Teoremas de singularidad de Penrose-Hawking

Los teoremas de singularidad de Penrose-Hawking son teoremas de la relatividad general que intentan responder la pregunta de cuándo la gravedad produce singularidades .

Singularidad

La singularidad en las soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein es una de dos cosas:

una situación en la que la materia se ve obligada a reducirse a un punto (singularidad espacial)
una situación en la que ciertos rayos de luz emanan de una región de curvatura infinita (una singularidad temporal)

Las singularidades similares al espacio son una característica de los agujeros negros sin carga que no giran , mientras que las singularidades temporales son aquellas que ocurren en soluciones exactas de agujeros negros con carga o rotación. Ambos tienen la propiedad de incompletud geodésica , en la que una trayectoria de luz o una trayectoria de partículas no pueden extenderse más allá de un determinado tiempo propio o parámetro afín (el parámetro afín es el análogo cero del tiempo propio).

El teorema de Penrose garantiza que dentro de cualquier agujero negro se produce cierta incompletud geodésica siempre que la materia satisfaga condiciones de energía razonables. La condición de energía necesaria para el teorema de singularidad del agujero negro es débil: dice que los rayos de luz siempre se enfocan junto con la gravedad, nunca divergen, y esto es cierto siempre que la energía de la materia no sea negativa.

El teorema de singularidad de Hawking se aplica a todo el universo y funciona hacia atrás en el tiempo: garantiza que el big bang (clásico) tiene una densidad infinita. [1] Este teorema es más limitado y solo es válido cuando la materia está sujeta a una condición de energía más fuerte llamada condición de energía dominante , donde la energía es mayor que la presión. Toda la materia ordinaria, con la excepción de la expectativa de vacío de un campo escalar , obedece a esta condición. Durante la inflación , el Universo rompe la condición de energía dominante, y en base a esto se argumentó originalmente (por ejemplo, por Starobinsky [2] ) que las cosmologías inflacionarias podrían evitar la singularidad inicial del Big Bang. Sin embargo, desde entonces se ha demostrado que las cosmologías inflacionarias aún están incompletas en el pasado [3] y, por lo tanto, se requiere una física distinta a la inflación para describir el límite pasado de una región inflacionaria del espacio-tiempo.

Todavía es una pregunta abierta si la relatividad general (clásica) predice singularidades temporales dentro de agujeros negros realistas cargados o giratorios, o si son artefactos de soluciones altamente simétricas y se convierten en singularidades espaciales cuando se agregan perturbaciones.

Comentarios

En relatividad general, una singularidad es un lugar donde los objetos o los rayos de luz pueden chocar en un tiempo finito, cuando la curvatura se vuelve infinita o el espacio-tiempo deja de ser una variedad. Las singularidades se pueden encontrar en todos los espaciotiempos de los agujeros negros, la métrica de Schwarzschild, la métrica de Reissner-Nordström, la métrica de Kerr y la métrica de Kerr-Newman, así como en todas las soluciones cosmológicas que no tienen una energía de campo escalar o una constante cosmológica.

Nadie puede predecir qué podría "escapar" de una singularidad del Big Bang en nuestro pasado, o qué le sucederá a un observador que "caiga" en la singularidad de un agujero negro en el futuro, por lo que requieren una modificación de la ley física. Antes de Penrose, se pensaba que las singularidades se formaban solo en situaciones inverosímiles. Por ejemplo, en una estrella que colapsa para formar un agujero negro, si la estrella está girando y, por lo tanto, tiene cierto momento angular , tal vez la fuerza centrífuga esté contrarrestando parcialmente la gravedad y evitando que se forme la singularidad. Los teoremas de singularidad prueban que esto no puede ser, y que una singularidad siempre se forma tan pronto como se forma el horizonte de eventos .

Por ejemplo, cuando una estrella colapsa, dado que toda la materia y la energía son la fuente de la atracción gravitatoria en la relatividad general, el momento angular adicional solo une a la estrella con más fuerza a medida que se contrae: la parte fuera del horizonte de eventos finalmente se asienta en el negro de Kerr. agujero (ver el teorema del agujero negro de Kerr). falta de cabello ). La parte dentro del horizonte de sucesos necesariamente tiene una singularidad en alguna parte. La prueba de esto es constructiva y muestra que la singularidad se puede encontrar siguiendo los rayos de luz desde una superficie justo dentro del horizonte. Pero la prueba no dice qué tipo de singularidad ocurre, espacial, temporal, un orbifold , un salto de brecha en la métrica. Solo garantiza que si uno sigue las geodésicas temporales hacia el futuro, es imposible que el límite de la región que forman sea generado por geodésicas nulas de la superficie. Esto significa que el límite debe aparecer de la nada o todo el futuro termina en una extensión finita.

