Teorema de la pelota de tenis

El teorema de la pelota de tenis establece que una curva suave en la superficie de una esfera que divide su área en dos partes iguales tiene al menos cuatro puntos de inflexión . El nombre del teorema proviene de la forma estándar de la pelota de tenis , donde la costura forma una curva que satisface las condiciones del teorema.

Historia

Bajo este nombre, el teorema aparece en el libro de 1994 de Vladimir Igorevich Arnold [1] , pero el resultado fue probado antes; en 1968 por Beniamino Segre [2] , y en 1977 por Joel L. Weiner [3] .

Acerca de la evidencia

La prueba estándar se basa en el hecho de que una curva con menos puntos de inflexión se encuentra en un hemisferio y, por lo tanto, no puede limitar la mitad de su área.

También encontramos una prueba usando un flujo de manteca .

Variaciones y generalizaciones

• El teorema se aplica a cualquier curva suave simple en una esfera que no esté contenida en un hemisferio cerrado.
• Si adicionalmente requerimos que una curva en una esfera sea centralmente simétrica , debe tener al menos seis puntos.
• También un análogo del teorema de August Möbius , que todas las curvas suaves contráctiles en el plano proyectivo tienen al menos tres puntos de inflexión.
• Este teorema es análogo al teorema de los cuatro vértices , que cualquier curva cerrada simple suave en el plano tiene cuatro vértices (extremos de curvatura).

Notas

1. ↑ Arnold, VI Invariantes topológicos de curvas planas y cáusticas. 1994. ISBN: 0-8218-0308-5
2. ↑ Segre, Beniamino (1968), "Alcune proprietà differenziali in grande delle curve chiuse sghembe", Rendiconti di Matematica, 1: 237–297
3. ↑ Weiner, Joel L. (1977), "Propiedades globales de las curvas esféricas", Journal of Differential Geometry, 12 (3): 425–434

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