Operador integral de Fredholm

El operador integral de Fredholm es un operador integral lineal completamente continuo de la forma

{\ estilo de visualización (Af) (x) = \ int _ {G} K (x, t) f (t) \, dt,}

mapeo de un espacio funcional a otro. Aquí hay una región en el espacio euclidiano , es una función definida en un cuadrado cartesiano , llamada núcleo del operador integral [1] . Para una continuidad completa del operador , se imponen restricciones adicionales al kernel . Muy a menudo, se consideran kernels continuos [2] , -kernels [3] [4] y también kernels polares [2] [5] . El operador integral de Fredholm y sus propiedades se utilizan para resolver la ecuación integral de Fredholm . $GRAMO$ $\mathbb{R} ^{n}$ ${\ Displaystyle K (x, t)}$ $G\veces G$ $A$ $K(x, y)$ $L_{2}$

Propiedades

Linealidad

El operador integral de Fredholm es lineal , es decir, . $A(\alpha f+\beta g)=\alpha Af+\beta Ag$

Continuidad

Un operador integral con continuo en [6] kernel , se asigna a (y, en consecuencia, a y a ) y está acotado (continuo), y ${\ estilo de visualización {\ bar {G}} \ veces {\ bar {G}}}$ $K(x, y)$ $L_2(G)$ $C(\bar G)$ $C(\bar G)$ $C(\bar G)$ $L_2(G)$ $L_2(G)$

\|Af\|_{C}\leq M{\sqrt {V}}\|f\|_{L_{2}},\quad f\in L_{2}(G),

\|Af\|_{C}\leq MV\|f\|_{C},\quad f\in C({\bar {G))),

\|Af\|_{L_{2}}\leq MV\|f\|_{L_{2}},\quad f\in L_{2}(G),

dónde

M=\max \limits _{x\in {\bar {G)),\,y\in {\bar {G))}|K(x,y)|,\quad V=\int _ {G}dy.

[7] .

Operador integral con -kernel: $L_{2}$

\int _{G}\int _{G}|K(x,y)|^{2}dx\,dy\leq N^{2}<\infty

se traduce en , es continua y satisface la estimación: $L_2(G)$ $L_2(G)$

\|Af\|_{L_{2}}\leq N\|f\|_{L_{2}}.

[1] [8]

Hay condiciones de continuidad para los operadores integrales desde hasta . [9] $L_{p}$ ${\ Displaystyle L_ {q}}$

Toda una continuidad

Un operador integral con núcleo continuo es completamente continuo de a , es decir , toma cualquier conjunto acotado en un conjunto que es precompacto en [10] . Los operadores completamente continuos son notables porque la alternativa de Fredholm se cumple para ellos . Un operador integral con núcleo continuo es el límite de una secuencia de operadores de dimensión finita con núcleos degenerados. Afirmaciones similares son ciertas para un operador integral con -kernel. [once] $K(x, y)$ $L_2(G)$ $C(\bar G)$ $L_2(G)$ $C(\bar G)$ $L_{2}$

También hay condiciones suficientes más débiles para la continuidad completa (compacidad) de un operador integral desde hasta . [12] $L_{p}$ ${\ Displaystyle L_ {q}}$

Operador adjunto

El operador adjunto a un operador con -kernel en un espacio de Hilbert tiene la forma $A$ $L_{2}$ $L_2(G)$

(A^{*}f)(x)=\int _{G}{\overline {K(y,x)))f(y)\,dy.

Si , entonces el operador integral de Fredholm es autoadjunto [1] [11] $K(x,y)={\overline {K(y,x)))$ $A$

Operador inverso

Para valores suficientemente pequeños , el operador (donde es el operador de identidad ) tiene una forma inversa , donde es el operador integral de Fredholm con kernel , el resolvente del kernel [13] . $|\lambda|$ $I-\lambda A$ $yo$ $I+\lambda R$ $R$ $R(x, y, \lambda)$ $K(x, y)$

Véase también

Notas

↑ 1 2 3 Khvedelidze, 1979 .
↑ 1 2 Vladimirov, 1981 , capítulo IV.
↑ Tricomi, 1960 .
↑ Kolmogorov, Fomin, 1976 , capítulo IX.
↑ Manzhirov, Polianina, 2000 .
↑ - cierre de área $\bar G$ $GRAMO$
↑ Vladimirov, 1981 , pág. 272.
↑ Tricomi, 1960 , § 1.6.
↑ Manzhirov, Polyanin, 2000 , § 9.3-1.
↑ Vladimirov, 1981 , § 19.
↑ 1 2 Kolmogorov, Fomin, 1976 , capítulo IX, § 2.
↑ Manzhirov, Polyanin, 2000 , § 9.3-2.
↑ Vladimirov, 1981 , § 17.

Literatura

Khvedelidze B. V. . Operador integral // Enciclopedia matemática : [en 5 volúmenes] / Cap. edición I. M. Vinogradov . - M. : Enciclopedia soviética, 1979. - T. 2: D - Koo. - 1104 stb. : enfermo. — 150.000 copias.
Vladimirov vs. Ecuaciones de la física matemática. 4ª ed. - M. : Nauka, cap. edición Phys.-Math. literatura, 1981. - 512 p.
Tricomi F. Ecuaciones integrales. Por. del inglés .. - M . : Izd-vo inostr. literatura, 1960.
Manzhirov A. V., Polianina A. D. . manual de ecuaciones integrales: métodos de solución. - M. : Prensa Factorial, 2000. - 384 p. - ISBN 5-88688-046-1 .
Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. . Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional. — Ciencia, cap. edición Phys.-Math. litros. - M. , 1976.