Homotopía de cadena
Homotopía en cadena : una variación del concepto de " homotopía " en topología algebraica y álgebra homológica
Definición
Sea un complejo en cadena de módulos (es decir, una familia de módulos y homomorfismos modulares ), y sean aplicaciones en cadena del complejo en un complejo (es decir, tales homomorfismos que ).
![{\displaystyle d_{n}\dos puntos C_{n}\a C_{n-1))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a701100a5cb3ec01a8d81c302a42aed7b636d00b)
![F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
![gramo](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77)
![C](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029)
![C'](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3f732043ebc78ca911b9d7801fd8787b1291b2f)
![f_n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2702450f0458a5e01a698e248af552a7fab2b50)
![{\displaystyle d_{n}f_{n}=f_{n-1}d_{n))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5b559a81139a7870555df035132d77a4fca257b)
Una homotopía en cadena entre aplicaciones y es una familia de homomorfismos tales que
![F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
![gramo](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77)
![{\displaystyle s_{n}\dos puntos C_{n}\to C'_{n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5de812badac0dcc4b7a7ae9286a0e9875fd21e40)
Propiedades
- Si los mapeos y son homotópicos en cadena, entonces los mapeos inducidos en la homología son iguales (donde ). De hecho, sea un ciclo, es decir, un elemento de . entonces _ Como y son cadenas homotópicas, entonces
![F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
![{\displaystyle H_{n}(C)\a H_{n}(C')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d05386c2e500ced50be28d5f7205f98aaf906d18)
![{\displaystyle H_{n}(C)=\mathrm {Ker} \,d_{n}/\mathrm {Im} \,d_{n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feea79508c513832028702982916fd75397726ac)
![{\ estilo de visualización c \ en C_ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9165c959d4af88d9879b066b598d024a114b9ec)
![{\displaystyle \mathrm {Ker} \,d_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1517a52f2310b6ed10aeda611cd7d5da94c7af03)
![{\displaystyle d_{n}(c)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b07efba4a9f81638145df3d20609aac376b3a53f)
![F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
![gramo](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77)
,
es decir, se diferencian por el borde (elemento ).
- Para la mayoría de las teorías de homología , se demuestra que los mapeos continuos homotópicos de espacios topológicos inducen mapeos homotópicos encadenados de complejos y, por lo que se ha probado, mapeos idénticos de grupos de homología (se satisface el axioma de invariancia homotópica ).
![f,g\dos puntos X\a Y](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f99c3354a919e8e246796bdc329e13c6604e95a3)
![{\ estilo de visualización C (X) \ a C (Y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9404b1523a741eaa134d0e419a6c01248d6e3533)
![{\ estilo de visualización H (X) \ a H (Y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35d3f1669ef48581a7fb6238e782985fa56f8ad8)
Literatura
- Wick J. W. Teoría de la homología. Introducción a la topología algebraica. — M. : MTsNMO, 2005
- Gel'fand SI, Manin Yu. I. Métodos de álgebra homológica. Introducción a la cohomología y categorías derivadas. Volumen 1. - M. : Nauka, 1989
- Dold A. Conferencias sobre topología algebraica. — M. : Mir, 1976
- McLane S. Homología. — M .: Mir, 1966
- Spanier E. Topología algebraica. — M .: Mir, 1971