Topos elementales

Un topos elemental es una categoría , en cierto sentido similar a la categoría de conjuntos , el principal objeto de estudio de la teoría de los topos . Por medio de topoi elementales, se pueden describir los axiomas tanto de la propia teoría de conjuntos como de teorías y lógicas alternativas, por ejemplo, la lógica intuicionista .

Definición

Un topos elemental es una categoría cartesiana finitamente completa en la que hay un objeto distinguido , llamado clasificador de subobjetos , y un monomorfismo en él desde un objeto terminal , llamado verdad (también denotado ), tal que para cualquier monomorfismo hay un único morfismo , para el cual el diagrama $\Omega$ $T\colon 1\to \Omega$ $verdadero$ $m\dos puntos A\a B$ $\chi _{m}\colon B\to \Omega$

es un cuadrado cartesiano .

En otras palabras, un topos elemental es una categoría que tiene un objeto terminal y productos de fibra , así como la exponencial de dos objetos cualesquiera y un clasificador de subobjetos . $un ^ {b}$ $a$ $b$ $\Omega$

Propiedades

Cualquier topos elemental es finitamente completo (por definición) y finitamente cocompleto .

Ejemplos

El principal ejemplo de un topos cuyas propiedades han proporcionado la base para una definición común es el topos de conjuntos . En él, la exponencial de conjuntos y es el conjunto de aplicaciones de a . El clasificador de subobjetos es el conjunto , donde es la incrustación natural en , y es la función característica del subconjunto del conjunto igual a 1 en los elementos y 0 en los elementos de . Los subobjetos son sus subconjuntos. $A$ $B$ ${\ estilo de visualización A^{B}}$ $B$ $A$ $\Omega =\{0;1\}$ $metro$ $A$ $B$ $\chi _{m}$ $A$ $B$ $A$ ${\ estilo de visualización A \ barra invertida B}$ $A$
La categoría de conjuntos finitos es también un topos. Este es un ejemplo típico de un topos elemental que no es un topos de Grothendieck.
Para cualquier categoría , la categoría de funtores es un topos de Grothendieck. Los límites y colímites de los funtores se calculan por puntos. Para los funtores , el funtor de morfismo viene dado por la fórmula $C$ $\left[C,\mathbf {Conjunto} \right]$ ${\ estilo de visualización F, G}$ ${\ estilo de visualización [F, G]}$

[F,G](c)=\mathrm {Hom} (F(c),G(c))

Del lema de Yoneda se deduce que el clasificador de subobjetos en un objeto es igual al conjunto de subfuntores del funtor representable .

\Omega

c\en C

\mathrm {Hom} (c,\cdot)

La categoría de haces de conjuntos en cualquier espacio topológico es un topos de Grothendieck. Si asignamos a un espacio su categoría de subconjuntos abiertos ordenados por empotramiento, entonces la estructura del topos sobre la categoría de haces se describe exactamente de la misma forma que en el topos . La única diferencia es que hay un conjunto de todas las subgavillas de una gavilla representable . $X$ $Ouv(X)$ $[Ouv(X),\mathbf {Conjunto} ]$ ${\ estilo de visualización \ Omega (c)}$ $\mathrm {Hom} _{Ouv(X)}(c,\cdot )$
De manera más general, para cualquier categoría con una topología de Grothendieck dada , la categoría de haces de conjuntos es un topos de Grothendieck. Además, cualquier topos de Grothendieck tiene esta forma. $C$ $\tau$ $\tau$
En términos generales, no todos los topos de Grothendieck son una categoría de haces en algún espacio topológico. Por ejemplo, un topos de poleas en un espacio topológico siempre tiene puntos correspondientes a puntos en este espacio, mientras que un topos general puede no tener ningún punto. La analogía entre topos y espacios se puede precisar si consideramos los locales como espacios , y la categoría de topos es equivalente a la categoría de locales. Informalmente, un lugar es lo que queda del concepto de espacio topológico si nos olvidamos de los puntos y consideramos solo la red de sus subconjuntos abiertos. Para los espacios topológicos, no hay diferencia entre verlos como espacios y como locales. Sin embargo, la localidad no necesita corresponder a algún espacio topológico. En particular, no se requiere que tenga puntos.

Literatura

Goldblatt R. Topoi. Análisis categórico de la lógica = Topoi. El análisis categorial de la lógica / Per. De inglés. V. N. Grishin y V. V. Shokurov, ed. D. A. Bochvara. — M .: Mir , 1983. — 488 p.
PT Johnston. Teoría de Topoi / Ed. Yu.I. Manin. — M .: Nauka , 1986. — 440 p.
F. Borceux. Manual de Álgebra Categórica 3. Categorías de Poleas. - Cambridge: Cambridge University Press, 1994. - 522 p. — ISBN 0 521 44180 3 .
PT Johnstone. Bocetos de un elefante: un compendio de teoría de Topos. - Oxford: Clarendon Press, 2002. - Vol. 1. - ISBN 0 19 852496 X .