Punto límite

Un punto límite de un conjunto en topología general es un punto, cualquier vecindad perforada del cual se cruza con este conjunto.

Definición y tipos de puntos límite

Un punto se llama punto límite de un subconjunto en un espacio topológico si cada vecindad perforada del punto tiene una intersección no vacía con . $X$ $A$ $X$ $X$ $A$

Un punto se denomina punto de acumulación de subconjuntos si cada vecindad del punto tiene un número infinito de puntos en común. Para espacios T 1 (es decir, espacios en los que todos los puntos (conjuntos de un punto) son cerrados), los conceptos de punto límite y punto de acumulación son equivalentes. $X$ $A$ $X$ $A$

Un punto se denomina punto de condensación de subconjunto si cada vecindad del punto contiene un conjunto incontable de puntos . $X$ $A$ $X$ $A$

Un punto se llama punto de acumulación completa de un subconjunto si para cualquier vecindad del punto la potencia de intersección es igual a la potencia del conjunto . $X$ $A$ $tu$ $X$ $U\tapa A$ $A$

Conceptos y propiedades relacionados

Un punto se llama punto de tangencia de un subconjunto en un espacio topológico si cada vecindad del punto tiene una intersección no vacía con . El conjunto de todos los puntos de contacto de un conjunto constituye su cierre . $X$ $A$ $X$ $X$ $A$ $A$ $\bar A$

Se dice que un punto está aislado si tiene una vecindad que no tiene puntos comunes más que . Un subconjunto en , que consta de este único punto, está abierto en (en la topología inducida ). $x \ en A$ $A$ $X$ $A$ $A$

Así, todos los puntos de contacto de cualquier conjunto (es decir, puntos de cierre ) se dividen en dos tipos: puntos límite y puntos aislados . Estos últimos constituyen un subconjunto , mientras que los primeros pueden o no pertenecer a él. $A\subconjunto X$ $\bar A$ $A$ $A$

El conjunto de todos los puntos límite de un conjunto se denomina conjunto derivado y se denota . Todos los puntos límite del conjunto están incluidos en su cierre . Además, es verdadera la siguiente igualdad: , de donde se obtiene fácilmente el siguiente criterio para la clausura de los subconjuntos : El conjunto A es cerrado si y sólo si contiene todos sus puntos límite. $A$ $A'$ $\bar A$ ${\barra A}=A\taza A'$

Si es un punto límite del conjunto , entonces hay una dirección de puntos desde , que convergen hacia . $X$ $A$ $A$ $X$

En espacios métricos , si es un punto límite del conjunto , entonces existe una secuencia de puntos desde que convergen hasta . Los espacios topológicos para los que se cumple esta propiedad se denominan espacios de Fréchet-Urysohn . $X$ $A$ $A$ $X$
Un espacio topológico es compacto si y solo si cada subconjunto infinito en él tiene al menos un punto de acumulación completa en . $X$ $X$

Un espacio topológico es contablemente compacto si y solo si cada subconjunto infinito en él tiene al menos un punto límite estricto en . Todo pacto es contablemente compacto. Para espacios métricos, lo contrario también es cierto (criterio para la compacidad de un espacio métrico): un espacio métrico es compacto si y solo si es contablemente compacto. $X$ $X$

(En particular, dado que un segmento de línea es compacto, es contablemente compacto. Por lo tanto, cada subconjunto acotado infinito de una línea tiene al menos un punto límite).

Un conjunto cerrado en un espacio de Hausdorff se llama perfecto si cada uno de sus puntos es límite (es decir, si el conjunto no contiene puntos aislados). Ejemplos de conjuntos perfectos son un segmento de recta, el conjunto de Cantor .

Ejemplos

Considere el conjunto de números reales con la topología estándar generada por intervalos abiertos. Entonces, con respecto a esta topología, tenemos: $\matemáticas {R}$
- $(a,b)'=[a,b];$
- ${\mathbb {Q}}'={\mathbb {R}},$ donde está el conjunto de
los números racionales ; $\matemáticas {Q}$
${\mathbb {Z}}'=\varnada,$ donde está el conjunto de enteros ; $\matemáticas {Z}$

Sea el primer ordinal incontable . Considere - ordinal con topología de orden . El punto es el punto límite del conjunto , pero no hay una secuencia de elementos de este conjunto que converja en .

\omega_{1}

{\ estilo de visualización [0, \ omega _ {1}]}

{\ estilo de visualización \ omega _ {1} + 1}

\omega_{1}

{\ estilo de visualización [0, \ omega _ {1})}

\omega_{1}

Punto límite de un conjunto de números

En particular, el punto límite de un conjunto numérico que tiene un número infinito de elementos es un punto en la recta numérica , en cualquier vecindad de la cual hay infinitos elementos de este conjunto. También puede considerar el punto límite de dicho conjunto si a partir de algunos de sus elementos es posible componer una secuencia infinitamente grande con elementos negativos diferentes por pares. Si es posible componer una secuencia infinitamente grande con elementos positivos diferentes por pares, entonces puede considerarse un punto límite [1] . $-\infty$ $+\infty$

El punto límite superior de un conjunto de números es el mayor de sus puntos límite.

El punto límite inferior de un conjunto de números es el más pequeño de sus puntos límite.

