Coeficiente binomial central

En matemáticas , el n-ésimo coeficiente binomial central se define mediante la siguiente expresión en términos de coeficientes binomiales

{2n \elegir n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}

para todos

n\geq 0

Obtuvieron su nombre debido al hecho de que están exactamente en el medio de las filas pares en el triángulo de Pascal . Los primeros coeficientes binomiales centrales se escriben a continuación, a partir de n = 0:

1 , 2 , 6 , 20 , 70 , 252, 924, 3432, 12870, 48620, ... Secuencia OEIS A000984

Propiedades

Función generadora :

{\frac {1}{{\sqrt {1-4x})))=1+2x+6x^{2}+20x^{3}+70x^{4}+252x^{5}+\cdots.

De acuerdo con la fórmula de Stirling, obtenemos:

{2n \elegir n}\sim {\frac {4^{n}}({\sqrt {\pi n))))

en .

n\rightarrow\infty

Restricciones útiles:

{\frac {4^{n}}{{\sqrt {4n}}}}\leq {2n \elegir n}\leq {\frac {4^{n}}{{\sqrt {3n+1}} }}

para todos

n\geq 1

Si se necesita más precisión:

{2n \elegir n}={\frac {4^{n}}({\sqrt {\pi n}}}}\left(1-{\frac {c_{n}}{n}}\right)

donde para todos .

{\ fracción {1}{9}}<c_{n}<{\ fracción {1}{8}}

n\geq 1

Muy relacionado con este concepto están los llamados. Números catalanes , C n . Su fórmula:

C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \elegir n}={2n \elegir n}-{2n \elegir n+1}

para todos

n\geq 0

La generalización de los coeficientes binomiales centrales puede considerarse los números , para todo n real, para los cuales se define la expresión, donde es la función Gamma , y esta es la función Beta . ${\frac {\Gamma (2n+1)}{\Gamma (n+1)^{2))}={\frac {1}{n\mathrm{B} (n+1,n)))$ $\gamma (x)$ $\mathrm{B} (x,y)$

Véase también

Suposición de cuadratura de Erdős

Coeficiente binomial central

Propiedades

Véase también

Enlaces