Conjunto parcialmente ordenado de Euler

En combinatoria , una pose de Euler es una pose graduada en la que cualquier intervalo no trivial tiene el mismo número de elementos de rango par e impar. Un conjunto parcialmente ordenado de Euler que es un retículo se llama retículo de Euler . Los objetos llevan el nombre de Leonhard Euler . Los retículos de Euler son una generalización de los retículos de cara poliedros convexos , y gran parte de la investigación moderna se dedica a extender los resultados conocidos de la combinatoria de poliedros , como varias restricciones en los vectores fpoliedros simpliciales convexos , estos son los casos más generales.

Ejemplos

La red de caras un poliedro convexo , que consta de sus caras, junto con el elemento más pequeño, la cara vacía, y el elemento más grande, el poliedro mismo, es una red de Euler. La condición par/impar se deriva de la fórmula de Euler .
Cualquier esfera simplicial de homología generalizada es una red de Euler.
Sea L un complejo celular regular tal que | yo | es una variedad con las mismas características de Euler que una hiperesfera de la misma dimensión (la condición no tiene sentido si la dimensión es impar). Entonces un conjunto parcialmente ordenado de celdas L con un orden determinado por la inclusión de sus clausuras es Euler.
Sea W un grupo de Coxeter con orden Bruhat . Entonces ( W ,≤) es una pose de Euler.

Propiedades

Las condiciones en la definición de un conjunto P ordenado parcial de Euler se pueden expresar de manera equivalente en términos de la función de Möbius :

\mu _{P}(x,y)=(-1)^{|y|-|x|}

para todos

{\ estilo de visualización x \ leq y.}

La poset dual de Euler obtenida invirtiendo el orden parcial es Euler.
Richard Stanley introdujo el concepto de un vector h tórico de un poset clasificado , que generaliza el vector ''h'' un politopo simplicial [1] . Demostró que las ecuaciones de Dehn-Somerville

h_{k}=h_{dk}\,

mantener para posets de Euler arbitrarios de rango d + 1 [2] . Sin embargo, para posets de Euler resultantes de complejos de celdas regulares o poliedros convexos, el vector h tórico no define ni está determinado por el número de celdas o caras de diferentes dimensiones, y el vector h tórico no tiene una interpretación combinatoria directa.

Véase también

Poliedro abstracto
Producto estrella , un método para combinar posets que conserva la propiedad de Euler de posets

Notas

↑ Stanley, 1997 , pág. 138.
↑ Stanley, 1997 , pág. Teorema 3.14.9.

Literatura

Richard P. Stanley. Combinatoria enumerativa. - Cambridge University Press, 1997. - Vol. 1. - ISBN 0-521-55309-1 .