Universo von Neumann

El universo de von Neumann ( jerarquía de conjuntos según von Neumann ) es una clase formada por conjuntos hereditarios bien fundados ; tal colección, formalizada por la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC), a menudo se usa como una interpretación o justificación de los axiomas de ZFC. La notación estándar es . $V$

El rango de un conjunto bien fundado se define inductivamente como el número ordinal más pequeño mayor que el rango de cualquier elemento de este conjunto [1] . En particular, el rango del conjunto vacío es igual a cero, y el rango de cualquier número ordinal es igual a sí mismo. Los conjuntos incluidos en la clase , debido a la división en rangos, forman una jerarquía transfinita, que también se denomina jerarquía de conjuntos acumulativos . $V$

Historia

En 1982, Gregory Moore afirmó que la jerarquía de tipos acumulativos, también conocida como el universo de von Neumann, se atribuyó erróneamente a von Neumann [2] porque se mencionó por primera vez en una publicación de 1930 de Ernst Zermelo [3] .

La existencia y unicidad de una definición recursiva transfinita de conjuntos fueron probadas por von Neumann en 1928 para el caso de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel [4] , así como su propia teoría de conjuntos (que más tarde se convirtió en la base de la teoría NBG ). [5] Sin embargo, en ninguno de estos artículos usó su método recursivo transfinito para construir una colección universal de todos los conjuntos. Las descripciones del universo de von Neumann por parte de Bernays [6] y Mendelssohn [7] atribuyen a von Neumann un método de construcción basado en la inducción transfinita , pero no su aplicación al problema de construir un universo de conjuntos ordinarios.

El símbolo no es una referencia al nombre de von Neumann, ya en 1889 Peano lo usó para referirse al universo de conjuntos, es decir, la palabra "Verum", que usó no solo como un símbolo lógico, sino también para denotar la clase de todos los elementos [8] En 1910, Whitehead y Russell adoptaron la notación de Peano para denotar la clase de todos los conjuntos. [9] Los artículos de Von Neumann sobre números ordinales e inducción transfinita (década de 1920) no utilizan la notación V (en el sentido de la clase de todos los conjuntos). Paul Cohen [10] atribuye explícitamente su uso del símbolo V (la clase de todos los conjuntos) a un artículo escrito por Gödel en 1940 [11] , aunque lo más probable es que Gödel haya tomado prestada esta notación de publicaciones anteriores como Whitehead y Russell. [9] $V$

Una fórmula a menudo se ve como un teorema en lugar de una definición. [6] [7] Según Roitman [12] (sin citar ninguna fuente), la equivalencia del axioma de regularidad y la igualdad de la jerarquía acumulativa con el universo de conjuntos ZF fue demostrada por primera vez por von Neumann. $\bigcup _{{\alfa}}V_{\alfa}$

Definición

Una jerarquía acumulativa es una familia de conjuntos donde el índice se ejecuta a través de la clase de todos los números ordinales . Más específicamente, el conjunto consta de todos los conjuntos que tienen un rango inferior a . Así, cada número ordinal corresponde a un único conjunto . Formalmente, un conjunto se puede definir usando recursividad transfinita : $V_{\alfa}$ $\alfa$ $V_{\alfa}$ $\alfa$ $\alfa$ $V_{\alfa}$ $V_{\alfa}$

Elijamos el conjunto vacío como: $V_{0}$ $V_{0}:=\{\}.$
Sea un número ordinal arbitrario, entonces se define como el booleano del conjunto : $\beta$ $V_{{\beta +1}}$ $V_{\beta}$ $V_{{\beta +1}}:={\mathcal {P}}(V_{\beta }).$
Sea el número ordinal límite , entonces se define como la unión de todos los conjuntos construidos en los pasos anteriores: $\lambda$ $V_{\lambda}$ $V$ $V_{\lambda}:=\bigcup_{{\beta <\lambda}}V_{\beta}.$

