Ecuación funcional

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Una ecuación funcional es una ecuación que expresa la relación entre el valor de una función en un punto y sus valores en otros puntos. Muchas propiedades de las funciones se pueden determinar examinando las ecuaciones funcionales que satisfacen estas funciones. El término "ecuación funcional" se usa comúnmente para ecuaciones que no se pueden reducir de manera simple a ecuaciones algebraicas . Esta irreductibilidad se debe con mayor frecuencia al hecho de que los argumentos de la función desconocida en la ecuación no son las variables independientes en sí mismas, sino algunos datos de la función a partir de ellas.

Ejemplos

Ecuación funcional:

f(s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)f( 1-s)

donde es la función gamma de Euler , satisface la función zeta de Riemann . $\gamma(z)$ $\zeta$

La función gamma es la única solución a este sistema de tres ecuaciones:

{\displaystyle f(x)={f(x+1) \sobre x))

f(y)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {{\sqrt {\pi }}}{2^{{2y-1}}}}f( 2 años)

{\displaystyle f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)))

( Fórmula del complemento de Euler )

Ecuación funcional:

f\left({az+b \over cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)

donde son enteros que satisfacen la igualdad , es decir: $a B C D$ $ad-bc=1$

{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}\,=1

se define como una forma modular de orden . $F$ $k$

Ecuaciones de Cauchy funcionales:

$f(x+y)=f(x)+f(y)$ — satisfacer todas las funciones homogéneas lineales , $f(x)=hacha$
${\ estilo de visualización f (x + y) = f (x) f (y)}$ — satisfacer todas las funciones exponenciales , $f(x)=\exp \left(\alpha x\right)=a^{x}$
${\ estilo de visualización f (xy) = f (x) + f (y)}$ — satisfacer todas las funciones logarítmicas , $f(x)=\alpha \log \left(x\right)=\log _{a}\left(x\right)$
$f(xy)=f(x)f(y)$ — satisfacer todas las funciones de potencia . ${\displaystyle f(x)=\exp \left(\alpha \log \left(x\right)\right)=x^{a))$

Las ecuaciones funcionales de Cauchy se reducen entre sí. Entonces, la ecuación se reduce a la ecuación después del reemplazo (para esto, por supuesto, es necesario que no sea idénticamente cero). En la clase de funciones continuas y en la clase de funciones monótonas, las soluciones dadas son las únicas, excepto la solución degenerada . Sin embargo, en clases más amplias de funciones, son posibles soluciones muy exóticas, consulte el artículo "Base de Hamel" . $f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})$ $g(y_{1}+y_{2})=g(y_{1})+g(y_{2})$ $g(y)=\log \left|f(\exp y)\right|$ $f(x)$ $f(x) \equiv 0$

Otro:

${\ estilo de visualización f (x + y) + f (xy) = 2 [f (x) + f (y)]}$ es una identidad de ecuación cuadrática o paralelogramo , satisface , ${\ Displaystyle f(x)=kx^{2))$
$f\left({\frac {x+y}{2}}\right)={\frac {f(x)+f(y)}{2}}$ es la ecuación de Jensen, satisface todas las funciones lineales , $f(x)=ax+b$
${\ Displaystyle f (x + y) f (xy) = f (x) ^ {2))$ es la ecuación de Lobachevsky (versión de la ecuación de Jensen), satisface , ${\ Displaystyle f (x) = ac ^ {x}}$
${\ estilo de visualización f (x + y) + f (xy) = 2 [f (x) f (y)]}$ es la ecuación de d'Alembert,
${\ estilo de visualización f (h (x)) = f (x) + 1}$ — Ecuación de Abel ,
${\ estilo de visualización f (h (x)) = cf (x)}$ es la ecuación de Schroeder , la solución es la función de Koenigs asociada a la función . ${\ estilo de visualización \ estilo de texto h (x)}$

Relaciones recurrentes

Un tipo particular de ecuaciones funcionales es una relación recursiva que contiene una función desconocida de números enteros y un operador de desplazamiento .

