Ecuación funcional de Cauchy

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La ecuación de Cauchy funcional para una función tiene la forma $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

{\ estilo de visualización f (x + y) = f (x) + f (y)}

Una función que satisface esta ecuación se llama aditiva . Este término se aplica a funciones arbitrarias, no solo a funciones reales.

La ecuación de Cauchy es una de las ecuaciones funcionales más antiguas y sencillas , sin embargo, su solución en números reales es bastante complicada. En números racionales , se puede demostrar usando matemáticas elementales que existe una única familia de soluciones de la forma , donde c es una constante arbitraria. Esta familia de soluciones es también una de las soluciones del conjunto de los números reales. Las restricciones adicionales impuestas a , pueden excluir la posibilidad de la existencia de otras soluciones. Por ejemplo, las funciones lineales son las únicas soluciones posibles si: ${\ estilo de visualización f (x) = cx}$ $F$ ${\ estilo de visualización f (x) = cx}$

$F$ es continua (probada por Cauchy en 1821 ). Esta condición fue relajada en 1875 por Darboux , quien demostró que la continuidad de una función sólo es necesaria en un punto.
$F$ es monótono en algún intervalo.
$F$ acotado por arriba o por abajo en algún intervalo (caso especial: conserva el signo en algún intervalo). $F$
para algún intervalo de valores de argumento, hay un intervalo de valores distintos de cero que la función no toma en este intervalo (una versión más general del caso anterior). $F$
$F$ integrable (en particular, según Lebesgue ) en algún intervalo.
$F$ medible en algún intervalo.

Por otro lado, si no hay restricciones adicionales sobre , entonces hay infinitas otras funciones que satisfacen la ecuación (ver el artículo " Base de Hamel "). Esto fue probado en 1905 por Georg Hamel usando la base de Hamel , y por lo tanto el axioma de elección . Una generalización del Tercer Problema de Hilbert al caso de espacios multidimensionales utiliza esta ecuación. $F$

Otras formas de la ecuación funcional de Cauchy

Las siguientes ecuaciones funcionales son equivalentes a la ecuación aditiva de Cauchy : $f\izquierda(x+y\derecha)=f\izquierda(x\derecha)+f\izquierda(y\derecha)$

ecuación logarítmica de Cauchy (una de las familias de soluciones tiene la forma ). $f\izquierda(xy\derecha)=f\izquierda(x\derecha)+f\izquierda(y\derecha)$ $f\left(x\right)=c\ln \left|x\right|=\log _{a}\left|x\right|$
potencia de la ecuación de Cauchy (una de las familias de soluciones tiene la forma ). $f\left(xy\right)=f\left(x\right)f\left(y\right)$ ${\displaystyle f\left(x\right)=\left|x\right|^{a))$
ecuación exponencial de Cauchy (una de las familias de soluciones tiene la forma ). $f\left(x+y\right)=f\left(x\right)f\left(y\right)$ ${\displaystyle f\left(x\right)=\exp \left(cx\right)=a^{x))$

La solución degenerada de estas ecuaciones es la función . ${\ estilo de visualización f \ izquierda (x \ derecha) = 0}$

Solución en números racionales

Demostremos que los números racionales se pueden sacar del signo de la función. Tomemos : $n\in \mathbb {N}$

f(nx)=f(x+x+\cdots +x)=f(x)+f(x)+\cdots +f(x)=nf(x)

f\left({\frac {x}{n}}\right)={\frac {nf(x/n)}{n}}={\frac {f(x)}{n}}

Ahora pongamos y : ${\ estilo de visualización x = y = 0}$ ${\ estilo de visualización y = -x}$

{\ estilo de visualización f (0) = f (0) + f (0) \ flecha derecha f (0) = 0}

f(0)=f(x)+f(-x)\Flecha derecha f(-x)=-f(x)

Poniendo todo junto, obtenemos:

\forall a\in \mathbb {Q} ,x\in \mathbb {R} :f(ax)=af(x)

Configurando y denotando , tenemos una familia única de soluciones . $x=1$ ${\ estilo de visualización c = f \ izquierda (1 \ derecha)}$ ${\ estilo de visualización f (x) = cx}$ $\matemáticas {Q}$

Existencia de soluciones no lineales

La prueba de la existencia de soluciones no lineales no es constructiva y se basa en el axioma de elección . Con su ayuda, se demuestra la existencia de la base de Hamel en cualquier espacio vectorial , incluidos los de dimensión infinita.

Considere como un espacio vectorial sobre el campo : tiene una base de Hamel. Tomemos el coeficiente frente a algún vector base en la expansión del número según la base: este será el valor . La función resultante toma valores racionales (como coeficiente en la expansión sobre ) y no es idénticamente igual a cero ( ), y por lo tanto no puede ser lineal. Es fácil entender que es aditivo, es decir, satisface la ecuación de Cauchy. $\matemáticas {R}$ $\matemáticas {Q}$ $\alfa$ $X$ ${\ estilo de visualización f (x)}$ $\matemáticas {Q}$ ${\ estilo de visualización f (\ alfa) = 1}$

