Integral funcional
La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 23 de agosto de 2022; la verificación requiere 1 edición .La integral funcional (integral de trayectoria, integral de trayectoria, integral de trayectoria de Feynman, integral de Feynman) es un registro o resultado de la integración funcional (integración de trayectoria). Encuentra su mayor aplicación en la física cuántica ( teoría cuántica de campos, teoría de cuerdas , etc.) y la física estadística, así como en el estudio de una serie de clases de procesos estocásticos en general.
La integración funcional significa formalmente el cálculo de la integral de algún funcional Ф sobre el espacio de funciones x ( t ) o algún subconjunto [1] de dicho espacio:
![{\ estilo de visualización \ int Dx \, \ Phi [x],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ecf4c074f46d7e99b3f422b9df83a4d016a2470)
que se define como el límite de la integral (de dimensión finita) sobre el espacio de ciertas aproximaciones de dimensión finita de las funciones x ( t ) ya que la dimensión de estas aproximaciones tiende a infinito; la forma usual y más simple es considerar la función x en un conjunto finito de puntos , luego definiendo la integral funcional en el caso más simple de una partición uniforme, que puede ser limitada, como
![{\displaystyle \lim _{N\to \infty }\int \int \dots \int dx_{1}\,dx_{2}\dots dx_{N}\,\Phi [x_{1},x_{2 },\puntos,x_{N}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44a1a501a77b8dcf41b9dc80e7f457621f2cf959)
donde por se entiende la correspondiente aproximación del funcional Ф[ x ], mientras que la integración se entiende por separado sobre de a (en el caso de fijos y sobre ellos, no es necesario integrar).
![{\ estilo de visualización \ Phi [x_{1}, x_ {2}, \ puntos, x_ {N}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/690da5b7697a4d9fc38bf0864ce2b369f052962a)
La corrección de esta definición ya está en entredicho en el sentido de que incluso para muchos de esos casos que son de interés físico, por no hablar de una formulación más general de la cuestión, la existencia misma del límite (en particular, su igualdad a la hora de elegir diferentes tipos de particiones) no ha sido probado; además, en una serie de ejemplos, diferentes tipos dan resultados diferentes) y en muchos casos no hay forma de especificar criterios claros para elegir el tipo de particiones "correcto", que conducirá exactamente al resultado deseado, lo que significa que la corrección de la determinación de la medida de integración no ha sido probada ni siquiera para muchos de esos casos, que son de interés físico, al menos en el sentido habitual.
Además, una seria dificultad es el cálculo exacto de tales integrales (con la excepción del caso Gaussiano).
Sin embargo, incluso el hecho de que al menos las integrales de tipo gaussiano se calculen exactamente da mucho para la aplicación del método de integración funcional. En particular, este resultado puede tomarse como la definición de una integral funcional para este caso y probar que, estando así definida, realmente tiene las propiedades de una integral: admite integración por partes, cambios de variable, etc. [2]
El significado físico de la integral funcional suele reducirse a calcular la suma (superposición) de una determinada cantidad (normalmente es la probabilidad para la física estadística clásica o la amplitud de probabilidad para la mecánica cuántica) sobre “todas” las trayectorias (es decir, sobre todas las trayectorias). partículas clásicas disponibles en el caso del movimiento browniano y a lo largo de todo lo imaginable en el caso de la mecánica cuántica).
Aplicación principal
Modelos
Un paseo aleatorio ordinario puede generar, cuando se reformula, un camino integral con una determinada acción. Esto es generalmente relativamente obvio en casos simples.
Se demostró que una forma similar de generar un camino integral con la acción habitual también funciona en el caso bidimensional: obtener una acción para una cuerda (un objeto bidimensional, teniendo en cuenta la dimensión del tiempo).
Analogías físicas
La analogía de la integral de trayectoria para una partícula puntual es la función de partición (peso estadístico) para un hilo de polímero [3] .
Cálculo
Cálculo exacto
Como se mencionó anteriormente, el cálculo exacto de la integral funcional de la forma
![{\displaystyle \int Dx\,e^{kS[x]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e9bd06c28e8148ca0424fed22934e98f2ab74a5)
donde k puede ser puramente imaginario en el caso cuántico o real en el caso de la difusión clásica, sólo si es de tipo gaussiano, es decir, cuando la acción de S es cuadrática en x ( la lagrangiana es cuadrática en x y sus derivadas, o tal vez , incluso en algunos casos similares: lo principal es que S sea una forma cuadrática, definida negativa en el caso real).