Propiedades

Cualquier conjunto de números limitados que tiene un número infinito de elementos tiene puntos límite superior e inferior (en el conjunto de números reales ). Si sumamos al conjunto de números reales y , entonces en el conjunto resultante, todos los conjuntos numéricos con un número infinito de elementos tienen puntos límite. $-\infty$ $+\infty$

De los elementos de cualquier conjunto numérico limitado que tenga un número infinito de elementos, se puede seleccionar una secuencia convergente cuyos elementos son distintos por pares.

Punto límite de una secuencia numérica

El punto límite de una sucesión es un punto en cualquier vecindad del cual hay infinitos elementos de esta sucesión [1] .

X

es el punto límite de la sucesión

\left\{x_{n}\right\}_{{n=1}}^{{\infty}}\Leftrightarrow

\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0~\exists X\subseteq \mathbb{N} \colon \left|X\right|=\aleph _{0}\land \forall i\in X\colon \left|x_{ i}-x\right|<\varepsilon

El punto límite más grande de una sucesión se llama límite superior , y el punto límite más pequeño se llama límite inferior .

A veces " " y " " se incluyen en el conjunto de posibles puntos límite. Entonces, si se puede seleccionar una subsecuencia infinitamente grande de una secuencia, cuyos elementos son todos negativos, entonces dicen que " " es el punto límite de esta secuencia. Si es posible seleccionar una subsecuencia infinitamente grande con elementos exclusivamente positivos de la secuencia, entonces dicen que " " es su punto límite [1] . En este caso, por supuesto, la secuencia también puede tener otros puntos límite. $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$

Propiedades

Un punto es un punto límite de una secuencia si y solo si es posible seleccionar una subsecuencia de esta secuencia que converja a este punto (es decir, el punto es un límite parcial de la secuencia ). $X$ es el punto límite de la sucesión $\left\{x_{n}\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}\Leftrightarrow \existe \left\{k_{n}\right\}_{{n=1} }^{{\infty }}\forall i\in \mathbb{N} \colon k_{{i}}<k_{{i+1}}\land \lim_{{n\to \infty }}x_ {{k_{n}}}=x$ A veces, esta propiedad se toma como una definición, y la definición anterior es una propiedad.
Cada secuencia de números convergentes tiene un solo punto límite. ${\ estilo de visualización x, x'}$ son los puntos límite de la sucesión $\left\{x_{n}\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}\land \exists \lim _{{n\to \infty }}x_{n}\Rightarrow x =x'$
El punto límite de cualquier sucesión numérica convergente coincide con su límite . $X$ es el punto límite de la sucesión $\left\{x_{n}\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}\land \exists \lim _{{n\to \infty }}x_{n}\Rightarrow \ lim _{{n\to \infty }}x_{n}=x$
Para cualquier conjunto finito de puntos, se puede construir una secuencia para la cual estos puntos serán puntos límite y nada más que ellos.
Una secuencia de números arbitraria tiene al menos un punto límite (ya sea real o infinito ).

Ejemplos

La sucesión de unos tiene un único punto límite 1 (aunque no es el punto límite del conjunto de valores de los elementos de la sucesión, que consta de un solo elemento). $\left\{1\right\}_{{n=1}}^{{\infty}}$
La sucesión tiene un único punto límite 0. $\left\{1/n\right\}_{{n=1}}^{{\infty}}$
La secuencia de números naturales no tiene puntos límite (o, en otros términos, tiene un punto límite ). $\left\{n\right\}_{{n=1}}^{{\infty}}$ $+\infty$
La sucesión tiene dos puntos límite: −1 y +1. $\left\{\left(-1\right)^{n}\right\}_{{n=1}}^{{\infty}}$
Una sucesión de todos los números racionales , numerados arbitrariamente, tiene infinitos puntos límite. $\left\{q_{n}\right\}_{{n=1}}^{{\infty}}$

Punto límite de dirección

Sea la dirección de los elementos del espacio topológico . Entonces se llama punto límite de dirección si para cualquier vecindad del punto y para cualquier existe un índice tal que y ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} ))$ $X$ $X$ $tu$ $X$ ${\ estilo de visualización \ alfa \ en \ mathrm {A}}$ $\beta \in \mathrm {A}$ ${\ estilo de visualización \ beta \ geqslant \ alfa}$ ${\ Displaystyle x_ {\ beta} \ en U}$

Propiedades

Un punto es un punto límite de dirección si y solo si existe una subdirección que converge a ese punto.
- En particular, un punto es un punto límite de una secuencia si y solo si existe una subdirección que converge a ese punto.
- Si todo punto de un espacio topológico tiene una base contable, entonces en el párrafo anterior podemos hablar de subsucesiones.

Ejemplos

Let - dirigido en orden ascendente. La dirección tiene un único punto límite en el espacio topológico . ${\ estilo de visualización A = [0,1)}$ ${\displaystyle \left\{\alpha \right\}_{\alpha \in A))$ ${una}$ $[0, 1]$

Véase también

punto aislado

Notas

↑ 1 2 3 V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . Capítulo 3. Teoría de Límites // Análisis Matemático / Ed. A. N. Tijonova . - 3ra ed. , revisado y adicional - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 92-105. — 672 pág. — ISBN 5-482-00445-7 .

Literatura

Engelking, R. Topología general. — M .: Mir , 1986. — 752 p.
L. V. Kantorovich , G. P. Akilov . Análisis funcional. — M .: Nauka, 1984. — 752 p.