Círculo contiguo

Un círculo conmovedor , un círculo de curvatura es un círculo que es la mejor aproximación de una curva dada en la vecindad de un punto dado . En este punto, la curva y el círculo designado tienen tangencia , cuyo orden es al menos 2. Existe un círculo de curvatura en cada punto de una curva diferenciable dos veces con una curvatura distinta de cero ; en el caso de curvatura cero , la línea tangente , "un círculo de radio infinito ", debe considerarse como un contacto.

Un círculo (o línea) que se toca en un punto de una curva también se puede definir como la posición límite de un círculo (o línea) que pasa y dos puntos cercanos a él cuando se acercan . $PAGS$ $PAGS$ $P_{1},\ P_{2}$ $P_{1},\ P_{2}$ $PAGS$

Definiciones relacionadas

El centro del círculo contiguo se llama centro de curvatura , y el radio se llama radio de curvatura . El radio de curvatura es el recíproco de la curvatura de la curva en un punto dado: $r^{-1}=k$

El lugar geométrico de los centros de curvatura de una curva se llama evoluta .

Coordenadas del centro de curvatura

El centro de curvatura de una función en un punto está en el siguiente punto [1] [2] : $y=f(x)$ $(x_0, f(x_0))$

{\Bigg (}x_{0}-{\frac {f'(x_{0})(1+(f'(x_{0}))^{2})}{f''(x_ {0})}},f(x_{0})+{\frac{1+(f'(x_{0}))^{2}}{f''(x_{0}))){\ grande)}

Propiedades

El centro de un círculo que se toca siempre se encuentra en la normal principal de la curva; de ahí se sigue que esta normal siempre está dirigida hacia la concavidad de la curva.
La inversión de la circunferencia tangente es la circunferencia tangente de la inversión de la curva en el punto correspondiente.
En los vértices de la curva y solo en ellos, el orden de tangencia de la circunferencia tangente es mayor que 2.
El teorema de Tate-Kneser establece que si la curvatura de una curva plana suave es monótona, entonces los círculos contiguos de esta curva están incrustados entre sí.

Historia

El concepto de círculo contiguo ( lat. circulum osculans ) fue introducido por Leibniz . La construcción geométrica correspondiente también está contenida en el libro " Principios matemáticos de la filosofía natural " de Isaac Newton .

Variaciones y generalizaciones

La esfera en contacto de la curva espacial es la esfera centrada en el punto $\gama$ ${\ estilo de visualización \ Sigma _ {s}}$ $p(s)=\gamma(s)+{\tfrac {1}{k(s)}}\cdot \nu (s)-{\tfrac {k'(s)}{k^{2 }(s)\cdot\varkappa(s)}}\cdot\beta(s)$

de paso Aquí y denotamos la curvatura y la torsión de la curva, , , es el triedro de Frenet .

{\ estilo de visualización \ gamma (s)}

{\ estilo de visualización k (s)}

\varkappa(s)

\tau

\nu

\beta

Si la curvatura y la torsión de la curva son distintas de cero, la esfera que se toca está definida y es la única esfera con la que la curva tiene un grado de contacto de al menos 3.

Notas

↑ Schneider V. E. et al. Un curso breve de matemáticas superiores. proc. asignación para universidades. M., "Más alto. escuela" pág. 870 . Consultado el 26 de mayo de 2020. Archivado desde el original el 15 de enero de 2022. (indefinido)
↑ UpByte.Net . Consultado el 26 de mayo de 2020. Archivado desde el original el 5 de junio de 2020. (indefinido)