Funciones elípticas de Weierstrass

Las funciones elípticas de Weierstrass son una de las funciones elípticas más simples . Esta clase de funciones (dependiendo de la curva elíptica) lleva el nombre de Karl Weierstrass . También se denominan funciones de Weierstrass y se utiliza un símbolo ( P estilizada ) para indicarlas. $\wp$ $\wp$

Definición

Sea dada una curva elíptica , donde está una red en . Entonces la función de Weierstrass es una función meromórfica definida como la suma de la serie $E={\mathbb{C}}/\Gamma$ $\Gama$ $\matemáticas {C}$ $\wp$

\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum_{{w\in \Gamma \setminus \{0\}}}\left({\frac {1}{(zw)^{2}}}-{\frac {1}{w^{2}}}\right).

Se puede observar que la función así definida será -periódica on , y por tanto es una función meromórfica on . $\Gama$ $\matemáticas {C}$ $mi$

La serie que define la función de Weierstrass es, en cierto sentido, una "versión regularizada" de la serie divergente , un intento "ingenuo" de definir una función periódica. Este último diverge absolutamente (y en ausencia de un orden natural en él tiene sentido hablar solo de convergencia absoluta) para todo z, ya que para un z fijo y para un w grande los módulos de sus términos se comportan como , y la suma sobre un la red bidimensional diverge. $\sum _{{w\in \Gamma}}{\frac {1}{(zw)^{2}}}$ $\Gama$ $\Gama$ ${\frac{1}{|w|^{2}}}$ $\sum _{{w\in \Gamma}}{\frac {1}{|w|^{2}}}$ $\Gama$

Variantes de definición

Poniendo la red como su base, podemos escribir $\Gama$ $\Gamma =\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in {\mathbb {Z}}\}$

\wp (z;\omega_{1},\omega_{2})={\frac {1}{z^{2))}+\sum_{{(m,n)\in {\mathbb {Z}}^{2}\setminus \{(0,0)\}}}\left({\frac {1}{(zm\omega _{1}-n\omega _{2})^{ 2))}-{\frac {1}{(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}\right).

Además, dado que la función de Weierstrass como función de tres variables es homogénea , denotando , tenemos la igualdad $\wp (az;a\omega _{1},\omega _{2})=a^{{-2}}\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})$ $\tau =\omega _{2}/\omega _{1}$

\wp (z;\omega_{1},\omega_{2})=\omega_{1}^{{-2}}\wp (z/\omega_{1};1,\tau) .

Por lo tanto, considere

\wp (z;\tau)=\wp (z;1,\tau)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum_{{(m,n)\in {\mathbb {Z}}^{2}\setminus \{(0,0)\}}}\left({\frac {1}{(zmn\tau )^{2}}}-{\frac {1}{ (m+n\tau)^{2}}}\derecha).

Propiedades

La función de Weierstrass es una función meromórfica uniforme en una curva elíptica E, con un solo polo de segundo orden en 0. $\wp _{E}:E\mapsto \widehat {{\mathbb {C}}}$
Como un mapeo meromórfico de grado 2, define una cubierta ramificada de dos láminas de la esfera de Riemann por el toro E. Esta cubierta tiene cuatro puntos de ramificación : infinito y tres valores críticos . Estos cuatro valores son las imágenes de los cuatro puntos dejados en su lugar por el automorfismo de la curva E - el punto 0 y los tres semiperíodos . Así, la función de Weierstrass implementa un isomorfismo (o, más precisamente, desciende a un isomorfismo) entre la esfera topológica (que hereda una estructura compleja con E) y la esfera de Riemann . $e_{1},e_{2},e_{3}$ $z\mapsto -z$ $\omega _{1}/2,\omega _{2}/2,(\omega _{1}+\omega _{2})/2$ $E/(z\mapsto -z)$ $\widehat {{\mathbb {C}}}$
Usando la expansión y sumando , podemos obtener la expansión en el punto de la función de Weierstrass en una serie de Laurent: ${\frac {1}{(wz)^{2}}}={\frac {1}{w^{2}}}+\sum \nolimits_{{j=1}}^{{\infty} }{\frac{j+1}{w^{{j+2))))z^{j}$ $w\in \Gamma \setminus \{0\}$ $z=0$

$\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum_{{k=2}}^{{\infty}}(2k+1)G_{{ 2k}}(\Gamma)z^{{2k-2}},$ donde son las series de Eisenstein para la red (las sumas impares correspondientes son iguales a cero). $G_{{2k}}(\Gamma )=\sum_{{w\in \Gamma \setminus \{0\}}}w^{{-2k}}$ $\Gama$

Sin embargo, los coeficientes en y a menudo se escriben en una normalización tradicional diferente relacionada (ver más abajo) con la incrustación de una curva elíptica en : $z^{2}$ $z^{4}$ ${\matemáticas {C}}P^{2}$

\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {1}{20}}g_{2}(\Gamma )z^{2}+{ \frac {1}{28}}g_{3}(\Gamma )z^{4}+\puntos ,

donde y son los invariantes modulares de la red : $g_{2}$ $g_{3}$ $\Gama$

g_{2}(\Gamma )=60G_{4}(\Gamma ),\quad g_{3}(\Gamma )=140G_{6}(\Gamma ).