El método se reduce a escribir una versión discreta, de acuerdo con la definición al comienzo del artículo. Las integrales (ordinarias) que entran en la fórmula se toman exactamente (como gaussianas ) y se puede llegar al límite.
Cálculo aproximado
Métodos numéricos
Los métodos computacionales relacionados con la búsqueda de los valores de las integrales de trayectoria usando una computadora, incluidas las fórmulas de cuadratura como las fórmulas de Simpson y otros métodos, se han desarrollado bastante en 2010, aunque son utilizados principalmente solo por especialistas limitados y para la mayoría. parte no son conocidas por los físicos.
Historia
La primera aparición de las integrales de trayectoria aparentemente se refiere al trabajo de Einstein y Smoluchowski.[ aclarar ] sobre la teoría del movimiento browniano .
Los fundamentos de la teoría matemática de tales integrales están ligados al trabajo de Wiener en la década de 1920 . Sin embargo, su teoría matemática rigurosa y suficientemente completa todavía encuentra importantes dificultades (relacionadas con la cuestión de la correcta introducción de una medida en el espacio de funciones, con el problema de probar la independencia del límite en el tipo de partición en un bastante general caso).
En 1933 (en su obra "Lagrangian in Quantum Mechanics") Dirac propuso la idea de utilizar la integral de trayectoria en la mecánica cuántica.
Feynman implementó este programa a fines de la década de 1940 al desarrollar el formalismo de la integral de caminos, que demostró ser extremadamente fructífero en física teórica. Esto significó la aparición de un método técnicamente nuevo (que, además de los puramente técnicos, también tenía una serie de ventajas intuitivas) para construir teorías cuánticas, que posteriormente se convirtió en quizás el más popular entre los teóricos. El propio Feynman, basándose en el formalismo de la integral de trayectoria, construyó una técnica tan básica de la teoría cuántica de campos como los diagramas de Feynman .
Utilizando la integral de trayectoria se obtuvieron resultados tan fundamentales como, por ejemplo, la prueba de la renormalizabilidad de la teoría de Yang-Mills ( Faddeev y Popov ).
Véase también
- Formulación en términos de integrales de trayectoria
- Distribución continua gaussiana
- Teorema de Wick para la integral funcional
- Teoría de la perturbación del campo cuántico en física estadística
Notas
- ↑ El ejemplo más típico de un dominio de integración en un espacio de funciones es el conjunto de todas las funciones de un espacio dado que cumplen la condición de fijar sus valores en dos puntos (en los extremos de un segmento).
- ↑ Artículo en la copia de archivo de la Enciclopedia física fechada el 29 de febrero de 2012 en Wayback Machine (A. A. Slavnov).
- ↑ Poliakov, 1999 .
Literatura
- Simon B. Integración Funcional y Física Cuántica. — Prensa Académica, 1979.
- Berezin F. A. Segundo método de cuantificación. — M .: Nauka , 1986. — 320 p.
- Zinn-Justin J. Integral continua en mecánica cuántica. — M .: Fizmatlit , 2010. — 360 p.
- Lobanov Yu. Yu. Métodos de integración funcional aproximados para la investigación numérica de modelos en física cuántica (tesis para el grado de Doctor en Ciencias Físicas y Matemáticas). - M. , 2009.
- Polyakov A. M. Campos de calibre y cadenas. - Izhevsk: RHD, 1999. - 316 p.
- Popov VN Integrales continuas en teoría cuántica de campos y mecánica estadística. — M .: Atomizdat , 1976. — 256 p.
- Slavnov AA, Faddeev LD Introducción a la teoría cuántica de los campos de norma. — M .: Nauka , 1988. — 272 p.
- Smolyanov O. G. , Shavgulidze E. T. Integrales continuas. — M .: Nauka , 1990. — 150 p.
- Feynman R., Hibs A. Mecánica cuántica e integrales de trayectoria. — M .: Mir , 1968. — 384 p.
- Shestakova TP Método de la integral de trayectoria en la teoría cuántica de campos. - Izhevsk: IKI, 2005. - 228 p.