Teoría de la perturbación del campo cuántico en física estadística

La teoría de la perturbación del campo cuántico en física estadística es un método para estudiar sistemas que interactúan en física estadística basado en técnicas desarrolladas originalmente para las necesidades de la física de partículas elementales. La teoría de la perturbación (PT) se basa en una consideración paso a paso de una perturbación, que se considera pequeña. En el paso cero, esta perturbación se elimina por completo, lo que corresponde a un sistema idealizado libre (sin perturbación). En el siguiente paso se tiene en cuenta la corrección de la aproximación cero, ya lineal en la perturbación, en el segundo paso la corrección cuadrática, y así sucesivamente. Por supuesto, de esta forma es imposible tener en cuenta la contribución de todos los pedidos al valor calculado. Por lo general, se limitan a los primeros términos de la expansión y concuerdan bien con los datos experimentales. Para refinar los cálculos, es necesario tener en cuenta los siguientes términos de expansión. TV se utiliza con mucho éxito en el método de integrales de trayectoria [1] [2]

Introducción

Un tema importante en la física estadística es la función de correlación completa . En el formalismo de las integrales de trayectoria, la función de correlación de n puntos se define como [3]

G_{k}(x_{1},...,x_{n})={\frac {\int {\mathfrak {D))\phi \phi (x_{1})...\phi (x_ {n})e^{{-S}}}{\int {\mathfrak {D}}\phi e^{{-S(\phi )))}},

aquí , es el hamiltoniano del sistema bajo consideración, es la constante de Boltzmann , es la temperatura absoluta y es el campo aleatorio del parámetro de orden (por ejemplo, la desviación de la densidad del sistema del promedio). Tenga en cuenta que esto a veces se denomina "acción", pero no debe confundirse con la acción real . Las funciones de correlación se pueden medir directamente en experimentos, por ejemplo, en la dispersión de la luz por fluctuaciones de densidad. $S(\phi )={\frac {H(\phi )}{k_{B}T}}$ $H(\phi)$ $k_B$ $T$ $\fi (x)$ $S(\fi)$

Toda la física del sistema está dictada por el tipo y las propiedades . El modelo más importante en física estadística es el modelo , que se describe mediante una acción de la forma: $S(\fi)$ $\phi^4$

S(\phi )=\int dx\left({\frac {c(\nabla \phi (x))^{2}}{2}}+{\frac {\tau {\phi (x)}^ {2}}{2}}+{\frac{g{\phi (x)}^{4}}{4!}}\derecha)

se supone que todos los parámetros aquí son funciones analíticas de la temperatura. Este modelo describe bien el comportamiento de los líquidos y vapores en las proximidades del punto crítico, el comportamiento de los imanes en las proximidades del punto de Curie, etc.

Para calcular las funciones de correlación, es necesario calcular la integral de trayectoria correspondiente a una acción dada o la funcional generadora . Está claro que en el caso general esto es imposible. Sólo se puede obtener una expresión analítica exacta para acciones que son cuadráticas en el campo, es decir, en el caso de una distribución gaussiana . Por esta razón, aquí se utiliza el método TV. Una pequeña perturbación en la teoría bajo consideración es el término . $g \ phi ^ {4}$

El problema de los infinitos

La pequeñez de la perturbación hace posible expandir el exponencial en potencias de la constante de acoplamiento g y luego calcular integrales de trayectoria con un hamiltoniano cuadrático. Dichos cálculos se basan en la aplicación del teorema de Wick y las reglas de Feynman . Usándolos, considere una función de correlación de 2 puntos:

G_{2}(x_{1},x_{2})={\frac {\int {\mathfrak {D))\phi e^{{-S_{0))}\phi (x_{1}) \phi (x_{2})\sum _{{j=0}}^{{\infty}}{\frac {1}{j!)}}{\left(-\int dx{\frac {g \ phi ^{4}}{4!}}\right)}^{j}}{\int {\mathfrak {D}}\phi e^{{-S_{0}}}\sum _{{j = 0}}^{{\infty}}{\frac {1}{j!)}}{\left(-\int dx{\frac {g\phi ^{4}}{4!}}\right )} ^{j}}}.

