Directo

La línea recta es uno de los conceptos fundamentales de la geometría euclidiana . En una presentación sistemática de la geometría, las líneas rectas suelen tomarse como uno de los conceptos originales ( indefinibles ) [1] , sus propiedades y conexión con otros conceptos (por ejemplo, puntos y planos ) están determinadas por los axiomas de la geometría [2] .

La línea recta, junto con el círculo , es una de las figuras geométricas más antiguas. Los geómetras antiguos consideraban que estas dos curvas eran "perfectas" y, por lo tanto, solo reconocían construcciones con compás y regla . Euclides describió una línea como "largo sin ancho", que "está igualmente en todos sus puntos" [3] .

Los análogos de líneas también se pueden definir en algunos tipos de espacios no euclidianos. Si la base para construir la geometría es el concepto de la distancia entre dos puntos en el espacio, entonces un segmento de línea recta se puede definir como la curva más corta que conecta estos puntos. Por ejemplo, en la geometría de Riemann , el papel de las líneas rectas lo juegan las geodésicas , que son las líneas más cortas; en la esfera, los arcos de grandes círculos son los arcos más cortos [4] .

Propiedades de una línea recta en geometría euclidiana

Las secciones de una línea recta limitada por dos de sus puntos se llaman segmentos .

Hay infinitas líneas que se pueden trazar a través de cualquier punto .
A través de dos puntos cualesquiera que no coinciden , sólo hay una línea recta.
Dos líneas rectas no coincidentes en el plano se cruzan en un solo punto [5] o son paralelas (sigue de la anterior).
En el espacio tridimensional, hay tres opciones para la posición relativa de dos líneas no coincidentes:
- las líneas se cruzan;
- las líneas rectas son paralelas ;
- las rectas se cruzan .
Una línea recta es una curva algebraica de primer orden : en un sistema de coordenadas cartesiano, una línea recta se define en un plano por una ecuación de primer grado ( ecuación lineal ).

Ecuaciones de una recta en un plano

Ecuación general de una línea recta

La ecuación general de una recta en un plano en coordenadas cartesianas es :

Hacha+Por+C=0,

donde y son constantes arbitrarias, y las constantes y no son iguales a cero al mismo tiempo. $A,B$ $C$ $A$ $B$

En , la recta es paralela al eje , en , es paralela al eje . $A=0$ $Buey$ $b=0$ $Oye$

Un vector con coordenadas se llama vector normal, es perpendicular a la recta. $(A, B)$

En , la recta pasa por el origen de coordenadas . $C=0$

La ecuación también se puede reescribir como

A(x-x_{0})+B(y-y_{0})=0.

Ecuación de una recta con una pendiente

Ecuación de una recta que corta al eje en un punto y forma un ángulo con la dirección positiva del eje : $Oye$ $(0,\;b)$ $\varphi$ $Buey$

y=kx+b,\quad k={\mathrm {tg}}\,\varphi.

El coeficiente se llama pendiente de la recta. $k$

De esta forma, es imposible representar una línea recta paralela al eje (A veces en este caso se dice formalmente que la pendiente "va al infinito"). $Vaya.$

Ecuación de una recta en segmentos

Ecuación de una recta que corta un eje en un punto y un eje en un punto : $Buey$ $(a,\;0)$ $Oye$ $(0,\;b)$

{\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1\quad (a\neq 0,\;b\neq 0).

De esta forma, es imposible representar una línea recta que pase por el origen.

