Entonces del último teorema tenemos: $r$

{\frac 1{h_{a))}+{\frac 1{h_{b))}+{\frac 1{h_{c))}={\frac {1}{r))

, donde es el radio de la circunferencia inscrita .

r

Teorema de tres cevianos arbitrarios dentro de un triángulo, uno de los cuales es la altura

teorema _ Si dos cevianas arbitrarias (no necesariamente dos alturas) dentro de un triángulo acutángulo se cortan en un punto de la tercera ceviana, que es la altura de este triángulo, entonces la altura misma es la bisectriz del ángulo formado por los dos segmentos de línea dibujados desde la base de la altura indicada hasta las dos bases de los cevianos indicados (hasta dos puntos de intersección de los dos cevianos señalados con lados). [9]

Teorema sobre un punto de altura arbitraria

El teorema del punto de altura arbitraria . Si E es un punto arbitrario a la altura AD de cualquier triángulo ABC , entonces [10] :77–78

AC^{2}+EB^{2}=AB^{2}+CE^{2}.

Teoremas sobre las alturas de un triángulo rectángulo

Teorema de Pitágoras inverso

En un triángulo rectángulo 3, las alturas ha , h b y h c ( las 2 primeras de las cuales son iguales a las longitudes de los lados b y a respectivamente en este triángulo) están relacionadas por la relación, según [ 11] [12]

{\frac {1}{h_{a}^{2}}}+{\frac {1}{h_{b}^{2}}}={\frac {1}{h_{c} ^{2}}}.

Esta relación se conoce como el teorema inverso de Pitágoras.).

Teorema de la altura de un triángulo rectángulo

Si la altura en un triángulo rectángulo con longitud dibujada desde el vértice del ángulo recto divide la hipotenusa con longitud en segmentos y correspondientes a los catetos y , entonces se cumplen las siguientes igualdades: $A B C$ $h$ $C$ $metro$ $norte$ $b$ $a$

$h^{2}=mn$
$a^{2}=cn$ ; $b^{2}=cm$
$ch=ab$

El teorema de la proyección

Ver pág. 51, f. (1.11-4) [13] . El teorema de la proyección: . Del teorema de la proyección se sigue que la altura omitida, por ejemplo, del vértice divide el lado opuesto en dos partes y , contando desde el vértice hasta . $c=a\cos \beta +b\cos \alpha ;\ a=b\cos \gamma +c\cos \beta ;\ b=c\cos \alpha +a\cos \gamma$ $C$ $C$ $a\cos \beta$ $b\cos \alpha$ $A$ $B$

Historia

La afirmación: "Las 3 alturas de un triángulo se cortan en un punto", ahora llamado ortocentro , no se encuentra en los Elementos de Euclides . Algunos historiadores atribuyen esta afirmación a Arquímedes y la llaman teorema de Arquímedes [14] . El ortocentro se utilizó por primera vez en las matemáticas griegas en el Libro de Lemas de Arquímedes, aunque Arquímedes no proporcionó una prueba explícita de la existencia del ortocentro.
De forma indirecta y explícita, esta afirmación ("Las 3 alturas de un triángulo se cortan en un punto") se encuentra en Proclo (410-485) - el comentarista de Euclides [15] .
Sin embargo, hasta mediados del siglo XIX, el ortocentro a menudo se denominaba punto de Arquímedes [16] .
Otros historiadores de las matemáticas consideran a William Chapple (agrimensor) como el autor de la primera demostración.) ( Miscelánea Curiosa Mathematica , 1749) [17] .
El término ortocentro en sí mismo fue utilizado por primera vez por W. H. Besant ( WH Besant) en "Secciones cónicas investigadas geométricamente (1869)" ( [18] ) [19] .