En la TV de orden cero en la constante de acoplamiento, obtenemos la función de correlación de la teoría libre:

G_{2}^{0}(x_{1},x_{2})={\frac {\int {\mathfrak {D))\phi e^{{-S_{0))}\phi (x_ {1})\phi (x_{2})}{\int {\mathfrak {D}}\phi e^{{-S_{0}}}}},

en el primer orden en g tenemos:

G_{2}^{1}(x_{1},x_{2})={\frac {\int {\mathfrak {D))\phi e^{{-S_{0))}\phi (x_ {1})\phi (x_{2})\left(-\int dx{\frac {g\phi ^{4}}{4!}}\right)}{\int {\mathfrak {D}} \phie^{{-S_{0}}}}}},

entonces la función de correlación en tal aproximación lineal será:

G_{2}(x_{1},x_{2})=G_{2}^{0}(x_{1},x_{2})+G_{2}^{1}(x_{1}, x_{2})+O(g^{2})

Todas las correcciones se construyen a partir del propagador de teoría libre y el término de interacción . En la representación del momento, la primera corrección en g corresponde al término: $G_{2}^{0}(x_{1},x_{2})$ $g \ phi ^ {4}$

G_{2}^{1}(p)=-{\frac {g}{2}}G_{2}^{0}(p)\int {\frac {d^{4}k}{(2 \pi )^{3}}}G_{2}^{0}(k)

, dónde

G_{2}^{0}(k)={\frac {1}{ck^{2}+\tau }}.

Se puede ver que esta integral diverge en pulsos grandes - UV (ultravioleta) - divergencia. Si introducimos un parámetro de corte, es decir, limitamos el área de integración por la condición , entonces . Así, está claro que ya en el primer paso del televisor aparecen infinitas expresiones. En general, los infinitos pueden aparecer no solo por divergencias UV de las integrales, sino también por divergencias IR (a pequeños momentos), divergencias colineales (por paralelismo de los momentos), etc. Se pueden regularizar utilizando algunos parámetros, por ejemplo ejemplo _ Como resultado, las expresiones calculadas se vuelven dependientes de estos parámetros de regularización desconocidos. Sin embargo, es posible redefinir los campos y cargos originales para que la respuesta no contenga un regularizador. Técnicamente, esto se hace agregando contratérminos a la acción original (básica), que dependen del parámetro de regularización y cargan y cancelan todos los términos regularizados en cada orden en g, haciendo que las respuestas sean finitas. Una teoría con tal acción corregida se llama renormalizada. Resulta que no siempre es posible reducir las divergencias en teoría. Si el número de contribuciones divergentes es finito, entonces la teoría es superrenormalizable, si su número es infinito, pero se pueden cancelar en todos los órdenes, entonces la teoría es renormalizable, si esto no se puede hacer, la teoría es no renormalizable. El modelo es superrenormalizable en dimensiones espaciales menores a 4, en 4 dimensiones es renormalizable, en un espacio de dimensiones superiores es imposible cancelar todos los infinitos. En general, la pertenencia de una teoría a una u otra categoría está determinada por la dimensión de la carga. $|k|\leqslant\Lambda$ $G_{2}^{1}(p)\sim {\Lambda}^{2}$ $\lambda$ $\fi^{4}$

Otra forma de regularizar es cambiar la dimensión del espacio . En este enfoque, las partes divergentes de las integrales tienen forma de polos en el parámetro . Agregar contratérminos a la acción básica es equivalente a estirar los parámetros iniciales (semilla): $4\rightarrow 4-\epsilon$ $\epsilon$

\phi (x)\rightarrow Z_{{\phi }}\phi (x),g\rightarrow g\mu ^({\epsilon }}Z_{g},\tau \rightarrow \tau Z_{{\tau } }.

A la hora de calcular, lo más conveniente es el esquema de sustracción mínima o esquema MS (de Minimal Substractions). En él, las cantidades son funciones de g adimensional (la dimensión de g es "tomada" por la masa de renormalización ) y . Estas cantidades tienen la estructura $Z_{{\phi )),Z_{g},Z_{{\tau }}$ $\mu$ $\epsilon$

Z(g,\epsilon)=1+\sum_{{n=1}}^({\infty}}g^{n}\sum_{{i=1}}^{{n}}{\ épsilon }^{{-i}}a_{{ni}},

donde son factores numéricos [4] [5] . $y yo}}$

Convergencia de series

Después de la renormalización, cada término de la serie de TV da una contribución finita. El siguiente problema a resolver es la convergencia de la serie resultante.