Ecuación normal de una línea recta

x\cos \theta +y\sin \theta -p=0,

donde es la longitud de la perpendicular caída sobre la línea desde el origen, y es el ángulo (medido en la dirección positiva) entre la dirección positiva del eje y la dirección de esta perpendicular. Si , entonces la línea pasa por el origen y el ángulo especifica el ángulo de inclinación de la línea. $pags$ $\ theta$ $Buey$ $pag=0$ $\theta =\varphi +{\frac {\pi }{2))$

Derivación de la ecuación normal de una recta

Deje que una línea recta sea dada Entonces y Considere su ort para esta perpendicular Supongamos que el ángulo entre y el eje es Desde entonces podemos escribir: Ahora considere un punto arbitrario Dibujemos el radio vector Ahora encuentre la proyección sobre el vector Por lo tanto, Esto es la ecuación normal de la recta. ■ $l$ $OP\perp L$ $|\overrightarrow {OP}|=pág.$ $\overrightarrow {e_{p}},|\overrightarrow {e_{p}}|=1.$ $|\overrightarrow {e_{p}}|$ $Buey$ $\ theta .$ $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,$ $\overrightarrow {e_{p}}=(\cos \theta ;\sin \theta ).$ ${\ estilo de visualización M (x, y).}$ $\overrightarrow {OM}=(x,y).$ $\overrightarrow {OM}$ $\overrightarrow {e_{p}}.$ $(\overrightarrow {e_{p}},\overrightarrow {OM})=x\cos \theta +y\sin \theta =p.$ $x\cos \theta +y\sin \theta -p=0.$

Si la recta viene dada por la ecuación general, entonces los segmentos y los segmentos cortados por ella en los ejes, el coeficiente angular es la distancia de la recta desde el origen de coordenadas y se expresan en función de los coeficientes , y como sigue: $Hacha+Por+C=0,$ $a$ $b,$ $k,$ $pags,$ $\ cos \ theta$ $\sin \theta$ $A$ $B$ $C$

a=-{\frac {C}{A)),\quad b=-{\frac {C}{B)),\quad k={\mathrm {tg))\,\varphi =-{\frac {A}{B)),\quad\varphi =\theta -{\frac {\pi }{2)),

p={\frac {C}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2))))},\quad \cos \theta ={\frac {A}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}},\quad \sin \theta ={\frac {B}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}} }}.

Para evitar incertidumbres, se elige el signo delante del radical para que se cumpla la condición En este caso, y son los cosenos directores de la normal positiva de la recta - la perpendicular caída desde el origen hasta la recta. Si entonces la recta pasa por el origen y la elección de la dirección positiva es arbitraria. $p>0.$ $\ cos \ theta$ $\sin \theta$ $C=0,$

Ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados no coincidentes

Si se dan dos puntos no coincidentes con coordenadas y , entonces la recta que pasa por ellos viene dada por la ecuación $(x_1,\;y_1)$ $(x_2,\;y_2)$

{\begin{vmatriz}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatriz}}=0

{\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}={\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}

o en general

\left(y_{1}-y_{2}\right)x+\left(x_{2}-x_{1}\right)y+\left(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{ 1}\derecha)=0.

Ecuación vectorial paramétrica de una línea recta

La ecuación vectorial paramétrica de una recta viene dada por un vector cuyo extremo se encuentra en la recta y por el vector director de la recta El parámetro pasa por todos los valores reales. ${\vec{r}}_{0},$ ${\ vec {u}}.$ $t$

{\vec {r}}={\vec {r_{0}}}+t{\vec {u}}.

Ecuaciones paramétricas de una línea recta

Las ecuaciones paramétricas de una línea recta se pueden escribir como:

{\begin{casos}x=x_{0}+a_{x}t,\\y=y_{0}+a_{y}t,\end{casos))

donde es un parámetro arbitrario, son las coordenadas y el vector director de la línea recta. Donde $t$ $a_{x},\;a_{y}$ $X$ $y$

k={\frac {a_{y}}{a_{x}}},\quad a={\frac {a_{y}x_{0}-a_{x}y_{0}}{a_{y} )),\quad b={\frac {a_{x}y_{0}-a_{y}x_{0}}{a_{x}}},

p={\frac{a_{x}y_{0}-a_{y}x_{0}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}} )),\quad \cos \theta ={\frac {a_{x}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2))))},\quad \sin \theta ={\frac {a_{y}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}}.