Dos componentes de altura: altura previa y altura posterior [20]

En la fig. a la derecha en el triángulo ABC por el punto O se dibujan 3 alturas: AD , BE y CF. Entonces el punto de intersección O de 3 alturas divide cada altura en 2 segmentos de recta, uno de ellos (que comienza en el vértice y termina en el punto de intersección O ) lo llamaremos upheight o preheight , y el segundo de ellos (que comienza en el punto de intersección O , y termina en el punto de su intersección con el lado opuesto al vértice) llamaremos postaltitud .
Estos 2 términos se introducen por analogía con los operadores de bucle , teniendo en cuenta su representación en diagramas de flujo en informática. Hay conceptos de ciclo, respectivamente, con una condición previa y posterior , dependiendo de si esta condición es anterior o posterior al cuerpo del ciclo. En nuestro caso, el cuerpo del bucle es el punto O de la intersección de alturas, y la condición es el primer o segundo extremo del segmento introducido como concepto para una de las dos partes de la altura.
Con la ayuda de estos 2 conceptos, algunos teoremas de geometría se formulan de manera bastante simple.

Por ejemplo, en cualquier triángulo (agudo, rectángulo y obtuso) los 3 productos de las alturas anterior y posterior son iguales [21] . Para triángulos agudos y rectángulos , esta afirmación se prueba fácilmente. También es cierto para cualquier triángulo obtuso, lo cual es sorprendente, ya que en tal triángulo 2 de 3 alturas ni siquiera se encuentran dentro del propio triángulo.

Comentario. En este higo. a la derecha en el triángulo ABC, las cevianas no son altitudes. En la siguiente fig. a la derecha en el triángulo ABC hay tres alturas: ${\displaystyle AH_{a},BH_{b},CH_{c))$

Variaciones sobre un tema. Alturas en un cuadrilátero

Teorema [22] . Sea - un cuadrilátero inscrito, - la base de la perpendicular ( altura ), bajada del vértice a la diagonal ; los puntos se definen de manera similar . Entonces los puntos se encuentran en el mismo círculo. $A B C D$ $A_{1}$ $A$ $BD$ ${\ estilo de visualización B_{1},C_{1},D_{1))$ ${\ estilo de visualización A_ {1}, B_ {1}, C_ {1}, D_ {1}}$

Esta afirmación es una consecuencia del lema del sexto círculo .