Los teoremas de singularidad revelan una interesante característica "filosófica" de la teoría general de la relatividad. Dado que la relatividad general predice la aparición inevitable de singularidades, esta teoría no está completa sin especificar qué sucede con la materia que cae en una singularidad. Es posible extender la relatividad general a una teoría del campo unificado, como el sistema de Einstein-Maxwell-Dirac, donde tales singularidades no ocurren.

Brevemente sobre teoremas

En matemáticas, existe una profunda conexión entre la curvatura de una variedad y su topología . El teorema de Bonnet-Myers establece que una variedad de Riemann completa que tenga una curvatura de Ricci en todas partes mayor que alguna constante positiva debe ser compacta . La condición de curvatura positiva de Ricci se expresa de la siguiente manera: para cada geodésica, hay una geodésica adyacente inicialmente paralela que se curvará hacia ella a medida que se expande, y las dos se intersecarán en una longitud finita.

Cuando dos geodésicas paralelas adyacentes se cruzan, la continuación de cualquiera de ellas ya no es el camino más corto entre los puntos finales. La razón es que dos rutas geodésicas paralelas necesariamente chocan después de una extensión de igual longitud, y si una ruta sigue una intersección y luego la otra, conecta los puntos finales con una ruta no geodésica de igual longitud. Esto significa que para que una geodésica sea la ruta de longitud más corta, nunca debe cruzarse con geodésicas paralelas adyacentes.

Comenzando desde una pequeña esfera y enviando geodésicas paralelas desde el límite, asumiendo que la variedad tiene curvatura de Ricci limitada por debajo por una constante positiva, ninguna de las geodésicas es el camino más corto después de un tiempo, ya que todas chocan con un vecino. Esto significa que después de alguna expansión, se han alcanzado todos los puntos potencialmente nuevos. Si todos los puntos en una variedad conectada están a una distancia geodésica finita de la esfera pequeña, entonces la variedad debe ser compacta.

Penrose argumentó de manera similar en la teoría de la relatividad. Si cero líneas geodésicas, trayectorias de rayos de luz , siguen el futuro, entonces se generan puntos en el área futura. Si el punto está en el límite de los límites del área, entonces solo se puede alcanzar moviéndose a la velocidad de la luz, no más lentamente, por lo que la geodesia cero incluye todo el límite del futuro correcto del área. Cuando las geodésicas nulas se cruzan, ya no están en el borde del futuro, están dentro del futuro. Por lo tanto, si todas las geodésicas nulas chocan, entonces no hay límite para el futuro.

En la teoría de la relatividad, la curvatura de Ricci, que determina las propiedades de colisión de las geodésicas, está determinada por el tensor de energía , y su proyección sobre los rayos de luz es igual a la proyección cero del tensor de energía-momento y siempre es no negativa. Esto significa que el volumen de la congruencia de geodésicas paralelas cero, tan pronto como comience a disminuir, llegará a cero en un tiempo finito. Tan pronto como el volumen es cero, hay un colapso en alguna dirección, por lo que cada geodésica se cruza con algún vecino.

Penrose concluyó que siempre que haya un cubo donde convergen inicialmente todos los rayos de luz salientes (y entrantes), el límite futuro de esa área terminará después de una expansión finita porque todas las geodésicas nulas convergerán. [4] Esto es irrelevante, porque los rayos de luz salientes de cualquier esfera dentro del horizonte, todas las soluciones de agujeros negros convergen, por lo que el límite del futuro de esta región es compacto o surge de la nada. El futuro del espacio interior termina después de una expansión finita o tiene un límite que eventualmente genera nuevos rayos de luz que no se pueden rastrear hasta la esfera original.

La naturaleza de la singularidad

Los teoremas de singularidad utilizan la noción de incompletitud geodésica como sustituto de tener curvaturas infinitas. La incompletitud geodésica es la noción de que hay caminos geodésicos de observadores en el espacio-tiempo que solo pueden extenderse por un tiempo finito medido por un observador que viaja a lo largo de uno de ellos. Presuntamente, al final de la geodésica, el observador choca con una singularidad o se encuentra con alguna otra patología en la que se violan las leyes de la relatividad general.

Supuestos del teorema

Por lo general, el teorema de la singularidad consta de tres componentes: [5]

El estado energético de la materia,
La condición de la estructura global del espacio-tiempo,
La gravedad es lo suficientemente fuerte (en algún lugar) para apoderarse del área.

Hay diferentes posibilidades para cada ingrediente, y cada uno conduce a diferentes teoremas de singularidad.