El significado del parámetro es similar al parámetro en la ecuación vectorial paramétrica. $t$

Ecuación canónica de una línea recta

La ecuación canónica se obtiene a partir de ecuaciones paramétricas dividiendo una ecuación por otra:

Conclusión

{\begin{casos}x=x_{0}+a_{x}t\\y=y_{0}+a_{y}t\end{casos))

{\begin{casos}x-x_{0}=a_{x}t\\y-y_{0}=a_{y}t\end{casos))

{\frac {x-x_{0}}{y-y_{0}}}={\frac {a_{x}}{a_{y}}}

{\frac {x-x_{0}}{y-y_{0}}}={\frac {a_{x}}{a_{y}}}\Longleftrightarrow {\frac {x-x_{0}} {a_{x}}}={\frac{y-y_{0}}{a_{y}}}

donde son las coordenadas tanto del vector director de la recta como las coordenadas de un punto perteneciente a la recta. $a_{x},a_{y}$ $X$ $y$ $x_{0}$ $y_0$

Ecuación de una recta en coordenadas polares

Ecuación de una recta en coordenadas polares y : $\rho$ $\varphi$

\rho (A\cos \varphi +B\sin \varphi )+C=0

{\ estilo de visualización \ rho \ cos (\ varphi - \ theta) = p.}

La ecuación tangencial de una línea recta

La ecuación tangencial de una recta sobre un plano:

\xi x+\eta y=1.

Números y se denominan sus coordenadas tangenciales , lineales o de Plücker . $\xi$ $\eta$

Ecuaciones de una línea recta en el espacio

Ecuación paramétrica vectorial de una línea recta en el espacio:

{\vec r}={\vec {r}}_{0}+t{\vec a},\quad t\in (-\infty,\;+\infty),

donde es el vector radio de algún punto fijo sobre la línea, es un vector distinto de cero colineal a esta línea (llamado su vector de dirección), es el vector radio de un punto arbitrario de la línea. ${\vec{r}}_{0}$ $M_{0},$ $\vec un$ ${\ vec {r))$

Ecuaciones paramétricas de una línea recta en el espacio:

x=x_{0}+t\alpha ,\;y=y_{0}+t\beta ,\;z=z_{0}+t\gamma ,\quad t\in (-\infty ,\;+ \infty ),

dónde están las coordenadas de algún punto fijo que se encuentra en la línea; son las coordenadas del vector colineal a esta línea. $(x_{0},\;y_{0},\;z_{0})$ $M_{0},$ $(\alfa,\;\beta,\;\gamma)$

La ecuación canónica de una línea recta en el espacio:

{\frac {x-x_{0}}{\alpha }}={\frac {y-y_{0}}{\beta }}={\frac {z-z_{0}}{\gamma }} ,

dónde están las coordenadas de algún punto fijo que se encuentra en la línea; son las coordenadas del vector colineal a esta línea. $(x_{0},\;y_{0},\;z_{0})$ $M_{0},$ $(\alfa,\;\beta,\;\gamma)$

Ecuación vectorial general de una recta[ aclarar ] en el espacio:

Dado que una línea recta es la intersección de dos planos diferentes , dados respectivamente por las ecuaciones generales :

({\vec r},\;{\vec N}_{1})+D_{1}=0

({\vec r},\;{\vec N}_{2})+D_{2}=0,

entonces la ecuación de una línea recta puede estar dada por un sistema de estas ecuaciones:

{\begin{casos}({\vec r},\;{\vec N}_{1})+D_{1}=0,\\({\vec r},\;{\vec N}_ {2})+D_{2}=0.\end{casos}}

Ecuación vectorial de una línea recta en el espacio [6] :196-199 :

La ecuación de una línea recta en el espacio se puede escribir como un producto vectorial del radio-vector de un punto arbitrario de esta línea recta y un vector director fijo de la línea recta :

