Variedad áspera

Una variedad rugosa o no suave es una variedad topológica que no permite una estructura suave. Más precisamente, una variedad topológica no es homeomorfa a ninguna variedad suave.

Ejemplos

E 8 -variedad
Tome una variedad de Milnor dimensional , ; es paralelizable, su firma es , y su límite es homotópicamente equivalente a una esfera . Pegado al cono a lleva al espacio . Además, dado que hay una esfera lineal por partes (ver la conjetura generalizada de Poincaré ), entonces una bola lineal por partes, también lo es una variedad lineal por partes . Por otro lado, existe una variedad rugosa, ya que su firma es 8, y la firma de una suave casi paralelizable (es decir, paralelizable ${\ estilo de visualización 4k}$ ${\ estilo de visualización W^{4k}}$ $k>1$ ${\ estilo de visualización W^{4k}}$ $ocho$ ${\displaystyle M=\parcial W^{4k))$ $S^{4k-1}$ ${\ estilo de visualización W^{4k}}$ ${\ estilo de visualización C (M)}$ ${\ estilo de visualización \ W parcial ^ {4k}}$ ${\ Displaystyle PAG^{4k}}$ $METRO$ ${\ estilo de visualización C (M)}$ ${\ Displaystyle PAG^{4k}}$ ${\ Displaystyle PAG^{4k}}$ después de perforar un punto) de una variedad -dimensional es un múltiplo de , que crece exponencialmente con . ${\ estilo de visualización 4k}$ ${\ estilo de visualización \ sigma _ {k}}$ $k$
- En particular, se sigue de esto que la variedad no es difeomorfa a la esfera . $METRO$ $S^{4k-1}$

Un criterio para la suavidad de una variedad lineal por partes

Sea un grupo ortogonal , un grupo de homeomorfismos lineales por partes que conservan el origen . La inclusión induce a un bulto , donde se encuentra el espacio clasificador del grupo . Porque , obtenemos un paquete cuya fibra se denota por . Una variedad lineal por partes tiene un paquete normal lineal estable , clasificado por un mapeo . Si es una variedad suave (suavizada), entonces tiene un paquete normal vectorial estable , clasificado por el mapeo , y . Esta condición también es suficiente, es decir, $En}$ $PL_{n}$ $\mathbb{R} ^{n}$ ${\ estilo de visualización O_ {n} \ a PL_ {n}}$ $BO_{n}\a BPL_{n}$ ${\ estilo de visualización BG}$ $GRAMO$ $n\to\infty$ $p:BO_{n}\a BPL_{n}$ ${\ estilo de visualización M/O}$
$X$ $\nu$ ${\ estilo de visualización \ nu: X \ a BPL_ {n}}$
$X$ ${\ estilo de visualización {\ bar {\ nu}}}$ ${\bar {\nu }}:X\a BO_{n}$ $p\circ {\bar {\nu}}=\nu$

Una variedad lineal por partes cerrada es suavizable si y solo si su paquete normal estable lineal por partes admite reducción vectorial, es decir, cuando el mapeo "se eleva" a (es decir, existe tal que ). $X$ ${\ estilo de visualización \ nu: X \ a BPL_ {n}}$ $BO_{n}$ ${\bar {\nu }}:X\a BO_{n}$ $p\circ {\bar {\nu}}=\nu$

Véase también

Esfera de Milnor

Literatura

Milnor J., Stashef J. Clases características, trans. del inglés, - M. , 1979.
Kervaire M. "Comentario, matemáticas, helv.", 1960, t. 34, pág. 257-70;