Está claro que la finitud de cada aportación no conlleva la finitud de la teleserie. Para determinar el radio de convergencia, puede utilizar el signo de d'Alembert :

R=\lim _{{N\rightarrow \infty}}{\frac {C_{N}}{C_{{N+1}}}},

aquí están los coeficientes de expansión de alguna cantidad en una serie en g. Esto implica que para determinar el radio de convergencia es suficiente conocer el comportamiento asintótico de at , es decir, el comportamiento asintótico de orden alto (HTO). $C_{N}$ $C_{N}$ $N\rightarrow\infty$

Considere la función de correlación completa de n puntos como una función de la carga g. Su desarrollo en serie en g tiene la forma:

G_{n}(x_{1},...,x_{n},g)=\sum_{{N=0}}^{{\infty}}g^{N}G_{n}^{ N}(x_{1},...,x_{n}),

y los coeficientes de expansión, bajo el supuesto de analiticidad , están determinados por la fórmula : $G_{n}(g)$

G_{n}^{N}={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{\gamma }{\frac {G_{n}(g)}{g^{{N+ 1 }}}}dg.

Esta vista le permite aplicar el método de aprobación al estudio de las AUA. La expresión final para el AVP de los coeficientes de expansión de la función de correlación de n puntos es:

G_{n}^{N}(x_{1},...,x_{n})=c(n)N!N^{{b(n)}}a^{N}(1+O( 1/N))F(x_{1},...,x_{n}),

las cantidades c(n), b(n) dependen solo de n, a es una constante, y son algunas funciones. Se puede ver que no hay necesidad de hablar de ninguna convergencia de la serie de televisión. En la mayoría de los casos, las series de televisión son asintóticas. [6] [7] $F(x_{1},...,x_{n})$

Descomposiciones de índices críticos

A pesar de que la aparición de divergencias UV en la TV genera algunas dificultades, esta situación también tiene un lado positivo. Como ya se sabe, en la regularización dimensional, las constantes de renormalización Z tienen la estructura de polos en . Resulta que los residuos en los polos simples de las constantes de renormalización contienen toda la información sobre el comportamiento crítico del modelo, es decir, sobre el comportamiento en la vecindad del punto crítico. Los índices críticos están directamente relacionados con las dimensiones anómalas, que están determinadas por estos residuos: . En este enfoque, los índices críticos se construyen como segmentos de series en términos del parámetro [8] . Como muestra el análisis del ATP de tal expansión, los coeficientes de estas series tienen las mismas asintóticas (a, b(n), c(n, por supuesto, difieren) que las funciones de correlación de n puntos. Por lo tanto, la suma directa de dichas expansiones no tiene ningún sentido, ya que el siguiente término hace una contribución mayor que el anterior. Sin embargo, las series factorialmente divergentes también se pueden sumar en un sentido generalizado y obtener resultados bastante buenos, y en los resultados finales deberíamos poner , si nos interesan los sistemas tridimensionales, o en el caso bidimensional. Observamos que los exponentes críticos se calcularon inicialmente en el marco de la teoría del campo medio de Landau y no estaban de acuerdo con el experimento. El enfoque de grupo de renormalización ( - expansión) permite calcular exponentes críticos con buena precisión [9] . $\epsilon$ $\eta =2\gamma _{{\phi }}(g_{*}),1/\nu =2+\gamma _{{\tau }}(g_{*})$ $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon=1$ $\epsilon=2$ $\epsilon$

Suma de Borel de series de perturbaciones

Ahora centrémonos en un método que te permita sumar series factorialmente divergentes.

Supongamos alguna función

Q(z)=\sum_{{k=0}}^{{\infty}}Q_{k}z^{k}

tiene una WUA del tipo . Entonces la función de Borel de una función es la función $Q_{k}\sim k!k^{b}{(-a)}^{k}$ $B(z)$ $Q(z)$

B(z)=\sum_{{k=0}}^{{\infty}}B_{k}z^{k}

tal que

B_{k}={\frac {Q_{k}}{(k+b_{0})!}},

Q(z)=\int \limits _{{0}}^{{\infty }}e^{{-t}}t^{{b_{0}}}B(zt)dt.

La validez de esta afirmación se basa en el teorema de Watson [10] [11] , que es cierto bajo la condición de que la función Q(z) sea analítica en algún sector del plano complejo de la variable z. Por regla general, en la teoría cuántica de campos y la física estadística, no conocemos de antemano las propiedades analíticas de la función para la que construimos la serie de televisión, por lo que la aplicabilidad del teorema de Watson permanece en duda. Considere la función como una función de la variable compleja z. De la definición de sus coeficientes de expansión se deduce que la WUA correspondiente tendrá la forma: $B(z)$

B_{k}\sim {(-a)}^{k}k^{{b-b_{0}}}.