Relaciones de recurrencia lineal:

a(n)=\sum _{i=1,k}c_{i}\cdot a(ni)

(donde son constantes independientes de ) tienen una teoría análoga a la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales. Por ejemplo, para una relación de recurrencia lineal: ${\displaystyle c_{1},c_{2},\puntos,c_{k))$ $norte$

{\ estilo de visualización a (n) = 3a (n-1) + 4a (n-2)}

es suficiente encontrar dos soluciones linealmente independientes, todas las demás soluciones serán sus combinaciones lineales.

Para encontrar estas soluciones, es necesario sustituir una función de prueba con un parámetro indefinido en la relación de recurrencia y tratar de encontrar aquellas para las que se satisfaga esta relación de recurrencia. Para el ejemplo dado, obtenemos una ecuación cuadrática con dos raíces diferentes , y por lo tanto la solución general para esta relación de recurrencia será una fórmula (las constantes y se eligen de manera que para y la fórmula dé los valores deseados para las cantidades y ). En el caso de raíces múltiples de un polinomio, las funciones, etc., sirven como soluciones de prueba adicionales . ${\displaystyle a(n)=\lambda^{n))$ $\lambda$ $\lambda$ ${\ estilo de visualización \ lambda ^ {2} = 3 \ lambda +4}$ ${\ estilo de visualización \ lambda = -1}$ ${\ estilo de visualización \ lambda = 4;}$ ${\displaystyle a(n)=d_{1}4^{n}+d_{2}(-1)^{n))$ $d_{1}$ $d_{2}$ $n=1$ $n=2$ ${\ estilo de visualización a (1)}$ ${\ estilo de visualización a (2)}$ ${\ estilo de visualización n \ lambda ^ {n},}$ ${\ estilo de visualización n ^ {2} \ lambda ^ {n}}$

Una de las relaciones de recurrencia más conocidas es , que define la sucesión de Fibonacci . ${\ estilo de visualización a (n) = a (n-1) + a (n-2)}$

Solución de ecuaciones funcionales

Hay algunos métodos generales para resolver ecuaciones funcionales.

En particular, puede ser útil aplicar el concepto de involución , es decir, el uso de propiedades de funciones para las cuales ; las involuciones más simples: $f(f(x)) = x$

f(x) = -x

, , , .

f(x)={\frac {1}{x}}

f(x)={\frac{1}{1-x}}+1

{\ estilo de visualización f (x) = 1-x}

ejemplo _ Para resolver la ecuación:

{\displaystyle f(x+y)^{2}=f(x)^{2}+f(y)^{2))

para todos y , ponemos : . Entonces y . A continuación, poniendo : ${\ estilo de visualización x, y \ en \ mathbb {R}}$ $f:\mathbb {R} \a R$ $x=y=0$ ${\ estilo de visualización f (0) ^ {2} = f (0) ^ {2} + f (0) ^ {2))$ ${\ estilo de visualización f (0) ^ {2} = 0}$ $f(0)=0$ ${\ estilo de visualización y = -x}$

{\displaystyle f(xx)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2))

{\displaystyle f(0)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2))

{\displaystyle 0=f(x)^{2}+f(-x)^{2))

El cuadrado de un número real no es negativo, y la suma de números no negativos es igual a cero si y solo si ambos números son iguales a 0. Por lo tanto , para todos y es la única solución a esta ecuación. ${\ estilo de visualización f (x) ^ {2} = 0}$ $X$ $f(x)\equiv 0$

Literatura

Golovinskiy IA Historia temprana de iteraciones analíticas y ecuaciones funcionales. // Investigación histórica y matemática. Moscú: Nauka, vol. XXV, 1980, pág. 25-51.
Kuczma M. Sobre la ecuación funcional φn(x) = g(x). Ana. Polon. Matemáticas. 11 (1961) 161-175 .
Kuczma M. Una introducción a la teoría de ecuaciones y desigualdades funcionales. Warszawa-Krakow-Katowice: Editores científicos polacos y Universidad de Silesia, 1985.
Likhtarnikov LM Introducción elemental a las ecuaciones funcionales. San Petersburgo: Lan, 1997.

Enlaces

Ecuaciones funcionales: soluciones exactas en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
Ecuaciones funcionales: Índice en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
Texto del Compendio de la OMI sobre ecuaciones funcionales en la resolución de problemas.