Triángulo trilineal polares

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Los polares trilineales de un triángulo son algunos tipos especiales de líneas rectas asociadas con el plano del triángulo y que se encuentran en el plano del triángulo. La polar trilineal de un punto Y (el polo) con respecto a un triángulo no degenerado es una línea recta definida por la siguiente construcción. Si continuamos los lados del triángulo ceviano de algún punto y tomamos sus puntos de intersección con los lados correspondientes, entonces los puntos de intersección resultantes estarán en una línea recta, llamada punto de partida trilineal (la figura muestra la construcción del EDF polar trilineal del punto rojo Y ). Aquí un triángulo ceviano es un triángulo cuyos tres vértices son las tres bases cevianas del triángulo original.

Propiedades

El EDF polar trilineal corta las tres extensiones de los tres lados del triángulo de soporte ABC en tres puntos de modo que, junto con los dos extremos de los lados del triángulo y con la base correspondiente de uno de los tres cevianos, forma un armónico cuatro de puntas situadas en cada uno de los tres lados, incluidas sus prolongaciones. En la fig. arriba a la derecha hay tres cuatros armónicos de puntos: 1) B,C',A,F, 2) B,A',C,D, 3) A,B',C,E.

Ejemplos de triángulos trilineales polares

• La polar trilineal del centro del círculo inscrito (incentro) es el eje de las bisectrices exteriores o el eje antiórtico DEF (eje antiórtico) (ver Fig.). Sobre él descansan las tres bases D , E y F de las tres bisectrices externas AD , CE y BF de los ángulos externos del triángulo ABC , respectivamente .

• Eje órtico - polar trilineal del ortocentro (ver fig.)

• La línea en el infinito  es la polar trilineal del centroide (ver figura)

• El polar trilineal del punto de Lemoine es el eje de Lemoine (ver Fig.)

• La polar trilineal del centro del círculo circunscrito es la línea recta EDF (ver Fig.)

• El punto polar trilineal de Kosnit , isogonalmente conjugado para el centro del círculo de nueve puntos , es la línea recta EDF (ver Fig.)

• Los polos trilineales de los puntos que se encuentran en la cónica circunscrita se intersecan en un punto (para el círculo circunscrito, este es el punto de Lemoine , para la elipse circunscrita de Steiner,  es el centroide )
• La composición de una conjugación isogonal (o isotómica ) y una polar trilineal es una transformación de dualidad . Esto significa que si el punto conjugado isogonalmente ( isotómicamente ) al punto se encuentra en la polar trilineal del punto , entonces el polar trilineal del punto conjugado isogonalmente ( isotómicamente ) al punto se encuentra en la polar trilineal del punto .

Ortocéntrico  : el polar trilineal del ortocentro se muestra en rojo.

Variaciones y generalizaciones

• También existe el concepto de polar de un punto P con respecto a una curva no degenerada de segundo orden .
• La polar trilineal de un punto Y que es isogonalmente conjugada a un punto X de un triángulo se llama línea central del punto X [1] [2] .

Véase también

• Línea central (geometría)
• Polo y polar

Notas

1. ↑ Kimberling, Clark. Puntos centrales y rectas centrales en el plano de un triángulo  // Revista de Matemáticas  : revista  . - 1994. - junio ( vol. 67 , n. 3 ). - pág. 163-187 . -doi : 10.2307/ 2690608 .
2. ↑ Kimberling, Clark. Triángulos Centros y Triángulos Centrales  (neopr.) . - Winnipeg, Canadá: Utilitas Mathematica Publishing, Inc., 1998. - Pág. 285. Archivado el 10 de marzo de 2016 en Wayback Machine .