Número característico (ecuaciones integrales)

El número característico del núcleo de una ecuación integral es el valor complejo , en el que la ecuación integral homogénea de Fredholm de segunda clase $\lambda$

\varphi(x) = \lambda \int_G K(x, y) \varphi(y) \, dy

tiene una solución no trivial (es decir, no idénticamente cero) , llamada función propia . Aquí está la región en , es el núcleo de la ecuación integral . Los números característicos son los recíprocos de los valores propios del operador integral con kernel [1] . Los valores que no son números característicos se denominan regulares . Si es un valor regular, la ecuación integral de Fredholm de segunda clase $\varfi(x)$ $GRAMO$ $\mathbb{R} ^{n}$ $K(x, y)$ $K(x, y)$ $\lambda$ $\lambda$

\varphi(x) = \lambda \int_G K(x, y) \varphi(y) \, dy + f(x)

tiene una solución única para cualquier término libre ; los números característicos son "puntos singulares" en los que no hay solución o hay infinitas soluciones dependiendo del término libre [2] . $f(x)$ $f(x)$

Propiedades

Los números característicos del núcleo continuo tienen las siguientes propiedades:

El conjunto de números característicos es contable y no tiene puntos límite finitos .
La multiplicidad de un número característico es el número de funciones propias linealmente independientes que le corresponden. La multiplicidad de cada número característico es finita.
De las dos primeras propiedades se deduce que los números característicos se pueden numerar en orden ascendente de su módulo :

|\lambda_1| \le |\lambda_2| \le\puntos,

mientras repite el número tantas veces como su multiplicidad. $\lambda_k$

$\bar \lambda_1, \, \bar \lambda_2, \puntos$ son todos números característicos del núcleo de unión . $K^*(x, y) = \overline{K(y, x)}$
Si y , , es decir, y son las funciones propias de los núcleos y respectivamente, entonces las funciones propias son ortogonales en el espacio . $\lambda_k \ne \lambda_i$ $\varphi_k = \lambda_k K \varphi_k$ $\psi_i = \bar \lambda_i K^* \psi_i$ $\varphi_k$ $\psi _{i}$ $K(x, y)$ $K^*(x, y)$ $(\varphi_k, \psi_i) = 0$ $L_2(G)$
El núcleo repetido tiene números característicos y las mismas funciones propias que el núcleo . $K_p(x, y)$ $\lambda_k^p$ $\varphi_k$ $K(x, y)$
Por el contrario, si y es un número característico y la función propia correspondiente del kernel repetido , entonces al menos una de las raíces de la ecuación es el número característico del kernel [3] . $\mu$ $\varphi$ $K_p(x, y)$ $\lambda_j, \, j = 1, 2, \dots, p,$ $\lambda^p = \mu$ $K(x, y)$
El conjunto de números característicos del núcleo continuo hermitiano no está vacío y está ubicado en el eje real , el sistema de funciones propias puede elegirse ortonormal [4] .
Los números característicos coinciden con los polos del resolvente [2] .
El núcleo degenerado tiene un número finito de números característicos [5] .
El núcleo continuo de Volterra no tiene números característicos [6] .

Véase también

Notas

↑ Vladimirov V.S. Ecuaciones de física matemática, 1981 , p. 271.
↑ 1 2 Krasnov M. L. Ecuaciones integrales, 1975 , p. 35.
↑ Vladimirov V. S. Ecuaciones de física matemática, 1981 , capítulo IV, §18, página 4.
↑ Vladimirov V.S. Ecuaciones de física matemática, 1981 , p. 306.
↑ Vladimirov V.S. Ecuaciones de física matemática, 1981 , p. 292.
↑ Vladimirov V.S. Ecuaciones de física matemática, 1981 , p. 280.

Literatura

Vladimirov VS Ecuaciones de física matemática. - Ed. 4to. - M. : Ciencia, cap. edición Phys.-Math. lit., 1981. - 512 p.
Krasnov M. L. Ecuaciones integrales. (Introducción a la teoría). - M. : Ciencia, cap. edición Phys.-Math. lit., 1975.
Manzhirov A. V., Polyanin A. D. Manual de ecuaciones integrales: Métodos de solución. - M. : Prensa Factorial, 2000. - 384 p. - ISBN 5-88688-046-1 .