La característica clave de esta definición es que, en el lenguaje de la teoría ZFC, la afirmación de que "un conjunto pertenece " se expresa mediante una única fórmula de la forma . $X$ $V_{\alfa}$ $\varphi (\alfa,x)$

Una clase es la unión de todos los conjuntos de la forma : $V$ $V_{\alfa}$

V:=\copagrande_{{\alfa}}V_{\alfa}

Una definición equivalente utiliza la notación de la forma

V_{\alpha }:=\bigcup _{{\beta <\alpha }}{\mathcal {P}}(V_{\beta })

donde es un número ordinal arbitrario y el booleano del conjunto . $\alfa$ ${\mathcal {P}}(X)$ $X$

El rango de un conjunto es el más pequeño , por lo que $S$ $\alfa$ $S\subseteq V_{\alpha }\,.$

La siguiente figura muestra una representación esquemática de los primeros cinco niveles de la jerarquía de von Neumann (de a ). (Una caja vacía corresponde a un conjunto vacío. Una caja que contiene solo un bloque vacío corresponde a un conjunto cuyo único elemento es el conjunto vacío, y así sucesivamente). $V_{0}$ $V_{4}$

El conjunto consta de 65536 elementos. El tamaño del conjunto es igual y excede significativamente el número de átomos en el universo observable . Por lo tanto, los niveles finales de la jerarquía acumulativa con un índice superior a 5 no se pueden escribir de forma explícita. El conjunto tiene la misma cardinalidad que . La potencia coincide con la potencia del conjunto de los números reales . $V_{5}$ $V_{6}$ $2^{{65536}}$ $V_{\omega}$ $\omega$ $V_{{\omega +1}}$

Relación con la teoría de conjuntos

Si es el conjunto de los números naturales , entonces el conjunto consta de conjuntos hereditariamente finitos y es un modelo de teoría de conjuntos sin el axioma de infinito . está el universo de las "matemáticas ordinarias" y el modelo de teoría de conjuntos de Zermelo . Si es un número cardinal inalcanzable , entonces es un modelo de la propia teoría ZFC , mientras que es un modelo de la teoría de conjuntos de Morse-Kelly . $\omega$ $V_{\omega}$ $V_{{\omega +\omega }}$ $\kappa$ $V_{\kappa}$ $V_{{\kappa +1}}$

$V$ no es "el conjunto de todos los conjuntos " por dos razones. Primero, V no es un conjunto; a pesar de que cada una de las colecciones es un conjunto, su unión es una clase propia . En segundo lugar, solo los conjuntos bien fundados entran en la clase como elementos. De acuerdo con el axioma de fundamento (o regularidad), todo conjunto está bien fundado y, por tanto, pertenece a la clase . Así, en la teoría ZFC, cada conjunto es un elemento de la clase . Sin embargo, en otros sistemas axiomáticos , el axioma fundacional puede ser reemplazado por su negación fuerte (por ejemplo, el axioma antifundamental de Axel ), o simplemente estar ausente. Tales teorías de conjuntos infundados no suelen aplicarse en la práctica, pero bien pueden ser objeto de estudio. $V_{\alfa}$ $V$ $V$ $V$ $V$

La tercera objeción a la interpretación como "el conjunto de todos los conjuntos" es que no todo conjunto es "puro", es decir, puede expresarse en términos del conjunto vacío, booleano y unión. En 1908, Zermelo propuso agregar urelements a la teoría de conjuntos , y en 1930 construyó una jerarquía recursiva transfinita sobre su base. [3] Elementos ur similares se utilizan ampliamente en la teoría de modelos , en particular, los modelos de Frenkel-Mostowski [13] . $V$

