Homotopía de cadena

Homotopía en cadena : una variación del concepto de " homotopía " en topología algebraica y álgebra homológica

Definición

Sea un complejo en cadena de módulos (es decir, una familia de módulos y homomorfismos modulares ), y sean aplicaciones en cadena del complejo en un complejo (es decir, tales homomorfismos que ). $C$ $C_{n}$ ${\displaystyle d_{n}\dos puntos C_{n}\a C_{n-1))$ $F$ $gramo$ $C$ $C'$ $f_n$ ${\displaystyle d_{n}f_{n}=f_{n-1}d_{n))$

Una homotopía en cadena entre aplicaciones y es una familia de homomorfismos tales que $F$ $gramo$ $s_{n}\dos puntos C_{n}\to C'_{n+1}$

s_{n-1}d_{n}+d'_{n+1}s_{n}=f_{n}-g_{n}.

Propiedades

Si los mapeos y son homotópicos en cadena, entonces los mapeos inducidos en la homología son iguales (donde ). De hecho, sea un ciclo, es decir, un elemento de . entonces _ Como y son cadenas homotópicas, entonces $F$ $gramo$ $H_{n}(C)\a H_{n}(C')$ $H_{n}(C)=\mathrm {Ker} \,d_{n}/\mathrm {Im} \,d_{n+1}$ ${\ estilo de visualización c \ en C_ {n}}$ $\mathrm {Ker} \,d_{n}$ $d_{n}(c)=0$ $F$ $gramo$ $f_{n}(c)-g_{n}(c)=s_{n-1}d_{n}(c)+d'_{n+1}s_{n}(c)=d '_{n+1}s_{n}(c)$ ,

es decir, se diferencian por el borde (elemento ).

\mathrm {Im} \,d'_{n+1}

Para la mayoría de las teorías de homología , se demuestra que los mapeos continuos homotópicos de espacios topológicos inducen mapeos homotópicos encadenados de complejos y, por lo que se ha probado, mapeos idénticos de grupos de homología (se satisface el axioma de invariancia homotópica ). $f,g\dos puntos X\a Y$ ${\ estilo de visualización C (X) \ a C (Y)}$ ${\ estilo de visualización H (X) \ a H (Y)}$

Literatura

Wick J. W. Teoría de la homología. Introducción a la topología algebraica. — M. : MTsNMO, 2005
Gel'fand SI, Manin Yu. I. Métodos de álgebra homológica. Introducción a la cohomología y categorías derivadas. Volumen 1. - M. : Nauka, 1989
Dold A. Conferencias sobre topología algebraica. — M. : Mir, 1976
McLane S. Homología. — M .: Mir, 1966
Spanier E. Topología algebraica. — M .: Mir, 1971