Funtores completos y univalentes.

En la teoría de categorías, un funtor univalente (resp. funtor completo ) es un funtor que es inyectivo (resp. sobreyectivo ) en cada conjunto de morfismos con una imagen fija y una preimagen.

Más explícitamente, tengamos categorías C y D localmente pequeñas y sea F : C → D un funtor de C a D . Este funtor induce una función

F_{X,Y}\colon\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)\rightarrow\mathrm{Hom}_{\mathcal D}(F(X),F(Y))

para cada par de objetos X e Y de C . El funtor F se llama

para cada X e Y en C .

Propiedades

Un funtor univalente no es necesariamente inyectivo en objetos de categoría C , por lo que la imagen de un funtor completamente univalente no necesita ser una categoría isomorfa a C. Asimismo, un funtor completo no es necesariamente sobreyectivo sobre objetos. Sin embargo, un funtor completamente univalente es inyectivo sobre objetos hasta el isomorfismo, es decir, si F : C → D es completamente univalente y , entonces (en este caso se dice que el funtor F refleja isomorfismos). $F(x)\cong F(y)$ $x \cong y$
Cualquier funtor univalente refleja monomorfismos y epimorfismos . De esto se deduce que cualquier funtor univalente de una categoría equilibrada refleja isomorfismos.

El funtor olvidadizo U : Grp → Conjunto es univalente, ya que un homomorfismo de grupo está determinado únicamente por una función en los conjuntos admitidos. Una categoría con un funtor estricto en un Conjunto se llama categoría concreta .
El funtor que incrusta a Ab en Grp es completamente univalente.

McLane S. Categorías para el matemático que trabaja / Per. De inglés. edición V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Bucur I., Deleanu A. Introducción a la teoría de categorías y funtores. — M .: Mir, 1972.