El lema del tridente

El lema del tridente , también llamado lema del trébol y lema de Mansion , es un teorema en geometría triangular relacionado con las propiedades del incírculo , excírculo y circuncírculo de un triángulo .

El lema del tridente se utiliza como enunciado auxiliar para probar muchos teoremas, en particular la fórmula de Euler o probar la existencia del círculo de Euler .

El nombre "Lema de Mansion" se le dio en honor al matemático belga Paul Mansion . El nombre de “lema tridente” se le dio debido a la similitud con el arma del mismo nombre de la construcción clave para el lema (rojo en las figuras a continuación).

Redacción

Sea el punto del triángulo el centro de la circunferencia inscrita , el punto el centro de la circunferencia excéntrica opuesto al vértice y el punto el punto de intersección del segmento con el arco de la circunferencia circunscrita (ver a la derecha). Entonces el punto es equidistante de , y . $A B C$ $yo$ $I a}$ $A$ $L$ ${\ Displaystyle II_ {a}}$ $L$ $yo$ $I a}$ $B$ $C$

Las versiones particulares de esta declaración tienen varios nombres.

Teorema de Mansion [1] : equidistante de y . $L$ $yo$ $I a}$
El lema del trébol [2] , o el lema del tridente [3] , o el lema de Mansion [4] : equidistante de , y . $L$ $yo$ $B$ $C$
El lema del tridente [5] : equidistante de , y . $L$ $yo$ $I a}$ $B$ $C$

Otra opción para especificar un punto es como el centro de un arco del círculo circunscrito que no contiene un punto [4] . $L$ $antes de Cristo$ $A$

Prueba

Por queremos decir ángulos, respectivamente. Si el rayo corta el círculo circunscrito en un punto , entonces es el punto medio del arco , el segmento es la bisectriz del ángulo . Dibujando un segmento de línea , notamos que ${\ estilo de visualización \ ángulo A, \ ángulo B}$ ${\ estilo de visualización \ ángulo BAC, \ ángulo ABC}$ ${\ estilo de visualización IA}$ $L$ $L$ $antes de Cristo$ ${\ estilo de visualización AL}$ ${\ estilo de visualización \ ángulo A}$ ${\ estilo de visualización BI}$

\angle BIL=\angle A/2+\angle B/2,

porque exterior al triángulo también ${\ estilo de visualización \ ángulo BIL}$ ${\ estilo de visualización \ triángulo AIB}$

\angle LBI=\angle LBC+\angle CBI=\angle A/2+\angle B/2,

porque y son iguales, ya que se basan en el mismo arco .

{\ estilo de visualización \ ángulo LBC}

\angle LAC=\angle A/2

{\ estilo de visualización LC}

Esto significa que el triángulo es isósceles, es decir, la igualdad se sigue del hecho de que el mismo ángulo descansa en ambas cuerdas . Por lo tanto, ${\ estilo de visualización \ triángulo BLI}$ ${\ estilo de visualización BL = LI.}$ ${\ estilo de visualización CL = BL}$ ${\ estilo de visualización \ ángulo A/2.}$ $BL=LI=LC.$

Eso lo hemos demostrado . Ahora demostremos que el "mango" del tridente es igual al mismo valor. ${\ estilo de visualización BL = LI = LC}$ $LI_{a}$

Extendemos el lado más allá de un punto y tomamos un punto en algún lugar de esta extensión . Por queremos decir por queremos decir el ángulo $AB$ $B$ $mi$ ${\ estilo de visualización \ ángulo A}$ ${\ estilo de visualización \ ángulo BAC,}$ ${\ estilo de visualización \ ángulo B}$ $\angle EBC=180^{\circ }-\angle ABC.$

Entonces necesitamos entender que el triángulo es isósceles, es decir, que . ${\ estilo de visualización \ triángulo BLI_ {a}}$ $\ángulo LBI_{a}=\ángulo LI_{a}B$

Un lado,

\angle LBI_{a}=\angle B/2-\angle A/2

\ángulo EBI_{a}=\ángulo A/2+\ángulo BI_{a}A

desde el exterior en el triángulo: es decir,

{\ estilo de visualización \ ángulo EBI_ {a}}

\triángulo BI_{a}A,

\ángulo B/2-\ángulo A/2=\ángulo BI_{a}A

Variaciones y generalizaciones

El lema del tridente para dos centros de excírculos (el lema del tridente "exterior")

Conexión con el círculo de Euler

Mediante el lema del tridente se puede probar la existencia del círculo de Euler .

Considere un triángulo acutángulo ABC. Tenga en cuenta que los cuadriláteros , , están inscritos (Fig. 1). Por lo tanto, los ángulos son iguales (Fig. 2). ${\ Displaystyle AH_ {c} HH_ {b}}$ ${\displaystyle BH_{c}HH_{a))$ $H_{b}HH_{a}C$ ${\displaystyle \measuredangle HH_{b}H_{c}=\measuredangle HAH_{c}=\measuredangle HCH_{a}=\measuredangle HH_{b}H_{a))$

De esto se deduce que es la bisectriz del triángulo . Por razones completamente similares, y también bisectrices en este triángulo (Fig. 3). También puedes notar que son las bisectrices exteriores del triángulo (porque cada una de ellas es perpendicular a su bisectriz interior). Por tanto, podemos aplicar el lema del tridente tres veces, para cada uno de los lados (Figura 4). $H_{b}H$ ${\displaystyle \triángulo H_{c}H_{b}H_{a))$ $H_{a}H$ $H_{c}H$ ${\ estilo de visualización AB,}$ ${\ estilo de visualización BC,}$ $CA$ ${\displaystyle \triángulo H_{c}H_{b}H_{a))$

De esto obtenemos que los puntos medios de los segmentos se encuentran en un círculo circunscrito alrededor de un ortotriángulo . Ahora aplicamos el lema del tridente exterior tres veces (Figura 5). ${\ estilo de visualización HA, HB, HC}$

Obtenemos que los puntos medios de los lados se encuentran en un círculo circunscrito a un ortotriángulo. ${\ estilo de visualización AB, BC, CA}$

Nota

Para probar la existencia del círculo de Euler para un triángulo obtuso con un ángulo obtuso , basta considerar un triángulo acutángulo con ortocentro y aplicarle el mismo razonamiento. ${\ estilo de visualización ABC}$ $A$ ${\ Displaystyle BCH}$ $A$

Véase también

Notas

↑ Problema 52395 Copia de archivo fechada el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine // "El sistema de problemas en la geometría de R. K. Gordin"
↑ R. K. Gordin. Teoremas y problemas de geometría escolar. Niveles básico y de perfil. - 3ra ed. - MTSNMO, 2018. - Pág. 43. - ISBN 978-5-4439-2681-0 .
↑ Akopyan A. V. Geometría en imágenes .
↑ 1 2 Emelyanov L. A. Schiffler punto: en memoria de I. F. Sharygin . - Matemáticas en la escuela, 2006. - Nº 6 . - S. 58-60 . — ISSN 0130-9358 .
↑ R. N. Karasev. Tareas para el círculo matemático escolar / R. N. Karasev, V. L. Dolnikov, I. I. Bogdanov, A. V. Akopyan. - Pág. 4.