{\ vec {r))

\vec un

[{\vec r},{\vec a}]={\vec M},

donde el vector fijo , ortogonal al vector , se puede encontrar sustituyendo el radio vector de cualquier punto conocido de la línea en esta ecuación. $\ vec M$ $\vec un$

Disposición mutua de puntos y líneas en el plano

Tres puntos , y se encuentran en la misma línea si y solo si la condición $(x_1,\;y_1)$ $(x_2,\;y_2)$ $(x_{3},\;y_{3})$

{\begin{vmatriz}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatriz}}=0.

La desviación de un punto de una línea recta se puede encontrar mediante la fórmula $(x_1,\;y_1)$ $Hacha+Por+C=0$

\delta ={\frac {Ax_{1}+By_{1}+C}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2))))},

donde el signo anterior al radical es opuesto al signo Modulo desviación es igual a la distancia entre el punto y la línea ; es positivo si el punto y el origen están en lados opuestos de la línea y negativo si están en el mismo lado. $C.$

En el espacio, la distancia de un punto a una línea recta dada por una ecuación paramétrica $(x_{1},\;y_{1},\;z_{1})$

{\begin{casos}x=x_{0}+t\alpha ,\\y=y_{0}+t\beta ,\quad t\in \mathbb{R} \\z=z_{0}+t \gamma ,\end{casos}}

se puede encontrar como la distancia mínima de un punto dado a un punto arbitrario en una línea recta. El coeficiente de este punto se puede encontrar mediante la fórmula $t$

t_{\min}={\frac {\alpha (x_{1}-x_{0})+\beta (y_{1}-y_{0})+\gamma (z_{1}-z_{0} )}{\alfa ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}}}.

Disposición mutua de varias rectas sobre un plano

Dos rectas dadas por ecuaciones

A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\quad A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0

y=k_{1}x+b_{1},\quad y=k_{2}x+b_{2}

se cruzan en un punto

x={\frac{B_{1}C_{2}-B_{2}C_{1}}{A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}}={\frac {b_ {1}-b_{2}}{k_{2}-k_{1}}},\quad y={\frac{C_{1}A_{2}-C_{2}A_{1}}{A_ {1}B_{2}-A_{2}B_{1}}}={\frac {k_{2}b_{1}-k_{1}b_{2}}{k_{2}-k_{1 }}}.

El ángulo entre las rectas que se cortan está dado por $\gamma _{{12}}$

{\mathrm {tg}}\,\gamma_{{12}}={\frac {A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}{A_{1}A_{2}+ B_{1}B_{2))}={\frac {k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}}.

En este caso, el término se refiere al ángulo por el cual la primera línea recta (especificada por los parámetros , , y ) debe rotarse en sentido antihorario alrededor del punto de intersección hasta que coincida primero con la segunda línea recta. $\gamma _{{12}}$ $A_{1}$ $B_1$ $C_{1}$ $k_{1}$ $b_{1}$

Estas rectas son paralelas si o , y perpendiculares si o . $A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}=0$ $k_{1}=k_{2}$ $A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=0$ $k_{1}=-{\frac{1}{k_{2))}$

Cualquier recta paralela a la recta con la ecuación puede ser expresada por la ecuación, en este caso, la distancia entre estas rectas será igual a $A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,$ $A_{1}x+B_{1}y+C=0.$

\delta=\frac{C_1-C}{\pm\sqrt{A_1^2+B_1^2));

Si la ecuación de una línea recta se da como y la ecuación de una línea recta es paralela a ella , entonces la distancia se puede calcular como $y_1=kx_1+b_1$ $y=kx+b$

\delta=\frac{|b_1-b|}{\sqrt{1+k^2}}.

