El operador integral de Fredholm es un operador integral lineal completamente continuo de la forma
mapeo de un espacio funcional a otro. Aquí hay una región en el espacio euclidiano , es una función definida en un cuadrado cartesiano , llamada núcleo del operador integral [1] . Para una continuidad completa del operador , se imponen restricciones adicionales al kernel . Muy a menudo, se consideran kernels continuos [2] , -kernels [3] [4] y también kernels polares [2] [5] . El operador integral de Fredholm y sus propiedades se utilizan para resolver la ecuación integral de Fredholm .
El operador integral de Fredholm es lineal , es decir, .
Un operador integral con continuo en [6] kernel , se asigna a (y, en consecuencia, a y a ) y está acotado (continuo), y
dónde
[7] .Operador integral con -kernel:
se traduce en , es continua y satisface la estimación:
[1] [8]Hay condiciones de continuidad para los operadores integrales desde hasta . [9]
Un operador integral con núcleo continuo es completamente continuo de a , es decir , toma cualquier conjunto acotado en un conjunto que es precompacto en [10] . Los operadores completamente continuos son notables porque la alternativa de Fredholm se cumple para ellos . Un operador integral con núcleo continuo es el límite de una secuencia de operadores de dimensión finita con núcleos degenerados. Afirmaciones similares son ciertas para un operador integral con -kernel. [once]
También hay condiciones suficientes más débiles para la continuidad completa (compacidad) de un operador integral desde hasta . [12]
El operador adjunto a un operador con -kernel en un espacio de Hilbert tiene la forma
Si , entonces el operador integral de Fredholm es autoadjunto [1] [11]
Para valores suficientemente pequeños , el operador (donde es el operador de identidad ) tiene una forma inversa , donde es el operador integral de Fredholm con kernel , el resolvente del kernel [13] .