Fórmula de Simpson
La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 28 de diciembre de 2019; las comprobaciones requieren 19 ediciones .La fórmula de Simpson (también Newton -Simpson [1] ) se refiere a las técnicas de integración numérica . Lleva el nombre del matemático británico Thomas Simpson (1710-1761).
La esencia del método radica en la aproximación del integrando sobre el segmento por un polinomio de interpolación de segundo grado , es decir, la aproximación de la gráfica de la función sobre el segmento por una parábola. El método de Simpson tiene un orden de error de 4 y un orden algebraico de precisión de 3.
![[a,b]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
Fórmula
La fórmula de Simpson es la integral de un polinomio de interpolación de segundo grado sobre un segmento :
donde , y son los valores de la función en los puntos correspondientes (en los extremos del segmento y en su medio).
Precisión
Siempre que la función sobre el segmento tenga una cuarta derivada , el error , según la fórmula hallada por Giuseppe Peano , es igual a:
![E(f)=-{\frac {(ba)^{5}}{2880}}{{f^{{(4)}}(\zeta ))),\ \ \ \zeta \in [a, b].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f433d5ee51bf8430229b9d4b9461ee9f457929dc)
Debido al hecho de que el valor a menudo se desconoce, se utiliza la siguiente desigualdad para estimar el error:
![\left|E(f)\right|\leqslant {\frac {(ba)^{5}}{2880}}\max \limits_{{x\in [a,b]}}{\left|f ^{{(4)}}(x)\derecha|}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0286f6a0dbc988cdd1a83b0303ac005d3e490372)
Representación en la forma del método de Runge-Kutta
La fórmula de Simpson se puede representar como una tabla del método de Runge-Kutta de la siguiente manera:
Fórmula compuesta (fórmula de Cotes)
Para un cálculo más preciso de la integral, se divide el intervalo en segmentos elementales de la misma longitud y se aplica la fórmula de Simpson a los segmentos compuestos. Cada segmento compuesto consta de un par adyacente de segmentos elementales. El valor de la integral original es la suma de los resultados de integración en los segmentos compuestos:
donde es el tamaño del paso, y son los límites alternos y los puntos medios de los segmentos compuestos en los que se aplica la fórmula de Simpson. Un segmento compuesto similar consta de dos segmentos elementales . Por lo tanto, si trazamos paralelos con la fórmula simple de Simpson, entonces, en este caso, la mitad del segmento en el que se aplica la fórmula de Simpson se convierte en . Por lo general, para una cuadrícula uniforme, esta fórmula se escribe en otra notación (el segmento se divide en segmentos) en la forma
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}\left[f(x_{0})+2\sum _{j= 1}^{N/2-1}f(x_{2j})+4\sum_{j=1}^{N/2}f(x_{2j-1})+f(x_{N}) \Correcto],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d56e22c1c27c88d58eec2e54929f524d69aa1f5)
![{\ estilo de visualización [x_{j-1},x_{j+1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/662ade106e57ea7bf0999c9600edb80f2d5e9fa9)
![{\ estilo de visualización [x_{j-1},x_{j}],[x_{j},x_{j+1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1999f53bbec26a0bdd09d31943eb43fb13bd5d3)
![\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+4f(x_{1})+ 2f(x_{2})+4f(x_{3})+2f(x_{4})+\cdots +4f(x_{{N-1)))+f(x_{N}){\bigg ] }.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66c8c4e7dbfcaf9b3045745b4fd7b9240f1cae71)
Además, la fórmula se puede escribir usando solo los valores conocidos de la función, es decir, los valores de los nodos:
donde significa que el índice cambia de uno con un paso igual a dos.![{\int \limits _{a}^{b}f(x)dx}\approx {\frac {h}{3}}\cdot \sum _{{k=1,2}}^{{N- 1}}\izquierda[f(x_{{k-1}})+4f(x_{k})+f(x_{{k+1}})\derecha]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7f315f4a998aa231b1a8873ac449772d1907ca1)
El error total durante la integración sobre un segmento con un paso (en este caso, en particular, , ) está determinado por la fórmula [2] :
.
