ARIMA

ARIMA ( promedio móvil integrado autorregresivo en inglés , a veces modelo Box-Jenkins, metodología Box-Jenkins ) es un modelo de promedio móvil autorregresivo integrado : un modelo y una metodología para el análisis de series temporales . Es una extensión de los modelos ARMA para series de tiempo no estacionarias, que pueden volverse estacionarias tomando diferencias de algún orden de la serie de tiempo original (las llamadas series de tiempo integradas o estacionarias en diferencias). Modelo significa que las diferencias de las series temporales de orden siguen el modelo . ${\ Displaystyle ARIMA (p, d, q)}$ $d$ ${\ Displaystyle ARMA (p, q)}$

Definición formal de un modelo

El modelo para una serie temporal no estacionaria tiene la forma: ${\ Displaystyle ARIMA (p, d, q)}$ $X_{t}$

\triangle ^{d}X_{t}=c+\sum _{i=1}^{p}a_{i}\triangle ^{d}X_{ti}+\sum _{j=1} ^{q}b_{j}\varepsilon _{tj}+\varepsilon _{t}

donde es una serie temporal estacionaria ; $\varepsilon _{t}$

{\displaystyle c,a_{i},b_{j))

son parámetros del modelo.

{\ estilo de visualización \ triángulo ^ {d}}

— operador de diferencia de serie temporal de orden d (toma sucesiva d veces de diferencias de primer orden - primero de la serie temporal, luego de las diferencias obtenidas de primer orden, luego de segundo orden, etc.)

Además, este modelo se interpreta como - un modelo con raíces unitarias . Para , tenemos los modelos habituales . $ARMA(p+d,q)$ $d$ $re=0$ ${\ Displaystyle ARMA}$

Representación del operador

Usando el operador de retraso , los datos del modelo se pueden escribir de la siguiente manera: $L:~Lx_{t}=x_{{t-1}}$

(1-L)^{d}X_{t}=c+(\sum _{i=1}^{p}a_{i}L^{i})(1-L)^{d} X_{t}+(1+\sum _{j=1}^{q}b_{j}L^{j})\varepsilon _{t}

o en resumen:

{\displaystyle a(L)(1-L)^{d}X_{t}=c+b(L)\varepsilon _{t))

dónde ${\displaystyle a(L)=1-\sum _{i=1}^{p}a_{i}L^{i))$

b(L)=1+\sum _{j=1}^{q}b_{j}L^{j}

Ejemplo

El ejemplo más simple de un modelo ARIMA es el conocido modelo de paseo aleatorio:

{\displaystyle x_{t}=x_{t-1}+\varepsilon _{t}\Rightarrow \triangle x_{t}=(1-L)x_{t}=\varepsilon _{t))

Por lo tanto, este es un modelo . $ARIMA(0,1,0)$

Series temporales integradas

Los modelos ARIMA le permiten modelar series temporales integradas o estacionarias en diferencias (series DS , estacionarias en diferencias).

Una serie de tiempo se denomina orden integrado (generalmente escrito ) si las diferencias de la serie de orden , es decir, son estacionarias, mientras que las diferencias de un orden menor (incluido el orden cero, es decir, la serie de tiempo en sí) no son estacionarias con con respecto a algunas series de tendencia (serie TS, tendencia estacionaria). En particular , este es un proceso estacionario. $X_{t}$ $k$ $X_{t}\sim I(k)$ $k$ ${\ estilo de visualización \ triángulo ^ {k} x_ {t}}$ $yo(0)$

El orden de integración de la serie temporal es el orden del modelo . $d$ ${\ Displaystyle ARIMA (p, d, q)}$

Metodología ARIMA (Box-Jenkins)

El enfoque de ARIMA para las series de tiempo es que primero se evalúa la estacionariedad de la serie. Varias pruebas revelan la presencia de raíces unitarias y el orden de integración de la serie temporal (normalmente limitado al primer o segundo orden). Además, si es necesario (si el orden de integración es mayor que cero), la serie se transforma tomando la diferencia del orden correspondiente, y ya para el modelo transformado, se construye algún modelo ARMA, ya que se supone que el proceso resultante es estacionario, en contraste con el proceso original no estacionario (diferencia-estacionario o proceso integrado de orden ). $d$

Modelos ARFIMA

Teóricamente, el orden de integración de la serie temporal puede no ser un valor entero, sino fraccionario. En este caso, se habla de modelos autorregresivos fraccionalmente integrados - media móvil (ARFIMA, AutoRegressive Fractional Integrated Moving Average). Para comprender la esencia de la integración fraccionaria, es necesario considerar la expansión del operador de tomar la -ésima diferencia en una serie de potencias en potencias del operador rezagado para fraccionarios ( expansión de la serie de Taylor ): $d$ $d$ $d$

\triangle ^{d}=(1-L)^{d}=\sum_{k=0}^{\infty}\prod_{j=0}^{k-1}(dj) {\frac{(-1)^{k}}{k!}}L^{k}

Literatura

Ayvazyan S.A. Estadística aplicada. Fundamentos de econometría. Volumen 2. - M. : Unity-Dana, 2001. - 432 p. - ISBN 5-238-00305-6 .
Magnus Ya. R., Katyshev P. K., Peresetsky A. A. Econometría. Curso inicial. - M. : Delo, 2007. - 504 p. - ISBN 978-5-7749-0473-0 .
Econometría. Libro de texto / Ed. Eliseeva I. I. - 2ª ed. - M. : Finanzas y estadísticas, 2006. - 576 p. — ISBN 5-279-02786-3 .

diccionarios y enciclopedias	gran chino Britannica (en línea)