Círculo inscrito

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Se dice que un círculo está inscrito en un ángulo si está dentro del ángulo y toca sus lados. El centro de un círculo inscrito en un ángulo se encuentra en la bisectriz de ese ángulo.

Se dice que un círculo está inscrito en un polígono convexo si está dentro del polígono dado y toca todos sus lados.

En un polígono

Si un círculo se puede inscribir en un polígono convexo dado, entonces las bisectrices de todos los ángulos interiores del polígono dado se cortan en un punto, que es el centro del círculo inscrito.

El radio de un círculo inscrito en un polígono es igual a la razón de su área a su semiperímetro : $S$ $pags$

r={\frac{S}{p}}

En el triangulo

Propiedades del círculo inscrito:

Cada triángulo se puede inscribir con un círculo, y solo uno.
El centro de la circunferencia inscrita equidista de todos los lados y es el punto de intersección de las bisectrices del triángulo. $yo$
El radio de una circunferencia inscrita en un triangulo es: $r$

r={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)}{4(a+b+c)))};

{\ fracción {1}{r}}={\ fracción {1}{h_{a}}}+{\ fracción {1}{h_{b}}}+{\ fracción {1}{h_{c} }}

donde son los lados del triángulo, son las alturas dibujadas a los lados correspondientes [1] ; $a B C$ $h_{a},h_{b},h_{c}$

r={\frac {S}{p}}={\sqrt {{\frac {(pa)(pb)(pc)}{p}}}}

donde es el área del triángulo y es su semiperímetro.

S

pags

r={\frac {pa}{\operatorname {ctg} (\alpha /2)))={\frac {pb}{\operatorname {ctg} (\beta /2)))={\frac {pc}{\nombre del operador {ctg} (\gamma /2)}}

, es el semiperímetro del triángulo ( teorema de la cotangente ).

pags

Si es la base de un triángulo isósceles , entonces la circunferencia es tangente a los lados del ángulo en los puntos y pasa por el centro de la circunferencia inscrita del triángulo . $AB$ $\triángulo ABC$ $\ángulo ACB$ $A$ $B$ $\triángulo ABC$
Teorema de Euler : , donde es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo, es el radio de la circunferencia inscrita en él, es el centro de la circunferencia circunscrita, es el centro de la circunferencia inscrita . $R^{2}-2Rr=|OI|^{2}$ $R$ $r$ $O$ $yo$
Si la recta que pasa por el punto I paralela al lado corta los lados y en los puntos y , entonces . $AB$ $antes de Cristo$ $California$ $A_{1}$ $B_1$ $A_{1}B_{1}=A_{1}B+AB_{1}$
Si los puntos de contacto de un círculo inscrito en un triángulo con sus lados están conectados por segmentos, entonces se obtendrá un triángulo con las propiedades: $T$ $T_{1}$
- Las bisectrices de T son bisectrices perpendiculares de T 1
- Sea T 2 un ortotriángulo T 1 . Entonces sus lados son paralelos a los lados del triángulo original T.
- Sea T 3 el triángulo medio de T 1 . Entonces las bisectrices de T son las alturas de T 3 .
- Sea T 4 un ortotriángulo de T 3 , entonces las bisectrices de T son las bisectrices de T 4 .
El radio de la circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo de catetos a , b e hipotenusa c es igual a . ${\frac{a+bc}{2}}={\frac{ab}{a+b+c}}$
La distancia desde el vértice C del triángulo hasta el punto donde la circunferencia inscrita toca el lado es . $d={\frac{a+bc}{2}}=pc$
La distancia del vértice C al centro de la circunferencia inscrita es , donde es el radio de la circunferencia inscrita y γ es el ángulo del vértice C . $l_{c}={\frac{r}{\sin({\frac {\gamma}{2))))}$ $r$
La distancia desde el vértice C al centro del círculo inscrito también se puede encontrar usando las fórmulas y $l_{c}={\raíz cuadrada {(pc)^{2}+r^{2))}$ $l_{c}={\raíz cuadrada {ab-4Rr))$
Teorema del tridente o teorema del trébol : Si D es el punto de intersección de la bisectriz del ángulo A con la circunferencia circunscrita del triángulo ABC , I y J son los centros de la tangente inscrita y excircunferencia al lado BC , respectivamente , entonces . $|DI|=|DB|=|DC|=|DJ|$

Lema de Verrier [2] [3] : que el círculo toque los lados , y el arco del círculo circunscrito del triángulo . Entonces los puntos de tangencia de la circunferencia con los lados y el centro de la circunferencia inscrita del triángulo están sobre la misma recta. $V$ $AB$ $C.A.$ $antes de Cristo$ $A B C$ $V$ $A B C$

El teorema de Feuerbach . El círculo de nueve puntos toca los tres círculos exteriores , así como el círculo inscrito . El punto de tangencia entre la circunferencia de Euler y la circunferencia inscrita se conoce como punto de Feuerbach .

Relación entre círculos inscritos y circunscritos

Fórmula de Euler : Si - la distancia entre los centros de los círculos inscritos y circunscritos, y sus radios son iguales y respectivamente, entonces . $d$ $r$ $R$ $d^{2}=R^{2}-2Rr$
Fórmulas para razón y producto de radios:

{\frac {r}{R}}={\frac {4S^{2}}{pabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;

[cuatro]

2Rr={\frac{abc}{a+b+c}}

{\frac {r}{R}}=4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2} }=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1

donde es el medio perímetro del triángulo y es su área. $pags$ $S$

Las perpendiculares elevadas a los lados del triángulo en los puntos de contacto de las excircunferencias se cortan en un punto. Este punto es simétrico al centro de la circunferencia inscrita con respecto al centro de la circunferencia circunscrita [5] .