De ello se deduce que en el círculo la serie converge a la función $|z|<1/a$

B(z)={\frac {r_{1}}{{(1+az)}^{{b-b_{0}+1}}}}+r_{2},

donde son constantes. Nótese que el contorno de integración cruza el círculo de convergencia de la serie y va más allá de la región de analiticidad , por lo tanto, para calcular el valor , es necesario construir continuaciones analíticas más allá de la región de convergencia. Tales extensiones se pueden construir de varias maneras. Uno de ellos es el método aproximado de Padé' . Un requisito adicional para la aproximación es la ausencia de polos en el eje de integración. El segundo método es el método de mapeos conformes [12] $\r_{1},r_{2}$ $B(z)$ $B(z)$ $Q(z)$ $B(z)$

Así, el procedimiento de reanudación consiste en el paso a una serie convergente, el cálculo de su suma y la transformación inversa al valor original. Si aplicamos este método a series convergentes ordinarias con suma S, luego de la suma de Borel obtenemos la misma respuesta S.

A modo de ejemplo, se presentan los valores de algunos exponentes críticos obtenidos por sumatoria - expansión (cinco bucles) ( ), expansión a alta temperatura (HT) y experimentalmente (E) para un ferromagnético isotrópico: $\epsilon$ $\epsilon$

Se puede ver que todos los métodos para calcular exponentes críticos dan el mismo resultado dentro del error. Por lo tanto, a pesar de que las series de televisión son asintóticas, y el parámetro de expansión formalmente pequeño en realidad resulta ser del orden de la unidad e incluso mayor, los resultados del cálculo son absolutamente objetivos. La verificación de la QED perturbativa para cantidades tales como el cambio de Lamb o el momento magnético anómalo brinda una precisión sin precedentes de concordancia entre la teoría y el experimento. El modelo estándar de interacciones electrodébiles de la física de partículas elementales también demuestra una asombrosa concordancia entre los cálculos de la teoría de la perturbación y los resultados experimentales. Sin embargo, a pesar de toda su eficacia, la televisión tiene un ámbito de aplicación limitado. Estas limitaciones están relacionadas con el aumento de la complejidad de los cálculos de bucle en cada orden sucesivo de TV y con la diferencia fundamental entre los espectros perturbativos y no perturbativos de la teoría. En QCD , no es posible arreglárselas solo con cálculos perturbativos debido a la presencia del fenómeno de confinamiento y el gran valor de la constante de acoplamiento en la región infrarroja.

Véase también

Notas

↑ Popov V. N. Integrales de trayectoria en teoría cuántica de campos y física estadística. — M .: Atomizdat , 1976.
↑ Schroeder D., Peskin M. Introducción a la teoría cuántica de campos. - Izhevsk: RHD, 2001. - ISBN 5-93972-083-8 .
↑ A. N. Vasiliev. Métodos funcionales en teoría cuántica de campos y estadística. - Leningrado: Leningrado. un-t, 1976. - S. 1976.
↑ Vasiliev A. N. Grupo de renormalización del campo cuántico en la teoría del comportamiento crítico y la dinámica estocástica. - San Petersburgo: PNPI, 1998. - Pág. 77. - ISBN 5-86763-122-2 .
↑ John C. Collins. Renormalización . – Cambridge. - Cambridge University Press: Cambridge University Press, 1984. - Pág . 62 . — ISBN 0-521-24261-4 .
↑ Lipatov L. N. Divergencia de series de teoría de perturbaciones y teoría semiclásica // ZhETF. - 1977. - T. 72 . - art. 411 .
↑ Brezin E., Le Guillou JC, Zinn-Justin J. Teoría de la perturbación a gran escala. I. La interacción // Phys. Rvdo. D.- 1977.- T. 15 , N° 1544 . $\fi ^{{2N}}$
↑ MaSh. Teoría moderna de los fenómenos críticos. - Colorado: Westview Press, 2000. - Pág. 172. - ISBN 978-0738203010 .
↑ Patashinsky A. Z., Pokrovsky V. L. Teoría de la fluctuación de las transiciones de fase. — M.: Nauka, 1982. — S. 347.
↑ Reed M., Simon B. 4 // Métodos de física matemática moderna Análisis de operadores. - California: Academic Press, 1978. - P. 50. - ISBN 978-0125850049 .
↑ H. Hardy. Serie Divergente. Nueva York: Chelsea Pub. Co., 1991. - ISBN 978-0821826492 .
↑ Zinn-Justin J. Teoría cuántica de campos y fenómenos críticos. - Oxford: Clarendon Press, 1996. - Pág. 997. - ISBN 978-0198509233 .

Literatura

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Zee E. Teoría cuántica de campos en pocas palabras.- Centro de Investigación "RCHD", 2009.
Wilson K. Grupo de renormalización y fenómenos críticos: conferencia Nobel. - mil novecientos ochenta y dos.