El tercer problema de Hilbert

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El tercer problema de Hilbert es el tercero de los problemas planteados por David Hilbert en su famosa charla en el II Congreso Internacional de Matemáticos de París en 1900. Este problema está dedicado a las cuestiones de composición igual de poliedros : la posibilidad de dividir dos poliedros de igual volumen en un número finito de partes iguales de poliedros.

La formulación de tal pregunta se debió al hecho de que, por un lado, en un plano, dos polígonos cualesquiera de igual área están igualmente compuestos, como establece el teorema de Bolyai-Gervin . Por otro lado, los métodos existentes para demostrar la fórmula del volumen de un tetraedro (1/3 del producto de la altura por el área de la base) estaban relacionados de alguna manera con las transiciones límite y, por lo tanto, con el axioma de Arquímedes [1] . Aunque literalmente en la formulación propuesta por Hilbert se trata de la composición igual de los tetraedros (o, más precisamente, de la prueba de la imposibilidad de tal partición en el caso general), se amplía inmediata y naturalmente a la cuestión de la composición igual. de poliedros arbitrarios de un volumen dado (o, más precisamente, sobre el necesario y suficiente para estas condiciones).

El tercer problema resultó ser el más simple de los problemas de Hilbert: un año después, en 1901, se presentó un ejemplo de tetraedros desiguales de igual volumen en el trabajo [2] del alumno de Hilbert, M. V. Dehn . A saber, construyó (tomando valores en algún grupo abstracto ) una cantidad - el invariante de Dehn - cuyos valores en poliedros igualmente compuestos son iguales, y presentó un ejemplo de tetraedros de igual volumen, para los cuales los valores de los invariantes de Dehn son diferentes.

Más tarde, Seidleren su trabajo [3] de 1965, demostró que la coincidencia del volumen y la invariante de Dehn no sólo son condiciones necesarias, sino también suficientes para la equicomposición de poliedros.

Planteamiento del problema

El tercer problema de Hilbert se formula de la siguiente manera:

Gauss, en sus dos cartas a Gerling, lamenta que algunas posiciones bien conocidas de la estereometría dependan del método de agotamiento, es decir, en términos modernos, del axioma de continuidad (o del axioma de Arquímedes).

Gauss señala específicamente el teorema de Euclides, según el cual los volúmenes de las pirámides triangulares que tienen la misma altura están relacionados con las áreas de sus bases. Un problema similar de planimetría ahora ha sido completamente resuelto. Gerling también logró demostrar la igualdad de los volúmenes de los poliedros simétricos dividiéndolos en partes congruentes .

Sin embargo, me parece que, en el caso general, la prueba del mencionado teorema de Euclides de esta manera es imposible, y esto, aparentemente, puede confirmarse mediante una prueba rigurosa de la imposibilidad.

Tal prueba podría obtenerse si fuera posible indicar dos tetraedros con bases iguales y alturas iguales que no pueden descomponerse en tetraedros congruentes de ninguna manera y que tampoco pueden ser completados por tetraedros congruentes a tales poliedros para los cuales la descomposición en tetraedros congruentes Tal vez .

David Hilbert (citado del libro de V. G. Boltyansky [4] )

Invariante de Dehn

La invariante construida por Dehn toma valores en un grupo abstracto (y, además, un espacio vectorial sobre ) $\matemáticas {Q}$

V=\mathbb{R} \otimes _{{\mathbb{Q} }}\mathbb{R} /\langle \{l\otimes \pi \mid l\in \mathbb{R} \}\rangle .

Es decir, para un politopo P con longitudes de borde y ángulos diédricos correspondientes , el invariante de Dehn D (P) se establece igual a $l_{1},\puntos,l_{n}$ $\alpha _{1},\puntos,\alpha _{n}$

D(P):=\sum_{i}l_{i}\otimes \alpha_{i}\in V

Al cortar un poliedro en partes, el valor de la suma "longitud del ángulo incluido del borde" puede cambiar solo cuando aparecen/desaparecen nuevos bordes, apareciendo dentro o en el límite. Pero para tales aristas, la suma de los ángulos diedros adyacentes a ellas es igual o respectivamente, por lo tanto, como elemento del factor V , la invariante de Dehn no cambia. $\otimes$ $2\pi$ $\Pi$

Ejemplo

Un ejemplo de la aplicación de la invariante de Dehn es la composición desigual de un cubo y un tetraedro regular de igual volumen: para un cubo de arista l , la invariante de Dehn es , y para un tetraedro regular de arista a - $12l\otimes {\frac {\pi }{2))=6l\otimes \pi =0$

6a\otimes 2\arctan {\frac {1}{{\sqrt {2))))\neq 0,

porque el $\arctan {\frac {1}{{\sqrt {2))))\notin \mathbb{Q} \pi .$

Notas

↑ Copia archivada (enlace no disponible) . Consultado el 25 de marzo de 2010. Archivado desde el original el 17 de octubre de 2011. (indefinido) Copia archivada (enlace no disponible) . Consultado el 25 de marzo de 2010. Archivado desde el original el 17 de octubre de 2011. (indefinido)
↑ Max Dehn: "Über den Rauminhalt", Mathematische Annalen 55 (1901), núm. 3, páginas 465-478.
↑ Sydler, J.-P. "Conditions nécessaires et suffisantes pour l'équivalence des polyèdres de l'espace euclidean à tres dimensiones". comentario. Matemáticas. Helv. 40, 43-80, 1965.
↑ El tercer problema de Boltyansky V. G. Hilbert . - M. : Nauka, 1977. - S. 46. - 208 p. Archivado el 21 de abril de 2017 en Wayback Machine .

Enlaces

Weisstein, Eric W. Dehn Invariant (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .

Literatura

Problemas de Hilbert / ed. P. S. Alexandrova . — M .: Nauka, 1969. — 240 p. — 10.700 copias. Archivado el 17 de octubre de 2011 en Wayback Machine .
El tercer problema de Boltyansky V. G. Hilbert
Dehn, M. "Über raumgleiche Polyeder". Nachr. Königl. Ges. der Wiss. zu Göttingen fd Jahr 1900, 345-354, 1900.
Dehn, M. "Über den Rauminhalt". Matemáticas. Ana. 55, 465-478, 1902.
Sydler, J.-P. "Conditions nécessaires et suffisantes pour l'équivalence des polyèdres de l'espace euclidean à tres dimensiones". comentario. Matemáticas. Helv. 40, 43-80, 1965.
P. Cartier, Décomposition des polyèdres : le point sur le troisième problème de Hilbert , Séminaire Bourbaki, 1984-85, n° 646, p. 261-288.

problemas de hilbert
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