Teorema de Fenchel-Moro

El teorema de Fenchel-Moro  es una condición necesaria y suficiente para que una función de valor real sea igual a su conjugado doble convexo . Además, para cualquier función es cierto que [1] [2] .

La afirmación puede verse como una generalización del teorema bipolar [1] . Se utiliza en la teoría de la dualidad para demostrar una fuerte dualidad (a través de la función de perturbación ).

El teorema fue probado para el caso de dimensión finita por Werner Fenchel en 1949 y para el caso de dimensión infinita por Jean-Jacques Moreau en 1960 [3] .

Enunciado del teorema

Sea un espacio localmente convexo de Hausdorff . Para cualquier función con valores en la línea real extendida , se sigue que , donde  es el conjugado convexo de , si y solo si se cumple una de las siguientes condiciones:

  1. es una función convexa propia semicontinua inferior y una función convexa ,
  2. , o
  3. [1] [4] [5] .

En una formulación geométrica , el teorema establece que una condición necesaria y suficiente para que el epígrafe de una función sea la intersección de los epígrafes de funciones afines es la convexidad y clausura de esta función [3] .

Notas

  1. ↑ 1 2 3 Borwein y Lewis, 2006 , pág. 76–77.
  2. ↑ Zălinescu, 2002 , pág. 75–79.
  3. ↑ 1 2 Tikhomirov V. La geometría de la convexidad // Kvant. - 2003. - Nº 4.
  4. ↑ Lai, Lin, 1988 , pág. 85–90.
  5. ↑ Koshi, Komuro, 1983 , pág. 178–181.

Literatura