Herramientas utilizadas

La herramienta clave utilizada para formular y probar los teoremas de singularidad es la ecuación de Raychauduri, que describe la divergencia de una congruencia (familia) de geodésicas. La divergencia de congruencia se define como la derivada del logaritmo del determinante del volumen de congruencia. La ecuación de Raychauduri tiene la forma: $\ theta$

{\dot {\theta }}=-\sigma _{ab}\sigma ^{ab}-{\frac {1}{3}}\theta ^{2}-{E[{\vec { X}}]^{a}}_{a}

donde es el tensor de cambio de congruencia y se conoce como el escalar de Raychauduri (ver página congruencia). El punto clave es que será no negativo siempre que se satisfagan las ecuaciones de campo de Einstein y [5] $\sigma _{{ab}}$ ${E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}=R_{mn}\,X^{m}\,X^{n}$ ${E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}$

la condición de energía cero se cumple y la congruencia geodésica es cero, o
la condición de energía fuerte se conserva y la congruencia geodésica es similar al tiempo.

Cuando se satisfacen, la divergencia se vuelve infinita en algún valor finito del parámetro afín. Por lo tanto, todas las geodésicas que salen de un punto eventualmente convergen nuevamente después de un tiempo finito, siempre que se cumpla la condición de energía adecuada, un resultado también conocido como el teorema de enfoque .

Esto es relevante para las singularidades gracias al siguiente argumento:

Supongamos que tenemos un espacio-tiempo que es globalmente hiperbólico y dos puntos y , que pueden estar conectados por una curva de tiempo o nula. Luego hay una geodésica de máxima longitud que conecta y . Llame a esta geodésica . $pags$ $q$ $pags$ $q$ $\gama$
Una geodésica se puede cambiar a una curva más larga si otra geodésica se cruza en otro punto, llamado punto conjugado. $\gama$ $pags$ $\gama$
Sabemos por el teorema de enfoque que todas las geodésicas tienen puntos conjugados para valores finitos del parámetro afín. En particular, esto es cierto para una geodésica de longitud máxima. Pero esta contradicción puede, por lo tanto, $pags$

concluir que el espacio-tiempo es geodésicamente incompleto.

Hay varias versiones del teorema de singularidad de Penrose-Hawking en relatividad general . La mayoría de las versiones afirman, en términos generales, que si hay una superficie nula capturada y la densidad de energía no es negativa, entonces hay geodésicas de longitud finita que no se pueden extender. [6]

Estos teoremas, estrictamente hablando, prueban que hay al menos una geodésica no espacial que solo puede extenderse finitamente en el pasado, pero hay casos en que las condiciones de estos teoremas se obtienen de tal manera que todo el espacio-tiempo pasado dirigido las trayectorias terminan en singularidades.

Versiones

Hay muchas versiones. Versión cero:

Suponer:

Se cumple la condición de energía cero.
Tenemos una superficie de Cauchy conectada no compacta.
Tenemos una superficie nula capturada y cerrada . $\mathcal{T}$

Entonces tenemos cero incompletitud geodésica o curvas temporales cerradas. Proof Sketch : prueba por contradicción. Límites del futuro , creados por segmentos geodésicos isotrópicos que surgen de vectores tangentes ortogonales a él. Al ser capturados por la superficie cero, de acuerdo con la ecuación de Raychauduri cero, ambas familias de rayos cero provenientes chocarán con las cáusticas. (Las cáusticas en sí mismas no son un problema. Por ejemplo, el límite del futuro de dos puntos espacialmente separados es la unión de dos futuros conos de luz con los interiores de la intersección eliminados. Las cáusticas ocurren donde los conos de luz se cruzan, pero no hay singularidad allí.)

\mathcal{T}

{\dot {J}}({\mathcal {T}})

\mathcal{T}

\mathcal{T}

Sin embargo, la generación de geodésicas nulas debe terminar, es decir, alcanzar sus puntos finales futuros en o antes de las cáusticas. De lo contrario, podemos tomar dos segmentos geodésicos cero - , que varían en la cáustica - , y luego deformarlos ligeramente para obtener una curva de tiempo que conecte un punto en el límite con un punto en , una contradicción. Pero dado que es compacto, dada la parametrización afín continua de los generadores geodésicos, existe un límite inferior en el valor absoluto del parámetro de extensión. Entonces, sabemos que la cáustica se desarrollará para cada generador antes de que se agote el límite uniforme en el parámetro afín. El resultado debe ser compacto. O tenemos curvas de tiempo cerradas, o podemos construir congruencias a partir de curvas de tiempo, y cada una de ellas debe intersecar exactamente una superficie de Cauchy no compacta. Considere todas esas curvas de tiempo que pasan y observe su imagen en la superficie de Cauchy. Al ser un mapa continuo, la imagen también debe ser compacta. Al ser una congruencia temporal, las curvas temporales no pueden intersecarse, por lo que el mapa es inyectivo . Si la superficie de Cauchy no era compacta, entonces la imagen tiene su propio límite. Suponemos que el espacio-tiempo consta de una parte conectada. Pero es compacto e infinito porque el borde del borde está vacío. Un mapa inyectivo continuo no puede crear un borde. Terminamos con una contradicción. ${\dot {J}}({\mathcal {T}})$ $\mathcal{T}$ $\mathcal{T}$ ${\dot {J}}({\mathcal {T}})$ ${\dot {J}}({\mathcal {T}})$ ${\dot {J}}({\mathcal {T}})$