Notas

↑ Zetel S. I. Nueva geometría de un triángulo. Una guía para profesores. 2ª edición. M.: Uchpedgiz, 1962. S. 139, p.128, Consecuencia
↑ Zetel S. I. Nueva geometría de un triángulo. Una guía para profesores. 2ª edición. M.: Uchpedgiz, 1962. S. 138, pág. 127
↑ Zetel S. I. Nueva geometría de un triángulo. Una guía para profesores. 2ª edición. M.: Uchpedgiz, 1962. S. 137, p.126. Problema, diablos. 106
↑ Ross Honsberger . Episodios en la geometría euclidiana de los siglos XIX y XX . Washington, DC: Asociación Matemática de América, 1996, ISBN 978-0883856390 . pags. 30, Figura 34, §3. Una colinealidad improbable.
↑ Ross Honsberger . Episodios en la geometría euclidiana de los siglos XIX y XX . Washington, DC: Asociación Matemática de América, 1996, ISBN 978-0883856390 . pags. 33, figura 40, §Ejercicio 3.2
↑ Círculo de Taylor// https://deru.abcdef.wiki/wiki/Taylor-Kreis
↑ Myakishev A. Caminar en círculos: de Euler a Taylor // Matemáticas. ¡Todo para el maestro! Nº 6 (6). junio de 2011. pág. 3, tarea 2, fig. 3// https://www.geometry.ru/persons/myakishev/papers/circles.pdf
↑ Johnson, 2007 , pág. 74, artículo 103c
↑ Zetel S. I. Nueva geometría de un triángulo. 2ª ed. M.: Uchpedgiz, 1962. pág. 85, pág. 70. infierno. 62
↑ Posamentier AS, Salkind. CT Challenging Problems in Geometry , Dover Publishing Co., segunda edición revisada, 1996.
↑ Voles, Roger, "Soluciones enteras de ", Mathematical Gazette 83, julio de 1999, 269–271. $a^{{-2}}+b^{{-2}}=d^{{-2}}$
↑ Richinick, Jennifer, "El teorema de Pitágoras al revés", Mathematical Gazette 92, julio de 2008, 313–317.
↑ Korn G. A., Korn T. M. Manual de Matemáticas para Científicos e Ingenieros . - M. : " Nauka ", 1974. - 832 p.
↑ Efremov D. Nueva geometría de un triángulo. Odessa, 1902, página 9, página 16. Alturas de un triángulo. Teorema de Arquímedes.
↑ Nathan Altshiller-Court. "Geometría universitaria. Una introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo". segunda edicion. Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover, Inc. 2007. Pág. 298, §175.
↑ Maureen T. Carrol, Elyn Rykken. Geometría: La Línea y el Círculo . Fecha de acceso: 10 de abril de 2020. (indefinido)
↑ Bogomolny, Alexander, Posiblemente la primera prueba de la concurrencia de altitudes , < https://www.cut-the-knot.org/triangle/Chapple.shtml > . Consultado el 17 de noviembre de 2019. Archivado el 7 de mayo de 2021 en Wayback Machine .
↑ Secciones cónicas tratadas geométricamente, 1869. Ref: 1895: Secciones cónicas tratadas geométricamente . Archivado el 18 de abril de 2018 en la Wayback Machine de las monografías históricas de matemáticas de la Universidad de Cornell.
↑ Nathan Altshiller-Court. "Geometría universitaria. Una introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo". segunda edicion. Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover, Inc. 2007. Pág. 298, §176
↑ Starikov V. N. 10º Estudio de Geometría (§ Pre-(pre-)- y Post-Cevianos). Revista electrónica científica revisada por pares de MSAU "Ciencia y Educación". 2020. No. 1. 7 p.// http://opusmgau.ru/index.php/see/article/view/1604 Copia de archivo fechada el 29 de junio de 2020 en Wayback Machine
↑ Nathan Altshiller-Court. "Geometría universitaria. Una introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo". segunda edicion. Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover, Inc. 2007. Pág. 94, §177. Teorema.
↑ En torno al problema de Arquímedes. Ex. 7, figura. 11, corolario, pág. 5 Archivado el 29 de abril de 2016 en Wayback Machine .

Literatura

Johnson, Roger A. Geometría euclidiana avanzada. - Dover, 2007. - ISBN 978-0-486-46237-0 .

Enlaces

Directorio: Triángulos

Véase también

Triángulo
tipos de triangulos	Rectangular Isósceles Equilátero Isósceles rectangular
Líneas maravillosas en un triángulo .	Mediana Altura Bisectriz medioperpendicular linea intermedia Circunferencias circunscritas e inscritas recta de simson línea de Euler Simediana Cheviana
Puntos notables del triángulo.	Ortocentro Centroide En el centro punto brocard punto de vecten Punta Gergonne punto limón punto miquel punto de Nagel puntos napoleón Puntos de Torricelli Centro del círculo de nueve puntos Centro Spieker Enciclopedia de Centros de Triángulos
Teoremas básicos	desigualdad triangular Signos de semejanza de triángulos resolver triángulos Teorema del ángulo exterior del triángulo Teorema de la suma de los ángulos del triángulo Teorema de pitágoras teorema del coseno teorema del seno El teorema de la proyección fórmula de garza
Teoremas adicionales	teorema de van obel Teorema de Menelao Teorema de Reuschle (Terkema) teorema de Stewart Teorema de la tangente teorema de la cotangente teorema de ceva Fórmulas de Mollweide
generalizaciones	triángulo esférico triángulo hiperbólico símplex