![\left|E(f)\right|\leqslant {\frac {(ba)}{2880}}h^{4}\max \limits_{{x\in [a,b]}}|f^{ {(4)}}(x)|](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec21769097e7f35df4c82f8eecbb44142061301e)
Si es imposible estimar el error usando el máximo de la cuarta derivada (por ejemplo, no existe en un intervalo dado o tiende a infinito), se puede usar una estimación más aproximada:
.![\left|E(f)\right|\leqslant {\frac {(ba)}{288}}h^{3}\max \limits_{{x\in [a,b]}}|f^{ {(3)}}(x)|](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d8a735a238d91d8943f1686a97dd9ce08a72663)
Verificación de la fórmula compuesta de Simpson en el caso de integración de picos estrechos
La fórmula compuesta de Simpson falla la prueba de error en el caso de funciones similares a picos estrechas (pequeño número de puntos por pico), siendo mucho menos efectiva [3] que la regla trapezoidal. Es decir, para lograr el mismo error que en el caso de la regla trapezoidal, la regla compuesta de Simpson requiere 1,8 veces más puntos. La integral de la regla compuesta de Simpson se puede descomponer en una superposición de dos integrales: 2/3 de la integral trapezoidal con paso h, y 1/3 de la regla del rectángulo central con paso 2h, y el error de la regla compuesta de Simpson corresponde al segundo término. Es posible construir una modificación satisfactoria de la regla de Simpson promediando los esquemas de esta regla, obtenidos con un desplazamiento del marco de suma en un punto, y se obtienen las siguientes reglas [3] :
∫ a b F ( X ) d X ≈ h 24 [ − F ( X − una ) + 12 F ( X 0 ) + 25 F ( X una ) + 24 ∑ i = 2 norte − 2 F ( X i ) + 25 F ( X norte − una ) + 12 F ( X norte ) − F ( X norte + una ) ] {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\tfrac {h}{24}}\left[-f(x_{-1})+12f(x_{0 })+25f(x_{1})+24\sum_{i=2}^{n-2}f(x_{i})+25f(x_{n-1})+12f(x_{n} )-f(x_{n+1})\derecha]} en el que se utilizan valores que van más allá del límite del intervalo de integración, o ∫ a b F ( X ) d X ≈ h 24 [ 9 F ( X 0 ) + 28 F ( X una ) + 23 F ( X 2 ) + 24 ∑ i = 3 norte − 3 F ( X i ) + 23 F ( X norte − 2 ) + 28 F ( X norte − una ) + 9 F ( X norte ) ] {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\tfrac {h}{24}}\left[9f(x_{0})+28f(x_{1}) +23f(x_{2})+24\sum_{i=3}^{n-3}f(x_{i})+23f(x_{n-2})+28f(x_{n-1} )+9f(x_{n})\derecha]} en el que no se utilizan valores fuera del intervalo de integración. La aplicación de la segunda de las reglas a un tramo de tres puntos genera la regla de Simpson 1/3, a un tramo de 4 puntos - 3/8.![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\tfrac {h}{24}}\left[-f(x_{-1})+12f(x_{0 })+25f(x_{1})+24\sum_{i=2}^{n-2}f(x_{i})+25f(x_{n-1})+12f(x_{n} )-f(x_{n+1})\derecha]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fc5347b4c60f196ec77e48ad2daaab1bc90c8fc)
en el que se utilizan valores que van más allá del límite del intervalo de integración, o
∫
a
b
F
(
X
)
d
X
≈
h
24
[
9
F
(
X
0
)
+
28
F
(
X
una
)
+
23
F
(
X
2
)
+
24
∑
i
=
3
norte
−
3
F
(
X
i
)
+
23
F
(
X
norte
−
2
)
+
28
F
(
X
norte
−
una
)
+
9
F
(
X
norte
)
]
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\tfrac {h}{24}}\left[9f(x_{0})+28f(x_{1}) +23f(x_{2})+24\sum_{i=3}^{n-3}f(x_{i})+23f(x_{n-2})+28f(x_{n-1} )+9f(x_{n})\derecha]}
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\tfrac {h}{24}}\left[9f(x_{0})+28f(x_{1}) +23f(x_{2})+24\sum_{i=3}^{n-3}f(x_{i})+23f(x_{n-2})+28f(x_{n-1} )+9f(x_{n})\derecha]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d134f5a6cae73f7e38d5ffe1900ebb728c0d4ed8)
en el que no se utilizan valores fuera del intervalo de integración. La aplicación de la segunda de las reglas a un tramo de tres puntos genera la regla de Simpson 1/3, a un tramo de 4 puntos - 3/8.
En estas reglas, los pesos de los puntos dentro del intervalo de integración son iguales a uno, las diferencias se observan solo en los extremos de la sección. Estas reglas se pueden asociar a la fórmula de Euler-Maclaurin , siempre que se tenga en cuenta la primera derivada y se denominan reglas de Euler-Maclaurin de primer orden [3] . La diferencia entre las reglas radica en la forma en que se calcula la primera derivada en los bordes del intervalo de integración. La diferencia de las primeras derivadas en los bordes de la sección de integración tiene en cuenta la contribución de la segunda derivada a la integral de la función. La fórmula de Euler-Maclaurin se puede usar de manera similar a las reglas de primer orden anteriores para construir reglas de integración de tercer, quinto y orden superior.
Véase también
Notas
- ↑ Fórmula de Newton-Simpson (enlace inaccesible) . Consultado el 14 de agosto de 2009. Archivado desde el original el 22 de mayo de 2010.
- ↑ Métodos numéricos / N. S. Bakhvalov, N. P. Zhidkov, G. M. Kobelkov. - 4ª ed. - M. : BINOM, Laboratorio del Saber, 2006. - S. 122. - 636 p. — ISBN 5-94774-396-5 .
- ↑ 1 2 3 Comparación de las reglas de integración en el caso de picos cromatográficos muy estrechos // Quimiometría y sistemas de laboratorio inteligentes. — 2018-08-15. — vol. 179 . — págs. 22–30 . — ISSN 0169-7439 . -doi : 10.1016/ j.chemolab.2018.06.001 .
Literatura
- Kostomarov DP , Favorskiy AP Conferencias introductorias sobre métodos numéricos . M.: Logos, 2004. 184 p. ISBN 5-94010-286-7
- Petrov IB , Lobanov AI Conferencias sobre Matemática Computacional . M.: Intuit, Binom, 2006. 523 p. ISBN 5-94774-542-9
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