Si el signo anterior al radical es opuesto, entonces será positivo cuando la segunda línea y el origen estén en lados opuestos de la primera línea. $C_{1},$ $\delta$

Para hacer tres rectos

A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\quad A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0,\quad A_{3}x+B_{ 3}y+C_{3}=0

se cortan en un punto o son paralelas entre sí, es necesario y suficiente que la condición

{\begin{vmatriz}A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\\A_{3}&B_{3}&C_{3}\end{vmatriz }}=0.

Si y , entonces las rectas y son perpendiculares a . ${\ estilo de visualización A_ {2} = -B_ {1}}$ ${\ estilo de visualización B_ {2} = A_ {1}}$ $A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0$ $A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0$

Algunos tipos especiales de líneas

Notas

↑ Coxeter, 1969 , pág. cuatro
↑ Enciclopedia Matemática, 1984 , p. 721-722.
↑ Proclo Diadochus. Comentario sobre el primer libro de "Comienzos" de Euclides / Universidad Dmitry Pozharsky. - M. , 2013. - S. 116. - 368 p.
↑ Norden A.P. Un curso breve de geometría diferencial. - M. : Fizmatgiz, 1958. - S. 214-215. — 244 págs.
↑ Faber, Apéndice B, pág. 300.
↑ Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Álgebra vectorial en ejemplos y problemas . - M. : Escuela Superior , 1985. - 232 p.

Literatura

Markushevich AI Curvas notables , conferencias populares sobre matemáticas . - Número 4. - Gostekhizdat , 1952 - 32 páginas.
Directo // Enciclopedia matemática (en 5 tomos). - M .: Enciclopedia soviética , 1984. - T. 4.
Coxeter, HSM (1969), Introducción a la geometría (2.ª ed.), Nueva York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-18283-4
Faber, Richard L. (1983), Fundamentos de geometría euclidiana y no euclidiana , Nueva York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1
Pedoe, Dan (1988), Geometría: un curso completo , Mineola, NY: Dover, ISBN 0-486-65812-0
Wylie, Jr., CR (1964), Fundamentos de geometría , Nueva York: McGraw-Hill, ISBN 0-07-072191-2

Enlaces

diccionarios y enciclopedias	Gran danés gran noruego Britannica (en línea)
En catálogos bibliográficos	TIERRA : 4156780-8

Curvas

Definiciones

transformado

no plano

algebraica plana

Secciones cónicas

3er orden ( cúbico )

Elíptico	curva elíptica Funciones elípticas de Jacobi Integral elíptica Funciones elípticas
Otro	Verziera Agnesi hoja cartesiana Trisector de Maclaurin Chirnhaus Ofiurida estrofoides parábola semicúbica Tridente Cisoide de Diocles

4to orden

lemniscatas

Aproximación

Ranura
- B-spline
- Cúbico
- monospline
- Suavizado
- Perfecto
- hermita
Béziers

cicloidal

Otro

granja torcida

Plana
trascendental

Espirales	Arquímedov Granja galilea Hiperbólico "Varita mágica" Dorado clotoide logarítmico sinusoidal
cicloidal	trocoide Cicloide epitrocoide epicicloide hipotrocoide hipocicloide cuasitrocoide "Rosa" cuadrifolio Descenso rápido (braquistocrona, arco cicloide)
Otro	cuadratriz cocleoide Perseguir tractor trocoide línea de cadena arco invertido ancho constante sinusoide Ribokura Súper fórmula superelipse Triángulo de Reuleaux polígono figuras de lissajous

fractales

Simple	gilberto Gosper curva de dragón Koch Exacción Minkowski Peaño Sierpinsky
topológico	Servilleta Sierpinski alfombra sierpinski Esponja Menger fractal circular alfombra apolonio

Secciones cónicas
Tipos principales	Elipse Hipérbola Parábola
Degenerar	Punto Directo par de lineas rectas
Un caso especial de una elipse	Circulo
Construcción geométrica	sección cónica Bolas de diente de lin diseño de steiner
ver también	constante cónica
Matemáticas • Geometría