Incrustación de curvas elípticas en ${\matemáticas {C}}P^{2}$

Las funciones de Weierstrass le permiten construir una incrustación de una curva elíptica en , presentando una ecuación que define la imagen. Esto establece una correspondencia entre las vistas "algebraica" y "topológica" de la curva elíptica, permitiéndole incrustar la curva elíptica y escribir explícitamente la ecuación que define la imagen. ${\matemáticas {C}}P^{2}$ $E={\mathbb{C}}/\Gamma$ ${\matemáticas {C}}P^{2}$

Es decir, considere el mapeo dado fuera del punto como Dado que la función es meromórfica, este mapeo se extiende a un mapeo holomorfo de a . $F:E\to {\mathbb {C}}P^{2}$ $z=0$ $F(z)=(\wp (z),\wp '(z))\in {\mathbb {C}}^{2}.$ $\wp$ $mi$ ${\matemáticas {C}}P^{2}$

La imagen de esta asignación se puede especificar explícitamente. Es decir, el único polo tanto de la función como de la función es el punto . Además, como es una función par, es impar y, en consecuencia, par. La función tiene un polo de segundo orden en cero, por lo que los polos se pueden eliminar restando una combinación lineal de potencias . Elección explícita de los coeficientes de las expansiones $\wp (z)$ $\wp '(z)$ $z=0$ $\wp (z)$ $\wp '(z)$ $(\wp'(z))^{2}$ $\wp (z)$ $(\wp')^{2}$ $\wp$

\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {1}{20}}g_{2}(\Gamma )z^{2}+{ \frac {1}{28}}g_{3}(\Gamma )z^{4}+\puntos ,

(\wp '_{E}(z))^{2}=\left(-{\frac {2}{z^{3}}}+{\frac {1}{10}}g_{2} (\Gamma )z+{\frac {1}{7}}g_{3}(\Gamma )z^{3}+\dots \right)^{2}={\frac {4}{z^{6 ))}-{\frac {2}{5}}g_{2}(\Gamma ){\frac {1}{z^{2}}}-{\frac {4}{7}}g_{3 }(\Gamma )+\puntos ,

vemos que la diferencia

\varphi (z)=(\wp _{E}'(z))^{2}-4\wp _{E}^{3}(z)+g_{2}(E)\wp (z)

es no singular en un punto . Pero también es holomorfa por fuera (porque y es holomorfa ), por lo que es una función holomorfa en toda la superficie compacta de Riemann . En virtud del principio del máximo, es una constante. Finalmente, a partir de la misma expansión en cero, encontramos su valor: resulta ser igual a . Finalmente, la función se convierte en el cero idéntico. Por lo tanto, la imagen del mapeo es una curva elíptica dada por la ecuación $z=0$ $\varfi (z)$ $z=0$ $\wp$ $\wp'$ $\varfi (z)$ $mi$ $\varfi (z)$ $-g_{3}(E)$ $(\wp '(z))^{2}-4\wp ^{3}(z)+g_{2}(E)\wp (z)+g_{3}(E)$ $mi$ $F$ ${\matemáticas {C}}P^{2}$

y^{2}=4x^{3}-g_{2}(E)x-g_{3}(E).

Estrictamente hablando, los coeficientes “históricos” 60 y 140, que conectan los invariantes modulares y con las correspondientes sumas de potencias inversas y , están conectados precisamente con esto : debido a una elección tan tradicional de normalización, en la ecuación para la curva y es exactamente el coeficiente de y es el término libre. $g_{2}$ $g_{3}$ $G_{2}(E)$ $G_{3}(E)$ $g_{2}$ $g_{3}$ $X$

Formas holomorfas, retículas de períodos y mapeo inverso

Para una curva elíptica , la red que la define no está definida unívocamente: está definida hasta la proporcionalidad. Sin embargo, la red corresponde uno a uno al par , donde es una forma 1 holomorfa distinta de cero en : uno puede tomar la proyección sobre las formas en , luego se restaura como un conjunto de todas las integrales posibles sobre bucles en el toro : $mi$ $\Gama$ $(E, \ omega )$ $\omega$ $mi$ $\omega$ $mi$ $dz$ $\matemáticas {C}$ $\Gama$ $\omega$ $mi$

\Gamma =\left\{\int _{{{\gamma }}\omega \mid \gamma \in H_{1}(E)\right\}

Hay una forma holomorfa en la curva elíptica , que es la imagen del mapeo . Es fácil ver que es exactamente la imagen del formulario cuando se muestra . Esto nos permite llegar a varias conclusiones a la vez: $y^{2}=4x^{3}+g_{2}(E)x+g_{3}(E)$ $F=(\wp _{E},\wp '_{E})$ $\omega ={\frac{dx}{y}}$ $dz$ $mi$ $F$

La aplicación inversa a la aplicación se busca como una integral de la forma : $F$ $\omega$

z(x,y)=\int_{{\infty}}^{{(x,y))){\frac {dx}{y}},

donde la integración se realiza a lo largo de un camino que se encuentra en una curva elíptica . El punto en el infinito de la curva se elige como el comienzo del camino de integración, ya que es la imagen F del punto , y cambiar la elección del camino a otro conduce a un cambio en el resultado a un elemento del celosía del período . $F(E)$ $F(E)$ $z=0$ $\Gama$

El mapeo inverso a la función de Weierstrass viene dado por

\wp _{E}^{{-1}}(x)=\int _({\infty }}^{x}{\frac {dx}{\pm {\sqrt {4x^{3}+g_ {2}(E)x+g_{3}(E)}}}}.