Perspectiva filosófica

Hay dos enfoques principales (sin tener en cuenta varias opciones y gradaciones intermedias) para comprender la relación entre el universo de von Neumann y la teoría ZFC . En términos generales: los formalistas tienden a percibir como una especie de consecuencia de los axiomas de ZFC (por ejemplo, en la teoría de ZFC es posible probar que todo conjunto es un elemento de ), mientras que los realistas ven con mayor frecuencia en el universo de von Neumann un objeto que es directamente accesible a la intuición, y en los axiomas ZFC - declaraciones, cuya verdad en el contexto puede confirmarse utilizando argumentos directos expresados en lenguaje natural. Uno de los posibles puntos de vista intermedios es que la imagen mental de la jerarquía de von Neumann sirva como justificación de los axiomas ZFC (dando así objetividad), aunque no necesariamente se corresponda con ningún objeto de la vida real. $V$ $V$ $V$ $V$

Véase también

Notas

↑ Mirimanoff 1917; Moore 1982, págs. 261-262; Rubín 1967, pág. 214
↑ Gregory H. Moore, "Axioma de elección de Zermelo: sus orígenes, desarrollo e influencia", 1982, 2013, Dover Publications, ISBN 978-0-486-48841-7 . (En la página 279, el autor argumenta que la referencia al nombre de von Neumann es errónea. La contribución de Zermelo se menciona en las páginas 280 y 281).
↑ 1 2 Ernst Zermelo , Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: Neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, Fundamenta Mathematicae , 16 (1930) 29-47 (Nota págs. 36-40.)
↑ von Neumann, John (1928), Über die Definition durch transfinite Induktion und verwandte Fragen der allgemeinen Mengenlehre, Mathematische Annalen T. 99: 373–391
↑ von Neumann, John (1928), Die Axiomatisierung der Mengenlehre , Mathematische Zeitschrift Vol. 27: 669–752 , < http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN =PPN266833020_0027&DMDID=DMDLOG_0042 > (Consulte las páginas 745-752).
↑ 1 2 Bernays, Paul. Teoría Axiomática de Conjuntos (neopr.) . - Publicaciones de Dover , 1991. - ISBN 0-486-66637-9 . (Ver págs. 203-209.)
↑ 12 Mendelson , Elliott. Introducción a la Lógica Matemática (indefinido) . — Van Nostrand Reinhold , 1964. (Consulte la página 202).
↑ Peano, Giuseppe. Arithmetices principia, nova methodo exposita (port.) . — 1889. (Ver páginas VIII y XI.)
↑ 12 Alfred North Whitehead ; Bertrand Russell . Principia Mathematica (neopr.) . - Merchant Books, 2009. - T. Volumen Uno. — ISBN 978-1-60386-182-3 . (Consulte la página 229.)
↑ Cohen, Paul Joseph. Teoría de conjuntos e hipótesis del continuo (neopr.) . — Addison–Wesley , 1966. — ISBN 0-8053-2327-9 . (Ver página 88)
↑ Gödel, Kurt. La consistencia del axioma de elección y de la hipótesis continua generalizada con los axiomas de la teoría de conjuntos (inglés) . - Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press , 1940. - vol. 3.- (Anales de Estudios Matemáticos).
↑ Roitman, Judith. Introducción a la Teoría Moderna de Conjuntos (neopr.) . - Universidad de la Commonwealth de Virginia , 2011. - ISBN 978-0-9824062-4-3 . (Consulte la página 79.)
↑ Howard, Pablo; Rubín, Jean. Consecuencias del axioma de elección (neopr.) . Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Estadounidense, 1998. págs . 175-221 . — ISBN 9780821809778 .

Literatura

Jech, Tomás. Teoría de conjuntos: la edición del tercer milenio, revisada y ampliada. - Springer, 2003. - ISBN 3-540-44085-2 .
Kunen, Kenneth. Teoría de conjuntos: una introducción a las pruebas de independencia. - Elsevier, 1980. - ISBN 0-444-86839-9 .

diccionarios y enciclopedias	Britannica (en línea)