La topología de Grothendieck es una estructura sobre una categoría que hace que sus objetos parezcan conjuntos abiertos de un espacio topológico . Una categoría junto con la topología de Grothendieck se denomina situs [1] o sitio [2] .
Las topologías de Grothendieck axiomatizan la definición de una cubierta abierta , lo que hace posible definir las poleas en categorías y su cohomología , que fue realizada por primera vez por Alexander Grothendieck para la cohomología étale de esquemas .
Existe una forma natural de asociar un espacio topológico con la topología de Grothendieck, en este sentido puede considerarse como una generalización de las topologías usuales . Al mismo tiempo, para una gran clase de espacios topológicos es posible restaurar la topología a partir de su topología de Grothendieck, pero esto no es así para un espacio antidiscreto .
La definición clásica de una gavilla comienza con algún espacio topológico . Está asociado a la categoría , cuyos objetos son conjuntos abiertos de la topología, y el conjunto de morfismos entre dos objetos consta de un elemento si el primer conjunto está incrustado en el segundo (estas asignaciones se denominan incrustaciones abiertas), y vacío en caso contrario. Después de eso, un prehaz se define como un funtor contravariante en la categoría de conjuntos , y un haz se define como un prehaz que satisface el axioma de pegado . El axioma del pegado se formula en términos de cobertura puntual, es decir, cubre si y solo si . Las topologías de Grothendieck reemplazan cada una con toda una familia de conjuntos abiertos; más precisamente, es reemplazada por la familia de apego abierto . Tal familia se llama tamiz .
Si es un objeto arbitrario de la categoría , entonces la red es un subfuntor del funtor . En el caso de la categoría , un tamiz sobre un conjunto abierto es alguna familia de subconjuntos abiertos , cerrados bajo la operación de tomar un subconjunto abierto. Un conjunto abierto arbitrario , entonces es un subconjunto de , respectivamente, está vacío si - no es un subconjunto de , y de lo contrario puede consistir en un elemento; si no está vacío, podemos suponer que fue elegido por un tamiz. Si es un subconjunto de , entonces hay un morfismo , por lo que si no está vacío, tampoco lo está .
La topología de Grothendieck sobre la categoría es la elección para cada objeto de la categoría de un conjunto de grillas sobre , denotado por . Los elementos se denominan rejillas de cobertura en . En particular, un tamiz en un conjunto abierto cubre si y solo si la unión de todos , tal que no está vacío, es todo . Esta elección debe satisfacer los siguientes axiomas:
Reemplazar la base corresponde a la idea de que si cubre , entonces cubre . El carácter local corresponde al hecho de que si cubre y cubre para cada uno , entonces todos cubren . Finalmente, uno corresponde al hecho de que cada conjunto puede ser cubierto por la unión de todos sus subconjuntos.
En una categoría , se puede definir una gavilla usando el axioma de pegado. Resulta que una gavilla se puede definir en cualquier categoría con la topología de Grothendieck: una gavilla en un situs es una gavilla tal que para cualquier objeto y tamiz de cobertura en el mapa natural inducido por la incrustación en Hom(−, X ) es una biyección Un morfismo entre gavillas, al igual que un morfismo entre pregavillas, es una transformación natural de los funtores. La categoría de todas las gavillas en un situs se llama topos de Grothendieck . Las poleas, los grupos abelianos, los anillos, los módulos y otras estructuras se definen de manera similar.
Usando el lema de Yoneda , se puede probar que una gavilla en la categoría así definida coincide con una gavilla en el sentido topológico.
La topología discreta en una categoría arbitraria se obtiene declarando abiertos todos los tamices. Para especificar una topología antidiscreta, solo los tamices de la forma deben considerarse abiertos . En la topología antidiscreta, cualquier pregavilla es una gavilla.
La topología canónica sobre una categoría arbitraria es la topología más sutil , tal que todas las pregavillas representables (funtores de la formason gavillas). Una topología que es menos delgada (es decir, una topología tal que cualquier pregavilla representable es una gavilla) se llama subcanónica , la mayoría de las topologías encontradas en la práctica son subcanónicas.
Para comparar el espacio topológico de un pequeño situs, en la categoría revestimientos se declaran tamices tales que la unión de todos los que no están vacíos coincide con todos .
Un tamiz en la categoría de espacios topológicos se denomina tamiz de cobertura si se cumplen las siguientes condiciones:
Para la categoría de coma de espacios topológicos sobre un espacio topológico fijo , la topología es inducida por la categoría . La categoría resultante se llama el gran situs asociado con el espacio topológico .