Ecuación de Barker

La ecuación de Barker es una ecuación implícita que determina la relación entre la posición de un cuerpo celeste ( anomalía verdadera ) y el tiempo cuando se mueve a lo largo de una órbita parabólica [1] . Esta ecuación ha sido ampliamente utilizada en el estudio de las órbitas de los cometas [2] , cuyas órbitas tienen una excentricidad cercana a la unidad. En la actualidad, esta ecuación se utiliza en astrodinámica [2]

Problema que conduce a la ecuación de Barker

La solución del problema de dos cuerpos da la ecuación de trayectoria en coordenadas polares en la forma

r={\frac {p}{1+e\,\cos \vartheta ))

donde está el parámetro de la órbita; es la excentricidad de la órbita; - anomalía verdadera - el ángulo entre el radio vector de la posición actual del cuerpo y la dirección al periapsis. Por otro lado, se cumple la segunda ley de Kepler. $pags$ $mi$ $\vartheta$

r^{2}\,{\frac {d\vartheta}{dt}}=c

donde es constante el área. Con base en estas ecuaciones, es fácil obtener una integral que relacione el tiempo y la verdadera anomalía en puntos y órbitas. $C$ $A_0$ $A_{1}$

{\displaystyle t_{1}-t_{0}={\frac {p^{2}}{c}}\,\int \limits_{\vartheta_{0}}^{\vartheta_{1} }{\frac {d\vartheta}{\left(1+e\,\cos \vartheta \right)^{2))))

La forma en que se calcula esta integral depende de la cantidad de excentricidad (consulte la ecuación de Kepler ). Para una trayectoria parabólica , en este caso llegamos a una cadena trivial de transformaciones ${\ estilo de visualización e = 1}$

t_{1}-t_{0}={\frac {p^{2}}{c}}\,\int \limits_{\vartheta_{0}}^{\vartheta_{1} }{\frac {d\vartheta }{\left(1+\cos \vartheta \right)^{2}}}={\frac {p^{2}}{4\,c}}\,\int \limits _{\vartheta _{0}}^{\vartheta _{1}}\left(1+{\rm {tg}}^{2}{\frac {\vartheta}{2}}\right) ^{2}\,d\vartheta =\left|{\rm {tg}}{\frac {\vartheta }{2}}=z,\,d\vartheta ={\frac {2\,dz}{ 1+z^{2}}}\right|={\frac {p^{2}}{2\,c}}\int \limits_{{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _ {0}}{2}}}^{{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _{1}}{2}}}\left(1+z^{2}\right)\,dz ={\frac {p^{2}}{2\,c}}\left[{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _{1}}{2}}-{\rm {tg} }{\frac {\vartheta _{0}}{2}}+{\frac {1}{3}}\left({\rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta _{1 }}{2}}-{\rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta _{0}}{2}}\right)\right]

Dado que el parámetro de la órbita está relacionado con la constante de área

p={\frac{c^{2}}{\mu}}

donde es el parámetro gravitatorio del cuerpo central, y el área constante, en el caso de movimiento parabólico $\mu$

c=r_{\pi }\,v_{\pi }=r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,\mu }{r_{\pi ))))

dónde está la distancia al periapsis; - velocidad en el pericentro, cuando se mueve a lo largo de una parábola, que es una velocidad parabólica . Entonces, obtenemos para el parámetro de la órbita y llegamos a la expresión final ${\ estilo de visualización r_ {\ pi))$ $v_{\pi }$ ${\displaystyle p=2\,r_{\pi ))$

t_{1}-t_{0}=r_{\pi }{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\left[{\rm {tg}} {\frac {\vartheta _{1}}{2}}-{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _{0}}{2}}+{\frac {1}{3}}\ izquierda({\rm {tg))^{3}{\frac {\vartheta _{1}}{2}}-{\rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta _{0} {2}}\derecho)\derecho]

Ahora aceptamos que el punto inicial de la trayectoria es el pericentro, y por tanto transformamos la dependencia resultante a la forma ${\ estilo de visualización \ vartheta _ {0} = 0}$

n\,\left(t-t_{0}\right)={\rm {tg}}{\frac {\vartheta }{2}}+{\frac {1}{3}}{\ rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta}{2}}

donde es el movimiento medio del cuerpo celeste. Como resultado, obtenemos una ecuación cúbica de la forma $n={\sqrt {\frac {\mu }{2\,r_{\pi }^{3))))$

S+{\frac{1}{3}}\,S^{3}-M=0

donde , es la anomalía promedio de la órbita del cuerpo celeste. Esta ecuación se llama ecuación de Barker . $S={\rm {tg}}{\frac {\vartheta}{2}}$ $M=n\,\left(t-t_{0}\right)$

Esta ecuación representa la dependencia implícita de la verdadera anomalía en el tiempo cuando un cuerpo celeste se mueve a lo largo de una trayectoria parabólica. ${\ estilo de visualización \ vartheta (t)}$

Solución de la ecuación de Barker

La ecuacion

S+{\frac{S^{3}}{3}}-M=0

es una ecuación cúbica escrita en la forma canónica de Cardano y tiene una solución analítica. Por medio del álgebra computacional, es fácil obtener esta solución que contiene una raíz real y dos conjugadas complejas

S_{1}=x-{\frac {1}{x)),\quad S_{2,3}=-{\frac {x}{2))+{\frac {1}{2 \,x}}\pm i\,{\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\left(x+{\frac {1}{x}}\right)

dónde $x={\frac {1}{2}}\,{\raíz cuadrada[{3}]{12\,M+4\,{\raíz cuadrada {9\,M^{2}+4}} }}$

El significado físico de este problema corresponde solo a la raíz real, por lo que podemos escribir

S={\rm {tg}}{\frac {\vartheta}{2}}=x-{\frac {1}{x}}

Dada esta raíz, se puede calcular el seno y el coseno de la anomalía verdadera

\cos \vartheta ={\frac {1-S^{2}}{1+S^{2}}},\quad \sin \vartheta ={\frac {2\,S}{1+ S^{2}}}\cuádruple

por el cual, teniendo en cuenta su signo, se determina la verdadera anomalía ${\ estilo de visualización \ vartheta \ en [0, \, 2 \, \ pi)}$

Ecuación de Barker

Problema que conduce a la ecuación de Barker

Solución de la ecuación de Barker

Véase también

Notas

Literatura