(la elección del signo corresponde a la elección de una de las dos preimágenes en la curva elíptica, y un cambio en la ruta de integración conduce a un desplazamiento de la preimagen calculada por el elemento ). $\Gama$

La red se reconstruye como un conjunto de integrales de forma sobre todos los caminos cerrados posibles en una curva elíptica . $\Gama$ ${\frac{dx}{y))$ $y^{2}=4x^{3}+g_{2}(E)x+g_{3}(E)$

Adición de puntos en una curva elíptica

Una curva elíptica es (o, más precisamente, se puede hacer que sea) un grupo abeliano por adición. Para una representación "algebraica", esto es simplemente una suma de puntos . Para "geométrico" - como incrustado en una curva - esta suma se da eligiendo un punto infinitamente distante como cero y la regla "tres puntos que se encuentran en una línea recta suman cero". $E={\mathbb{C}}/\Gamma$ $\matemáticas {C}$ ${\matemáticas {C}}P^{2}$ $y^{2}=4x^{3}+px+q$

Es natural esperar que el mapeo construido a partir de la función de Weierstrass transforme la suma dada algebraicamente en una dada geométricamente, como es el caso. Esto (ya que la colinealidad de tres puntos se da al convertir el determinante a cero) corresponde a la siguiente relación: $F=(\wp(z),\wp '(z))$

\det {\begin{bmatriz}\wp (u)&\wp '(u)&1\\\wp (v)&\wp '(v)&1\\\wp (w)&\wp '(w) &1\end{bmatriz}}=0

para cualquier Además, en vista de la paridad par e impar , se puede escribir como $u+v+w=0$ $\wp$ $\wp'$

\det {\begin{bmatriz}\wp (z)&\wp '(z)&1\\\wp (w)&\wp '(w)&1\\\wp (z+w)&-\wp ' (z+w)&1\end{matrizb}}=0

Aplicaciones en dinámica holomorfa

Usando la función de Weierstrass, construimos un ejemplo de Latte , un ejemplo de un mapeo racional de la esfera de Riemann en sí misma, cuyo conjunto de Fatou está vacío (y, por lo tanto, cuya dinámica es caótica en todas partes). Es decir, tomando , podemos considerar el mapa de duplicación en el toro : $\wp$ $\Gamma ={\mathbb {Z}}[i]=\{a+bi\mid a,b\in {\mathbb {Z}}\}$ $D$ $E={\mathbb{C}}/\Gamma$

D(z)=2z\,\mod {\mathbb {Z}}[i].

Este mapeo es caótico en todas partes: un vecindario arbitrariamente pequeño cubre todo el toro después de un número finito de iteraciones.

Por otro lado, el mapeo desciende correctamente al factor . Por lo tanto, el mapeo D por el mapeo es semi-adjunto a algún mapeo racional : $D$ $S^{2}=E/(z\sim -z)$ $\wp$ $R:{\mathbb {C}}P^{1}\to {\mathbb {C}}P^{1}$

\wp \circ D=R\circ \wp .

En otras palabras,

R(z)=\wp (2\wp ^{{-1}}(z)).

Para tal mapeo , las imágenes de los vecindarios pequeños también cubren toda la esfera de Riemann después de un número finito de iteraciones. Por lo tanto, el conjunto de Julia y el conjunto de Fatou, respectivamente, están vacíos. $R$ $J(R)={\mathbb {C}}P^{1}$

Finalmente, es fácil ver que el grado del mapeo es cuatro (dado que el mapeo sobre el toro tiene grado 4), y sus coeficientes se pueden encontrar explícitamente calculando un número suficiente de coeficientes de la serie de Taylor en cero en términos de la serie de Laurent para (y, en consecuencia, para ). $R$ $z\mapsto 2z$ $R$ $R$ $\wp$ $\wp^{{-1}}$

Notas

Enlaces

Weisstein, Eric W. Weierstrass Función elíptica (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .

Literatura

J. Hubbard, I. Pourezza, El espacio de subgrupos cerrados de , Topología 18 (1979), no. 2, pág. 143-146. $\matemáticas {R} ^{2}$
Lavrentiev M. A., Shabat B. V., Métodos de la teoría de funciones de una variable compleja.
AF Beardon, Iteración de funciones racionales: sistemas dinámicos analíticos complejos, Springer-Verlag, Berlín, Nueva York, Heidelberg, 2009, ISBN 0-387-95151-2