En el caso general, sea la base de Hamel del conjunto de los números reales sobre el campo de los números racionales . Entonces para cada real hay una expansión en la base de Hamel (donde ), y tal expansión es única hasta el orden de los términos de expansión y los términos con factores cero. Para una función aditiva , se debe cumplir la condición , donde son números reales fijos (los factores racionales se pueden sacar del signo de la función aditiva, ver la sección anterior). Es obvio que la función dada por esta relación satisface la ecuación aditiva de Cauchy para cualquier elección de números auxiliares . Sin embargo, solo cuando , donde es un número real arbitrario, la función en cuestión resulta ser una función lineal de . $\{r_{\alfa}\}$ $\matemáticas {R}$ $\matemáticas {Q}$ $X$ $x=k_{{\alpha _{1}}}r_{{\alpha _{1}}}+\cdots +k_{{\alpha _{n}}}r_{{\alpha _{n}}}$ $k_{i}\in {\matemáticas {Q}}$ $f(x)$ $f(x)=k_{\alpha _{1}}f_{\alpha _{1}}+\cdots +k_{\alpha _{n}}f_{\alpha _{n}}$ $f_{\alpha _{n}}=f(r_{\alpha _{n}})$ $f(x)$ ${\ Displaystyle f_ {\ alfa _ {n}}}$ $f(x+y)=f(x)+f(y)$ $f_{\alpha _{n}}\equiv c\cdot r_{\alpha _{n}}$ $C$

Propiedades de las soluciones no lineales

Ahora probaremos que cualquier solución no lineal debe ser una función bastante inusual: su gráfico debe ser denso en todas partes . Esto significa que cualquier círculo arbitrariamente pequeño en el plano contiene al menos un punto de este gráfico. Otras propiedades se deducen fácilmente de esto, como la discontinuidad en cualquier punto, la no monotonicidad y la falta de límites en cualquier intervalo. $y = f(x)$ $\matemáticas {R} ^{2}$

Podemos, dividiendo la función por , suponer que . (Si , entonces , y el razonamiento dado a continuación sigue siendo válido con cambios mínimos, asumiendo que hay un punto para el cual ). Si la función no es lineal, entonces para algunos : establecemos . Ahora mostremos cómo encontrar un punto gráfico en un círculo arbitrario con centro en un punto de radio , donde . Está claro que esto es suficiente para la densidad del gráfico en todas partes en . ${\ estilo de visualización c = f (1)}$ $\forall a\in \mathbb {Q} :f(a)=a$ ${\ estilo de visualización f (1) = 0}$ $\forall a\in \mathbb {Q} :f(a)=0$ ${\ estilo de visualización \ alfa \ en \ mathbb {R}}$ ${\ estilo de visualización f (\ alfa) \ neq 0}$ $f(x)$ ${\ estilo de visualización f (\ alfa) \ neq \ alfa}$ ${\ estilo de visualización \ alfa \ en \ mathbb {R}}$ ${\ estilo de visualización f (\ alfa) = \ alfa + \ delta, \ delta \ neq 0}$ $(x,y)$ $r$ $x,y,r\in \mathbb {Q},r>0,x\neq y$ $y = f(x)$ $\matemáticas {R} ^{2}$

Establezcamos y elijamos un número racional cercano a , de modo que: ${\ estilo de visualización \ beta = {\ frac {yx} {\ delta}}}$ $b\neq 0$ $\beta$

\left|\beta -b\right|<{\frac {r}{3\left|\delta \right|}}

Luego elige un número racional cercano a , de modo que: $a$ $\alfa$

\left|\alpha -a\right|<{\frac {r}{3\left|b\right|}}

Ahora tomemos y, usando la ecuación funcional, obtenemos: ${\ estilo de visualización X = x + b (\ alfa -a)}$

Y=f(X)=f(x+b(\alpha -a))

{\ estilo de visualización = x + bf (\ alfa)-bf (a)}

=y-\delta \beta +bf(\alpha)-bf(a)

=y-\delta \beta +b(\alpha +\delta )-ba

=y+b(\alpha -a)-\delta (\beta -b)

Pero entonces , es decir, el punto estaba dentro del círculo. $(Yy)^{2}+(Xx)^{2}=(b(\alpha -a)-\delta (\beta -b))^{2}+(b(\alpha -a) )^{2}\leqslant \left({\frac {r}{3}}+{\frac {r}{3}}\right)^{2}+\left({\frac {r}{3 }}\derecho)^{2}<r^{2}$ ${\ estilo de visualización (X, Y)}$

También se puede demostrar [1] que cuando una función aditiva no es lineal, será discontinua en cualquier punto del eje real, y además no conserva signo, no está acotada por arriba o por abajo, no es monótona , no es integrable , y no es medible en ningún intervalo arbitrariamente pequeño, llenando, de acuerdo con la declaración sobre la densidad del gráfico demostrado anteriormente, en todas partes del plano , en cualquier intervalo arbitrariamente pequeño, llenando densamente todo el eje real con sus valores . $f(x)$ $y = f(x)$ $\matemáticas {R} ^{2}$ $\left(-\infty,+\infty\right)$

Notas

↑ Universidad Rutgers . Consultado el 3 de noviembre de 2019. Archivado desde el original el 3 de noviembre de 2019. (indefinido)

Literatura

N. K. Vereshchagin, A. Shen. Inicios de la Teoría de Conjuntos . — Pág. 82. — (Conferencias sobre lógica matemática y teoría de algoritmos).
Resolviendo la ecuación funcional de Cauchy - Universidad de Rutgers