"Lagunas": si hay curvas de tiempo cerradas, entonces las curvas de tiempo no deben cruzar la superficie de Cauchy "parcial". Si la superficie de Cauchy es compacta, es decir, el espacio es compacto, entonces los generadores geodésicos nulos del límite pueden cruzarse en todas partes, porque pueden cruzarse en el otro lado del espacio.

Hay otras versiones del teorema relacionadas con la condición de energía débil o fuerte.

Teorías modificadas de la gravedad

En las teorías modificadas de la gravedad, las ecuaciones de campo de Einstein no funcionan, por lo que estas singularidades no necesariamente ocurren. Por ejemplo, en la teoría de la gravedad infinita, la derivada de la gravedad puede ser negativa incluso si se cumple la condición de energía cero. [7] [8] ${E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}$

Notas

↑ Hawking, Stephen Propiedades de los universos en expansión . Biblioteca digital de Cambridge . Consultado el 24 de octubre de 2017. Archivado desde el original el 8 de noviembre de 2018. (indefinido)
↑ Starobinsky, Alexei A. Un nuevo tipo de modelos cosmológicos isotrópicos sin singularidad // Physics Letters B : diario. - 1980. - vol. 91 , núm. 1 . — pág. 99–102 . -doi : 10.1016 / 0370-2693(80)90670-X . - .
↑ Borde, Arvind; Guth, Alan H.; Vilenkin, Alejandro. Los espaciotiempos inflacionarios no son pasado completo // Cartas de revisión física . - 2003. - 15 de abril ( vol. 90 , no. 15 ). — Pág. 151301 . — ISSN 0031-9007 . -doi : 10.1103 / PhysRevLett.90.151301 . - . -arXiv : gr - qc/0110012 . —PMID 12732026 .
↑ Hawking, SO; Ellis, GFR La estructura a gran escala del espacio-tiempo. -Cambridge: Cambridge University Press , 1994. -ISBN 0-521-09906-4 .
↑ 12 Hawking , Stephen; Penrose, Roger. La naturaleza del espacio y el tiempo. - Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton , 1996. - ISBN 0-691-03791-4 .
↑ Lentes gravitacionales desde una perspectiva del espacio-tiempo . Consultado el 10 de mayo de 2020. Archivado desde el original el 1 de marzo de 2007. (indefinido)
↑ Conroy, Aindriu; Koshelev, Alexey S; Mazumdar, Anupam. Desenfoque de rayos nulos en gravedad derivada infinita // Revista de cosmología y física de astropartículas : diario. - 2016. - Vol. 2017 _ — Pág. 017 . -doi : 10.1088 / 1475-7516/2017/01/017 . — . -arXiv : 1605.02080 . _
↑ Conroy, Aindriu; Edholm, James. Potencial newtoniano y completitud geodésica en gravedad derivada infinita (inglés) // Physical Review D : revista. - 2017. - Vol. 96 , núm. 4 . -doi : 10.1103 / PhysRevD.96.044012 . — . -arXiv : 1705.02382 . _

Enlaces

Hawking, Esteban; Ellis, GFR La estructura a gran escala del espacio-tiempo. -Cambridge: Cambridge University Press , 1973. -ISBN 0-521-09906-4 . La referencia clásica.
Natario, J. Relatividad y Singularidades - Una Breve Introducción para Matemáticos // Resenhas : revista. - 2006. - vol. 6 _ - Pág. 309-335 . — arXiv : matemáticas.DG/0603190 .
Penrose, Roger (1965), Colapso gravitacional y singularidades del espacio-tiempo , Phys. Rvdo. Letón. Martes 14:57 , DOI 10.1103/PhysRevLett.14.57
Garfinkle, D. & Senovilla, JMM (2015), El teorema de singularidad de Penrose de 1965, Clase. Gravedad Cuántica. T. 32 (12): 124008 . También disponible como arXiv : 1410.5226
Ver también arXiv : hep-th/9409195 para un capítulo relevante de La estructura a gran escala del espacio-tiempo .