Numero coxeter

El número de Coxeter es una característica de un grupo de Coxeter irreducible finito . En el caso de que el grupo de Coxeter sea el grupo de Weyl de un álgebra de Lie simple , entonces se habla del número de Coxeter del álgebra . $\matemáticas g$ $\matemáticas g$

El concepto lleva el nombre de Harold Coxeter .

Definición

Hay varias definiciones equivalentes para este número.

El número de Coxeter es igual al número de raíces dividido por el rango. De manera equivalente, el número de Coxeter es el doble del número de reflexiones en el grupo de Coxeter dividido por el rango. Si el grupo se construye sobre un álgebra de Lie simple, entonces la dimensión de este álgebra es n ( h + 1), donde n es el rango yh es el número de Coxeter.
El elemento Coxeter (a veces el elemento Killing-Coxeter ) es el producto de todas las reflexiones simples (que no debe confundirse con el elemento del grupo Coxeter de mayor longitud). El número de Coxeter es el orden del elemento de Coxeter.
Si es la expansión de la raíz más alta en raíces simples, entonces el número de Coxeter es . $\theta=\sum m_i \alpha_i$ $1+\suma m_i$
- De manera equivalente, si es un elemento tal que , entonces . $\rho^\vee$ $\langle\rho^\vee,\alpha_i\rangle=1$ $h=\langle\rho^\vee,\theta\rangle+1$
El número de Coxeter es la mayor de las potencias de las invariantes básicas del grupo de Coxeter.

Tabla de valores

Grupo de Coxeter y símbolo de Schläfli		Conde de Coxeter	Diagrama de Dynkin	numero coxeter $h$	Doble de Coxeter $h ^ \ uve$	Grados de invariantes básicos
un norte	[3,3...,3]	...	...	norte + 1	norte + 1	2, 3, 4, ..., n +1
segundo norte	[4,3...,3]	...	...	2n_ _	2n − 1	2, 4, 6, ..., 2n
C norte	[4,3...,3]	...	...	2n_ _	norte + 1	2, 4, 6, ..., 2n
Dn _	[3,3,..3 1,1 ]	...	...	2n − 2	2n − 2	n _ 2, 4, 6, ..., 2n − 2
mi 6	[3 2,2,1 ]			12	12	2, 5, 6, 8, 9, 12
mi 7	[3 3,2,1 ]			Dieciocho	Dieciocho	2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
mi 8	[3 4,2,1 ]			treinta	treinta	2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
F4 _	[3,4,3]			12	9	2, 6, 8, 12
G2 _	[6]			6	cuatro	2, 6
H3 _	[5,3]		-	diez		2, 6, 10
H4 _	[5,3,3]		-	treinta		2, 12, 20, 30
yo 2 ( pag )	[pags]		-	pags		2, pág .

Variaciones y generalizaciones

Número doble de Coxeter

En el caso de que el grupo de Coxeter sea el grupo de Weil de un álgebra de Lie simple , se puede introducir el número dual (dual) de Coxeter . Tal noción parece haber aparecido por primera vez en un artículo de 1970 de Springer y Steinberg [1] y se encuentra con frecuencia en la teoría de la representación . Puede determinar este número de cualquiera de las siguientes formas. $\mathfrak{g}$ $h ^ \ uve$

Si es la mitad de la suma de las raíces positivas y es la raíz más alta, entonces . $\rho$ $\ theta$ $h^\vee=\langle\rho, \theta\rangle+1$
Si es la raíz corta más antigua descompuesta en raíces simples, entonces . $\theta_m=\sum m_i \alpha_i$ $h^\vee=\sum m_i+1$
El doble del número de Coxeter dual es igual a la relación de dos formas bilineales simétricas invariantes en el álgebra de Lie : la forma de Killing y la forma en la que la raíz más alta tiene una longitud de 2. $\mathfrak{g}$
Según la tabla anterior.

Para álgebras de Lie con conexiones simples, el número de Coxeter y el número dual de Coxeter son iguales. El número de Coxeter dual no debe confundirse con el número de Coxeter del álgebra de Lie dual.

Para un álgebra de Lie afín , el valor de nivel igual a se llama crítico, y para este valor el álgebra envolvente universal tiene un gran centro. $\widehat{\mathfrak{g))$ $-h^\vee$

Notas

↑ ¿Qué papel juega el "número dual de Coxeter" en la teoría de Lie - Mathoverflow

Enlaces

N. Bourbaki, Elementos de las matemáticas, Grupos de Lie y álgebras, Capítulos IV-VI, M.: Mir, 1972.
J. Humphreys, Grupos de reflexión y grupos de Coxeter, Cambridge University Press, 1990.
Etingof, Pavel I.; Frenkel, Igor; Kirillov, Alexander A. (1998), Conferencias sobre teoría de la representación y ecuaciones de Knizhnik-Zamolodchikov, estudios matemáticos y monografías 58, American Mathematical Society, ISBN 0821804960