Para un triángulo, se puede construir un círculo semi-inscrito o un círculo de Varière . Es una circunferencia tangente a dos lados de un triángulo y su circunferencia interior. Los segmentos que conectan los vértices del triángulo y los correspondientes puntos de contacto de los círculos de Verrier con el círculo circunscrito se cortan en un punto. Este punto sirve como centro de una homotecia con coeficiente positivo que lleva la circunferencia circunscrita a la inscrita .
El centro de la circunferencia inscrita se encuentra en el segmento que une los puntos de contacto de los lados del triángulo y la circunferencia semiinscrita.

Relación entre el centro de la circunferencia inscrita y los puntos medios de las alturas de un triángulo

El teorema de Rigby . Si trazamos una altura y una excircunferencia que la toca por el otro lado a cualquier lado de un triángulo acutángulo , entonces el punto de contacto de este último con este lado, el punto medio de la altura mencionada, y también el incentro están en uno línea recta. [6] .
Del teorema de Rigby se deduce que 3 segmentos que conectan el punto medio de cada una de las 3 alturas de un triángulo con el punto de contacto de un excírculo dibujado del mismo lado que la altura se cortan en el incentro .

En un cuadrilátero

El cuadrilátero descrito , si no tiene autointersecciones ("simples"), debe ser convexo .
Algunos (pero no todos) los cuadriláteros tienen un círculo inscrito. Se llaman cuadriláteros circunscritos . Entre las propiedades de estos cuadriláteros, la más importante es que las sumas de los lados opuestos son iguales. Esta declaración se llama el teorema de Pitot .
En otras palabras, un círculo se puede inscribir en un cuadrilátero convexo ABCD si y solo si las sumas de sus lados opuestos son iguales: . $AB+CD=BC+AD$

En cualquier cuadrilátero circunscrito , los dos puntos medios de las diagonales y el centro del círculo inscrito se encuentran en la misma línea recta ( teorema de Newton ). En él se encuentra el medio del segmento con extremos en los puntos de intersección de las continuaciones de los lados opuestos del cuadrilátero (si no son paralelos). Esta recta se llama recta de Newton . En la figura, es verde, las diagonales son rojas, el segmento que termina en los puntos de intersección de las continuaciones de los lados opuestos del cuadrilátero también es rojo.
El centro del círculo circunscrito al cuadrilátero es el punto de intersección de las alturas del triángulo con los vértices en el punto de intersección de las diagonales y los puntos de intersección de los lados opuestos ( teorema de Brocard ).

En un triángulo esférico

La circunferencia inscrita de un triángulo esférico es la circunferencia tangente a todos sus lados.

La tangente del radio [7] de una circunferencia inscrita en un triángulo esférico es [8] :73-74

{\displaystyle \operatorname {tg} r={\sqrt {\frac {\sin(pa)\sin(pb)\sin(pc)}{\sin p))))

Un círculo inscrito en un triángulo esférico pertenece a la esfera. El radio trazado desde el centro de la esfera a través del centro del círculo inscrito cortará la esfera en el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos (arcos de grandes círculos de la esfera que dividen los ángulos por la mitad) de un triángulo esférico [8] :20-21 .

Generalizaciones

Una esfera inscrita es una esfera que toca todas las caras de un poliedro .
Una elipse de Steiner es una elipse inscrita en un triángulo.

Véase también

Notas

↑ Altshiller-Court, 1925 , pág. 79.
↑ Efremov D. Nueva geometría de un triángulo . - Odessa, 1902. - S. 130. - 334 p.
↑ Efremov D. Nueva geometría de un triángulo. ed. 2. Serie: Patrimonio Físico y Matemático (reproducción reimpresión de la edición). . - Moscú: Lenand, 2015. - 352 p. - ISBN 978-5-9710-2186-5 .
↑ Longuet-Higgins, Michael S., "Sobre la razón del inradio al circunradio de un triángulo", Mathematical Gazette 87, marzo de 2003, 119-120.
↑ Myakishev A. G. Elementos de la geometría de un triángulo. Serie: “Biblioteca “Educación Matemática””. M.: MTsNMO, 2002. p. 11, artículo 5
↑ Ross Honsberger . Episodios en la geometría euclidiana de los siglos XIX y XX . Washington, DC: Asociación Matemática de América, 1996, ISBN 978-0883856390 . pags. 30, Figura 34, §3. Una colinealidad improbable.
↑ Aquí el radio del círculo se mide a lo largo de la esfera, es decir, es la medida en grados del gran arco circular que conecta el punto de intersección del radio de la esfera, dibujado desde el centro de la esfera a través del centro de la círculo, con la esfera y el punto de contacto del círculo con el lado del triángulo.
↑ 1 2 Stepanov N. N. Trigonometría esférica. - M. - L .: OGIZ , 1948. - 154 p.

Literatura

Curso optativo de matemáticas. 7-9 / Comp. I. L. Nikolskaya. - M. : Educación , 1991. - S. 89. - 383 p. — ISBN 5-09-001287-3 .
Ponarin Ya. P. Geometría elemental. En 2 tomos - M. : MTSNMO , 2004. - S. 52-53. — ISBN 5-94057-170-0 .
Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: Introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo (2.ª ed.), Nueva York: Barnes & Noble